(完整word版)高数公式大全,推荐文档

1、导数公式:(tanx) sec x(cotx)csc x(secx) secx tanx(cscx)cscx cotx(ax) ax l na1(loga x)xl na基本积分表：kdx kx C (k为常数)xIn x Cdx arcs in x C1 x2sin xdx cosx CIdx csc xdx cot x C sin xcscxcotxdxcscx CaxdxxaIn a两个重要极限:sin x limx 0高等数学公式(arcsin x) (arccosx) (arctan x) (arccot x)1111x211 x2u 1u, xx dxCu 1arctan x Cc

2、osxdx sin x C2dxsec xdx tan x Ccos xsecx tan xdx secx Cexdx ex Clim(1xe三角函数公式:sin 2 2sin cos2 2cos 22cos 1 1 2s in2 cos.2 sinsin22 cossec 1 tan2x2零点定理： 设函数f x在闭区间a, b上连续，且fa f b 0 ,那么在开区间 a, b上至少一点使f 0。(考点：禾U用定理证明方程根的存在性。当涉及唯一根时，还需证明方程对应的函数的单调性)罗尔定理：如果函数f x满足三个条件：(1 )在闭区间 a,b上连续；(2) 在开区间 a,b内可导；(3)

3、在区间端点处的函数值相等，即fa f b ,那么在 a,b内至少有一点a b，使得f'0。(选择题：选择符合罗尔定理条件的函数；证明题)拉格朗日中值定理：如果函数f x满足(1) 在闭区间 a,b上连续；(2) 在开区间 a,b内可导，那么在 a, b内至少有一点a b，使等式f b f a f b a成立。(证明题)定积分应用相关公式1 b函数的平均值 yf X dxb a a设 aax,ay,az两向量的数量积a b a b cos空间解析几何和向量代数：2 2 2空间两点的距离dMM 2V X2 X1y1y2乙z2rrrr r向量b在向量a方向上的投影 Prjabcos a,b，

4、则r raxbx ay by azbz是一个数，为a与b的夹角;a与b的夹角两向量的向量积r bso 才 eraaxbxaybyazbzrrrijkrrrraxayaz， ababsin。(考点：利用向量积求三角形的面积)15bxbybz平面的方程:1点法式方程：A x x0b y yoC zZ00，其中nA,B,C 为平面的法线向量，Mo xo,yo,zo为平面上的一点。2、般式方程:Ax By CzD 0，其中平面的一个法线向量nA,B,C。3、截距式方程:a, b,c为平面在x, y, z轴上的截距。平面外任意一点到该平面的距离:d Ax0 By0 Cz0 D.A2B2 C2空间直线的方

5、程：1直线的点向式方程（对称式方程）t,其中直线的一方向向量sm,n, p ;2、直线的参数方程:x x0 mt y y° nt z z0 pt多元函数微分法及应用全微分：dz dxx全微分的近似计算：dy yz dzdu dx dy dz y zfy(x,y) yfx(x,y) x多元复合函数的求导法：dzdtz fu(t),v(t)z fu(x,y),v(x,y)x当u u(x,y), v v(x, y)时，uudu dx dyxy隐函数的求导公式：dv隐函数F(x,y) 0,dydx隐函数 F(x,y,z) 0,微分法在几何上的应用:v dxxdy yFy，FFz，d2ydx2

6、5Fzdydxx (t)空间曲线y(t)在点M(X0,y°,Z0)处的切线方程：xx。八。z z。小(t°)(t°)(t°)z (t)若空间曲线方程为:F(X，y，Z)0则切向量tG(x,y,z) 0FyGyGz Gz Gx GXFyGy在点 M处的法平面方程：(t°)(x X。)(t°)(y y°)(t°)(z z°) 0曲面 F (x, y,z) 0 上一点 M(Xo,y°,Zo),则: 1、 过此点的法向量:n Fx(x°, y°,Z0), Fy(X0,y°,

7、 z0), Fz(x°, y°,z。)Z0)2、 过此点的切平面方程 :Fx(X0,y°,Z0)(x x。) Fy(X0,y°,Z0)(y y°) Fz(x°, y° ,z°)(z3、过此点的法线方程:X X0y y。zZ0Fx(X0,y°,Z0) Fy(X0,y°,Z0) Fz(x°,y0,Z0)方向导数与梯度：函数z f (x, y)在一点p(x,y)沿任一方向I的方向导数为： f cos sinl xy其中为x轴到方向I的转角。函数z f (x, y)在一点 p(x,y)的梯度：

8、gradf(x,y) i jx y它与方向导数的关系是：-f grad f (x,y) e,其中e cos i sinj，为I方向上的单位向量f是gradf (x, y)在l上的投影多元函数的极值及其求法：设f<(X0,y，0)fy(X0, y0)0,令：f xx (X0, y0)ACB2口斗 A0时，0,(X0, y°)为极大值A0,(x°, y°)为极小值则：ACB20时，无极值ACB20时,不确定A, fxy(X0,y°) B,曲线积分:f yy (x0 , y0)C第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：设f (x,y)在L上连续，L的参数方程

9、为：X (t), ( t ),则: y (t)f (x,y)dsLf (t), (t).2(t)2(t)dt (特殊情况:x ty (t)第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为y;)，则:P(x,y)dx Q(x,y)dyL两类曲线积分之间的关P (t).(t)(t) Q (t), (t)(t)dt系：PdxLL上积分起止点处切向量 的方向角。 格林公式：(-Q d x yQdy(Pcos QcosL)ds其中和分别为J： QXn 1)dxdy PdxLP 2时, yQdy格林公式：(-QD X得到D的面积:1平面上曲线积分与路径无关的条件：n 11、G是一个单连通区域；2、当円

10、x, J)时,Q该级数在G内具有一阶连续偏导数1 q减去对此奇点的积分,注意方向相反！ 当零丄1时，该级数发散。二元函数的全微分求积:，且P)dxdy ydxdyD12l；Pdx QdyLxdy ydxP。注意奇点，如(0,0)，应y在P级数P时,，Pdx Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中: 、妆 y n1 np(x,y)u(当, p) 1 时，该级y)收敛;Q(x,y)dy,通常设 x。 y。0(勺皿)1当p 1时，该级数发散。特别地，当 p 1时，称为调和级数。n 1 n级数审敛法：1、正项级数的审敛法 根植审敛法(柯西判 别法)：1时，级数收敛设：lmn.Un,则1时，级数发

11、散1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设： lim乩，则1时，级数发散n Un1时，不确定3、定义法：Sn u1 u2un;lim Sn存在，则收敛；否则发 散。交错级数U1 u2 u3 u4u1 u2 u3,un 0)的审敛法莱布尼兹定理:如果交错级数满足Un Un 1 c，那么级数收敛且其和s U1,其余项rn的绝对值rlim un 0nnUn 1°绝对收敛与条件收敛:(1)U1 U2U1如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数; 如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。11发散，而n丄收敛；n1pU2U3调和级数:级数:幕级数:1 x x2对

12、于级数(3)a。Un，其中un为任意实数;Un1时发散1时收敛11时，收敛于1 X发散数轴上都收敛，则必存求收敛半径的方法：设函数展开成幕级数:函数展开成泰勒级数:余项：RnXo2a?x1时,nanXx在R，使 x|xlimnan 1an，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全R时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定，其中an， an 1是(3)的系数，则f(x)f(X°)(X X。)f4x°(x X。)22!0时，R -0时，R时，R 0f(n)(x0)(x x0)nn!x0)n 1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim R, 00时即为麦克劳林公式：f(x

13、) f(0) f (0)x2!f (n)(0) nXn!些函数展开成幕级数:m(1 x)m( m 1) 2 mxx2!m(m35x x sinx x3!5!(1)n2n 1x(2n 1)!1) (m n 1)xn x n!( x(1x1)微分方程的相关概念:一阶微分方程：y f(x, y) 或 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy f (x)dx的形式，解法：g(y)dy f (x)dx 得：G(y) F (x) C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方 程可以写成 鱼 f (x, y)(x, y)，即写成的函数，解法：dxx设u y，则包

14、u X理，u竺(u)，虫分离变量，积分后将上代替u，x dxdx dxX (u) ux即得齐次方程通解。一阶线性微分方程:1、一阶线性微分方程：鱼 P(x)y Q(x)P(x) dxCeP(x)dxy ( Q(x)e dxP(x)dxC)edx当Q(x) 0寸，为齐次方程，y当Q(x) 0时，为非齐次方程， 2 贝努力方程：dy P(x)y Q(x)yn,(n 0,1)全微分方程：dx如果P(x, y)dx Q(x,y)dy 0中左端是某函数的全微 分方程，即:uudu(x,y) P(x, y)dx Q(x,y)dy 0,其中：P(x,y),Q(x,y)xyu(x,y) C应该是该全微分方程的 通解。二阶微分方程:d2ydx2P(唸 Q(x)yf (x)，f(x)f(x)0时为齐次0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:(*) y py qy 0,其中p, q为常数；求解步骤：1写出特征方程：()r2 pr q 0,其中r2, r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数;2、求出()式的两个根r1,r23、根据r