【压轴题】初中数学压轴题汇总(含答案)

1、中考数学压轴题（含答案）1.已知:如图拋物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A （-1, 0）、B （0, 3）两点，其 顶点为D.（1）求该抛物线的解析式：（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的而积；（3）AAOB与ABDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，谙说明理由.b 4t/c b(注：抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为, )2a 4aAB = 6, AC = 8f £>, E分别是边AB AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作P0丄BC于Q,过点Q作QR/BA交AC于R,当点0与点C重合时，点P停止运动.

2、设BQ = x, QR = y.（1）求点D到3C的距离QH的长：（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范帀）；（3）是否存在点P,使P0R为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的X的值； 若不存在，请说明理由.3在aABC中，ZA=90°, AB=4, AC=3, M是AB上的动点（不与A, B重合），过M 点作MN/BC交AC于点N.以MN为直径作并在G>0内作内接矩形AMPN令AM=X（1）用含X的代数式表示 MNP的而积S：（2）当x为何值时，00与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记厶MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x 的函数表达

3、式，并求X为何值时.y的值最大，最大值是多少？4 如图1,在平而直角坐标系中，己知AA0B是等边三角形，点A的坐标是（0, 4）, 点B在第一彖限，点P是x轴上的一个动点，连结AP,并把AAOP绕着点A按逆时针方 向旋转.使边A0与AB重合.得到AABD. （1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到 点（羽,0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P,使AOPD的而积等于,若存在，请求出符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由.45如图，菱形ABCD的边长为2, BD=2, E、F分别是边AD, CD上的两个动点，且满足 AE+CF=2.（1）求证：ABDEABCF：（2）判断

4、ABEF的形状，并说明理由；（3）设ABEF的而积为S,求S的取值范国B6如图，抛物线厶：），=一_2兀+ 3交x轴于A、B两点，交y轴于M点抛物线厶向右平 移2个单位后得到抛物线厶“厶丄交轴于° D两点.（1）求抛物线厶2对应的函数表达式：（2）抛物线厶或乙在轴上方的部分是否存在点N,使以A, C, M, N为顶点的四边形 是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由：（3）若点P是抛物线厶上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称 点Q是否在抛物线厶2上，请说明理由.7.如图，在梯形 ABCD 中，AB/CD, AB=H, CD=1, AD=BC=5

5、.点 M, N 分别在边 AD, BC上运动，并保持MN/AB, ME丄AB, NF丄AB,垂足分别为E, F.（1）求梯形ABCD的而积：（2）求四边形MEFN面积的最大值.（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的而积：若不能，请说明理由.8.如图，点A G,加+1） , B （加+3,加一 1）都在反比例函数y =-的图象上. X（1）求m, k的值；试求直线MN的函数表达式.（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点, 以点A, B, M, N为顶点的四边形是平行四边形，友情提示：本大題第（1）小题4分，第（2）小題7 分.对完成第（2）小題有困难的同学可以做下面

6、的（3） 选做題.逸做題2分，所得分数计入总分.但第（2）.（3）小題都做的,第（3）小题的得分不重复计入总分.PiX1 2 3 PO（3）选做题：在平而直角坐标系中，点P的坐标v为（5, 0），点。的坐标为（0, 3）,把线段PQ向右平° 移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段凡0, Q 则点凡的坐标为,点0的坐标为.29.如图16,在平而直角坐标系中，直线y = -岳与兀轴交于点A，与y轴交于点C,抛物线y = ax' 一二雲x + c（a工0）经过A, B, C三点.（1）求过人B, C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标：（2）在抛物线上是否存在点P,使为直角三

7、角形，若存在，直接写岀P点坐标： 若不存在，请说明理由：（3）试探究在直线AC上是否存在一点M,使得厶血尸的周长最小，若存在，求出M点 的坐标：若不存在，请说明理由.10如图所示，在平而直角坐标系中，矩形ABOC的边30在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB = 1, OB = y/3,矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到 矩形EFOD点A的对应点为点E,点B的对应点为点F,点C的对应点为点D,抛物线 y = ax2 +bx + cH 点 4 E, D （1）判断点E是否在y轴上，并说明理由：（2）求抛物线的函数表达式：（3）在x轴的上方是否存在点P,点Q,使以点O, B,

8、P,。为顶点的平行四边形的而积是矩形ABOC而积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P,点0的坐标；若3 311 已知：如图14,抛物线y = -x2 + 3与x轴交于点A,点与直线y =-二x+b相4 43交于点3,点C，直线y = -x + h与y轴交于点£*（1>写出直线3C的解析式.（2）求ABC的而积.（3）若点M在线段A3上以每秒1个单位长度的速度从A向3运动（不与A, B重合）， 同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从3向C运动.设运动时间为f秒， 请写岀的面积S与7的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，的面积12在平而直角坐标系中AABC的边A

9、B在x轴上，且OA>OB.以AB为直径的圆过点C若C的坐标为(O2)AB=5, A.B两点的横坐标Xa.Xb是关于X的方程x2 一(加+ 2)x + /?-! = 0的两根:(1) 求m, n的值(2) 若ZACB的平分线所在的直线/交x轴于点D,试求直线/对应的一次函数的解析式、 1 1 过点D任作一直线/分别交射线CA, CB (点C除外)于点M, N,则 +的值 CM CN是否为左值，若是，求出左值，若不是，请说明理由13已知:如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A (-b 0)、B (0, 3)两点, 其顶点为D(1) 求该抛物线的解析式；(2) 若该抛物线与

10、x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；AAOB与ABDE是否相似？如果相似，请予以证明：如果不相似，请说明理由.b 4t/c I, '(注：抛物线y=ax2+bx+c(aO)的顶点坐标为-、 )2“ 4a 丿14已知抛物线 y = 3ax2 + 2bx + c ,（【）若a = h = , c = -b求该抛物线与x轴公共点的坐标:（II）若a=h = .且当-l<x<I时.抛物线与入轴有且只有一个公共点，求c的取值范围:（1【）若“ + /? +。= 0，且X = 0时，对应的力> 0 ：勺=1时，对应的2 > 0，试判断-|Z1O<A<1

11、 时，抛物线与X轴是否有公共点？若有，请证明你的结论：若没有，阐述理由.15已知：如图，RtAACB 中，ZC=90° , AC=4cm, BC = 3cm,点 P 由 B 出发沿 BA 方 向向点A匀速运动,速度为lcm/s：点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cia/s； 连接PQ.若设运动的时间为t （s） （0<t<2）,解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ/7BC?（2）设AAQP的而积为y （cmb ,求y与t之间的函数关系式：（3）是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把RtAACB的周长和而积同时平分？若存在，求 出此时t的值；若不存在，说明理由；

12、（4）如图，连接PC,并把APQC沿QC翻折，得到四边形PQP' C,那么是否存在某一时 刻t,使四边形PQP' C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长：若不存在说明理由.图k116已知双曲线y =与直线y = -x交于A、B两点第一象限上的点M （m, n）（在A点x “4左侧）是双曲线y =-上的动点过点B作BDy轴于点D过N （0, -n）作NCx轴交双 xk曲线y 于点E,交BD于点C.x（1）若点D坐标是（一8, 0）,求A、B两点坐标及k的值.（2）若B是CD的中点，四边形0BCE的面积为4,求直线CM的解析式.（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA

13、=pMP, MB=qHQ,求p-q的值.压轴题答案1.解：(1)由已知得：c=3解得-l-/? + c = Oc=3,b=2抛物线的线的解析式为y = -F + 2x + 3(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1, 4)所以对称轴为x=l, A, E关于x二1对称，所以E(3, 0)设对称轴与x轴的交点为F.听以四边形ABDE的而积二Smbo + $梯形附.° + S= -AOBO + -(BO + DFyOF + -EF DF2 2 2=xlx3 + (3 + 4)xl + x2x42 2 2二 9(3) 相似如图，BD= y/BG2 + DG2 = yj2 +12 = >/2

14、BE 二 JBC+OE?=后+3? =3迈DE 二 y)DF2+EF2 = >/22 +42 = 2卡所以 BD2 + BE2 = 20, DE2 = 20 即：BD2 + BE2 = DE2,所以£?£>£是直角三角形AO BO所以= ZDBE = 90。,且=,BD BE 2所以AAOBADBE.2 解：(1) ZA = RtZ, AB = 6, AC = 8, /.BC = 10.点D为AB中点3D =丄A3 = 32/ ADHB = ZA = 90 , ZB = ZB仏BHDs厶BAC ,DH BD.DH =BC 105 AC " B

15、C(2) QR/ AB, :. ZQRC = ZA = 90 v ZC = ZC > :./RQC/ABC , RQ_QC y_l°x' AB BC' ' 6103即y关于x的函数关系式为：y = -x + 6.（3）存在，分三种情况：当PQ = PR时，过点P作PM丄QR于M,则QM=/?M Zl + Z2 = 90 , ZC + Z2 = 90 ,Z1 = ZC.AcosZl = cosC = =-105-x + 652 _T18 x =53 12当 PQ = RQ 时，一二兀 + 6 =二,x = 6 当PR = Q/?时，则R为PQ中垂线上的点,

16、于是点R为EC的中点，:.CR = -CE = -AC = 2.24.QR batan C =,CR CA158 21 Q1 C综上所述，当x为丄或6或一时，PQR为等腰三角形.523 解：(1) :MNBC、:ZAMN=ZB、乙ANM= ZC AMN s ABCAM AN .即 X _ AN八乔一花4 33 AN=-x.4图1 33 S = S0NP = Sf ； X X =石工(°< X <4) 2 4o（2）如图2,设直线BC与00相切于点D,连结AO. OD.3分图2则 AO=OD=-MN.在 RtAABC 中，BC =AB2+AC2 =5.由（1）知 AMN s

17、 ABC.AM MN 叩 x _ MN77= BC f 45 MN = lx,4 OD = -x5 分8过M点作M0丄BC于0则MQ = OD = -x8在RtA BMQ与RkBCA中，ZB是公共角， BMQs BCA-BM QM =BC AC5x x 兀 BM =一 =x, AB = BM+MA = x + x = 43 2424_96 x.4996当x=时，00与直线BC相切7分49（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP,则0点为AP的中点8分P又厶PEFs、ACB33:.当x =2时，=-x22 =- 2、82当2<x< 4时，设PM, PN分别交BC于E, F

18、四边形AMPN是矩形， PN/AM. PN=AM=x.又 MN/BC,.四边形MBFN是平行四边形. FN=BM=4_x图 4 PF = x-（4-x） = 2x-4.10分9 .Q当2<Y4时，）一厂+ 6_6飞8fy = SgNP_S皿f = gX_(x_2)- =-|a-2+6a-6 .Q11分12分/.当x =-时，满足2<x <4, y最大=2Q综上所述，当x = j时，y值最大，最大值是2.4 解：(1)作BE丄OA, A A AOB是等边三角形 ABE=OB sin60°= 2>/3 , ? B(2省,2)VA(0,4),设AB的解析式为y =

19、kx + 49所以2®+ 4 = 2,解得k = _二、°以直线AB的解析式为y = x + 4J(2)由旋转知，AP=AD, ZPAD=60°, APD 是等边三角形，PD二PA二yjAO2+OP2 = V19yA如图，作 BE丄AO, DH丄OA,GB丄DH,显然 AGBD 中ZGBD二30°OH 二 OE+HE 二 OE+BG 二 2 + - = -2 22 233(D证明菱形ABCD的边长为2邓=乙 ABD和AiBCD都为正三角形： ZBDE= ZBCF= 60。 RD = BC.AE+DE=AD = 29而 4E+CF=2,；DE=CF ED

20、陀 ABCF.(2) 解:ABEF为正三角形.理由：7ABDEABCF,ZDBE=ZCEFEFFV ZDBC=ZDBF+ZCBF=60。TZDBF+ZDBE=6O°即Z£BF=60°.二jBEF为正三角形.(3) 解：设 BE=BF=EF=r,则 *=寺 * t x sin60o=H jE2.当 JBE丄AD 时“=2Xsiii60°=V3'S“-*晋蚁5“ 翠当BE与AB車合时：S量尢=a/3".解：(1)令 y=6,得一0 2工+3=0, 讥工1 3.工？ = 1/ A<3i0) tB(l»O).抛物线S向右平移2个

21、单位得拋物线/-：,AC( 1>0) DC3 <) 9a L拋物线Lz为丿一&+1)& 3几即y= 一云+2工十3.(2)存在.令乂0.得y=3八:M(0>3)丁抛物线厶是L向右平移2个单位得到的点 N(2.3)在 Lz 上，且 MN=2,MNAC又 9：AC=29：.MN=AC.四边形ACNM为平行四边形.同埋厶 上的点N'(-2,3)满足N'M/!C,Nf = AC四边形ACMNf是平行四边形.N(2,3.N(一2,3)即为所求(3)设P(±2)是L,上任意一点0工0) 则点F关于原点的对称点Q(文”一刃) 且 yx =xi22x

22、!十3<将点Q的橫坐标代人2，得 gu工/2% +3»卩 # 北，I点Q不在抛物线上7解：(1)分别过D, C两点作DG丄AB于点G, CH丄AB于点H.I AB/CD.1分 DG=CH, DG/CH四边形DGHC为矩形，GH=CD=.V DG=CH. AD=BC, ZAGD=ZBHC=9$ , AGD92XBHC (HL) AG=BH=AB-GH 7-1在 RtAAGD 中，AG=3, AD=5, DG=4(1 + 7)x42分=16(2) I MN/AB、ME丄AB, NF丄AB, ME=NF, MENF四边形MEFN为矩形.I AB/CD, AD=BC,:.ZA = ZB

23、.: ME=NF、ZMEA = ZNFB=90° ,:.AMEAANFB (AAS) AE=BF4 分设 AE=xf 则 EF=l-2x5 分 ZA = ZA, ZMEA = ZDGA = 90c , ME4s/dg4 AE _MEAG = DG A:.ME= l.r 6 分342 /7 240: S地形mepjV = M£ EF = =a(7 2x) = t x- . +8分当X=l时，ME=?V4, 四边形MEFN而积的最大值为爭9分4 36（3）能10分由（2）可知，设 AE=x,则 EF=7_2x, ME=±x 3若四边形MEFN为正方形，则ME=EF.即

24、 = 7-2x解,得x = 11分310196=云 EF=7-2x = 7-2x_ = y<4.四边形MEFN能为正方形，其而积为S也方伽efn8 解：（1）由题意可知，nm + 1） = （/?/ + 3m-1）解，得加=33分再向左平移3个单位得到的） A （3, 4） , B （6, 2）: k=4X3=124 分（2）存在两种情况，如图：当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴 上时，设Mi点坐标为（小，0） , M点坐标为（0, yi）.四边形ANMB为平行四边形，线段可看作由线段AB向左平移3个单位， 再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位,由（1）知A点坐标为

25、（3, 4） , B点坐标为（6, 2）,5分 M 点坐标为(0, 4-2),即 M(0, 2):Mi点坐标为（6-3, 0）,即Mi （3, 0）6分设直线MM的函数表达式为y = 3 + 2,把x=3,=0代入，解得k严一二3直线的函数表达式为y = -jx+28分当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为5, 0）, N?点坐标为（0,比）J ABNM、AB/M1N2, AB=NiMi, ABiZ:.NM/M2N2, NiM=M2N2线段M2N2与线段关于原点0成中心对称.A Mi点坐标为（-3, 0） , M点坐标为（0, -2） 9分设直线MM的函数表达式为）=3

26、-2,把x=-3, y=0代入，解得y :.直线M02的函数表达式为y = -|x-2.所以，直线MN的函数表达式为y = -2x4-2或y 厶一211分33（3）选做题：（9, 2） ,（4, 5） 2分9解：（1） 直线y = -*x 与尤轴交于点A,与y轴交于点C./.A(-LO), C(0,->/3)点A C都在抛物线上,a =3c =-羽 :.抛物线的解析式为y = x2-x-j3二顶点尸|1,一空4分37(2)存在5分(0,-73)7 分£(2,“)9 分(3)存在10分理由：解法一： 延长3C到点B',使BfC = BC,连接B'F交直线AC于点M

27、,则点M就是所求的点11分 过点3作37/丄AB于点H.B 点在抛物线 y = £ F 一 竽.x 一上，.b(3,0)在RtZXBOC中，tanZOBC = 3/. ZOBC = 30 , BC = 2y/39在 RtZXBB'H 中，BB =、BBT®2BH = ®H =6OH=3, 12 分 设直线B'F的解析式为y = kx+b-2 忑= -3k + b4* z .一=k + b313分733y/3y/33>/3y =x6 23x = 7解得21037.在直线AC上存在点M,使得 厶血尸的周长最小，此时M14分解法二: 过点F作4C的

28、垂线交y轴于点则点H为点F关于直线4C的对称点连接交AC于点M,则点M即为所求.11分过点F作FG丄y轴于点G,则03 FG、BC/ FH ABOC =乙FGH =90 ,乙BCO = ZFHG:.ZHFG = ZCBO同方法一可求得B(3,0)OH 图A00/313在RtZXBOC中，tanZOBC = , /.ZOBC = 30 ,可求得GH=GC = 933:.GF为线段CH的垂直平分线，可证得CFH为等边三角形，:.AC垂直平分FH .5 /T A即点H为点F关于AC的对称点H 0,- 12分0 = 3k+b13分y = - y/x -x/3 /.<93y = -/3x-/33x

29、 = 7 解得<y = -在直线AC上存在点M ,使得ZkA/BF的周长最小，此时M1设直线3H的解析式为y = kx+b,由题意得10解：（1）点E在y轴上理由如下：连接AO,如图所示，在RtAABO中，.AB = 1, BO = y/3, :.AO = 2/. sinZAOB = -, /. ZAOB = 302由题意可知：ZAOE = 605 ZBOE = ZAOB + ZAOE = 30 +60 = 90点3在x轴上，二点E在y轴上.3分(2)过点D作DM丄x轴于点M.OD = 1, ADOM = 301在RtZDOM 中，DM =-. OM =-2 2.点D在第一象限，二点D的

30、坐标为J |5分1 2 2由(1)知EO = AO = 2，点E在y轴的正半轴上点E的坐标为(0,2)抛物线y = ax' +bx + c经过点E,由题意，将人(一扬1),£ 代入y = ax2 +bx +2中得3a-® + 2 = l-a + -b + 2 = -14228a =9,5巧b =9所求抛物线表达式为:y亠一迟+ 29910分(3)存在符合条件的点P,点Q理由如下：.矩形ABOC的而枳=ABBO =.以O, B, P, 0为顶点的平行四边形而积为2$.由题意可知08为此平行四边形一边，又08 = 3.03边上的髙为2 11分依题意设点P的坐标为（加,2

31、）点P在抛物线 尸-討一竽 * + 2上.以O, B, P, 0为顶点的四边形是平行四边形,PQ/OB, PQ = OB = *,二当点R的坐标为（0,2）时,点Q的坐标分别为©（-点2）, （、代2）; 当点均的坐标为（-芈，2时，点0的坐标分别为2 2芈，2J. 14分（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）311 解：（1）在 y = -x2 +3 中，令 y = 043 ?+3 = 04/. xl = 2 9 x2 = 2、/. A(-2,0), 3(2Q)1分X E/ kVMD 0P3又点B在y = 一 x +方上2b丄2 33 BC的解析式为y = -二人+牙2由y

32、 = _h+342 = 2丿2=05分6分7分8分 在中，80 = 2.心，则心9AB = 4, CD = -41 99S磁=7x4><4 = q(3)过点N作NP丄MB于点PEO 丄 MB:.NP / EO仏 BNPs/beOBN NP * BE "3 3由直线y = -二x+二可得:2'NP 令9分10分11分2t NP 了一丁S = -(r-2)2+12此抛物线开口向下，二当/ = 2时,Sq； = 1?当点M运动2秒时，的面积达到最大，最大为=512解:(l) m=-5, n=-34(2) y=-x+23(3) 是定值.因为点D为ZACB的平分线，所以可设

33、点D到边AC, BC的距离均为h,设ZkABC AB边上的高为H, 则利用而积法可得：CM h CN h MN H +=2 2(CM+CN) h=MN HCM+CN MNHhf CM CN 又H二MN化简可得(CM+CN)MNCM CN h13解：(1)由已知得:亠比“解得c=3,b=2抛物线的线的解析式为y =-疋+ 2x + 3(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1, 4)所以对称轴为x=l, A, E关于x二1对称，所以E(3, 0)设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的ill!积二Smo + $梯形”。+ S = -AOBO + -BO + DFyOF + -EFDF2 2 2=x

34、lx3 + (3 + 4)xl + x2x42 2 2二 9(3)相似如图，BD=+ DG1 = Vl2 +12 = 72BE 二JBC+OE? = V32+32 = 3近DE= ylDF2+EF2 = >/22 +42 =2书所以 BD2 + BE2 = 20, DE2 = 20 即：BD2 + BE2 = DE2,所以是直角三角形 所以ZAOB = ZQBE = 90。，且乂 =竺=更，BD BE 2所以AAOBADBE.14解（I ）当a = h = l, c = -l时，抛物线为j = 3a2 +2.V-1 ,方程3.x2 + 2x -1 = 0的两个根为“ =-1 , x2 =

35、 i .（1 、该抛物线与X轴公共点的坐标是（-1,0）和丄,02分（II）当“" = 1时.抛物线为y = 3F+2兀+ c,且与兀轴有公共点.对于方程3x2+2a+c = 0,判别式 = 4一1沁),有c<-3当c =-时，由方程3F+2x + 1=0,解得x. =a> =-3 323此时抛物线为y = 3x2+2x + -与a-轴只有一个公共点3当 < 时，召=一1 时，” =3 - 2 + c = 1 + c ,尤2=1 时，y2 = 3 + 2 + c = 5 + c.由已矢时，该抛物线与询有且只有-个公共点，考虑其对称轴皿t，应有W 0, 儿> &

36、#176;1 + cWO,5 + c>0.解得5vcW_l综上,© =丄或5vcW 1.6分3(III)对于二次函数 y = 3ax2 + 2hx + c >由已矢口“=0时，y = c>0：勺=1 时，y2 = 3t/ + 2Z? + c>0 又 “ + Z? + f = 0， 3a+ 21 + c = (a + b+ c)+ b =+ b 于是 2</ + Z?> 0.而b =2e/ 6/ c >0 , R卩 6/ c >0.a >c> 0 V关于X的一元二次方程3<U-2 + 2bx + c = 0的判别式 = 4b2 2ac = 4(n + c)2 一 12ac = 4(a - c)2 + ac > 0 ,8分抛物线y = 3ar2 +2/x + c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方.又该抛物线的对称轴% =,3a由= 0, c>0, 2t/ + /?>0得2n.1b 2.一<一一<-3 3“ 3又由已知X =0时，j| &