格林公式知识点总结

1、第三节格林公式及其应用教学目的：理解和掌握格林公式及应用教学重点：格林公式教学难点：格林公式的应用教学内容：、Green公式单连通区域.设D为单连通区域，若 D内任一闭曲线所围的部分都属于D .称D为单连通区域（不含洞），否则称为复连通区域 （含洞）规定平面D的边界曲线L的方向，当观看者 沿L行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边，如定理1.设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x, y）和Q（x, y）在D上具有一阶连Q P（）dxdy 口 Pdx续偏导数，则有D x y = LD的取正向的边界曲线即格林公式既为x-型又为y-型区域l2 : yL1: y 1 （x）Pdx又LPdxd

2、yPdxQdy.L 为P2（x）/ y 连续,严y=adx i（x）十dybaPXi, 2（X）沿，！（x）dxPdxL1LPdxbPX1,1 （x）dxbPX1, 2（x）dxab+ a1（x）PX1, 2（x）dx/12vD-dxdy oQdx对于y-型区域，同理可证y = L原式成立对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在D1, D2，d3, D4上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证dxdy xdy ydxD= Lydx2几何应用，在格林公式中，取 P y,Q x,.1A xdy2 l 3dxdy说明：1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立、十丄 口

3、 xdy ydx2 ）记法L=3 ）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重积分.4 ）几何应用.例 1 计算 C（y x）dx（3x y）dy(x 1)2(yp4)29例1.计算星形线 y1A xdy2 Lo (3 1)dxdy解：原式=D3 .a cos tasin t围成图形面积18(01 2 3 2ydx(a cos t 3a sin t cost3 a2=8a si n2123acos tsint)dt平面上曲线积分与路径无关的条件1）与路无关：是G为一开区域，P（x, y）, Q（x, y）在G内具有一阶连续偏导数，若G内任意指定两点 A, B及G内从A到

4、B的任意两条曲线L1丄2Pdx Qdy Pdx QdyPdx QdyL1L2恒成立，则称l丫在g内与路径无关否则与路径有关.例 1. L（x y）dx（X y）dyL1 :从 （1,1）到（2,3）的折线x解:L2从(1,1)到(2,3)的直线3(2 y)dyL Pdx Qdy _ 1L2 :(1)(2)(3)（4）证明:y 3 2(xy)dx (x2),即 yy)dy212x5x)dx 一51)2(1 x)dx221（x定理：设P（x, y） , Q（x, y）在单连通区域阶偏导数，则以下四个条件相互等价内任一闭曲线C , CPdx Qdy = 0.LPdx Qdy与路径无关对内任一曲线L,

5、在DP(1)由（1）(2)（x，y）后，则2xD内有连续的一内存在某一函数（x,y）使d （x, y） Pdx Qdy在d内成立.Qx，在D内处处成立.A，B ,及连接A，B的任意两条曲线 AEB , AGB（2）在D内任取两点BG(3 )若(x,y)Pdx(勺0)C AGB BGA为D内一闭曲线什 0 Pdx知CQdyPdxAGBQdy+PdxBEAQdy=oPdxAGBQdyPdxBEAQdyLPdx Qdy在D内与路径无关.当起点固定在（xo, yo ）占终占为下证：u(x,y) =u. P(x,y) , Q(x, y)连续，只需证 xxxQdy是x, y的函数，记为u(x, y).(x

6、,y)(xo,yo)Pdx Qdy 的全微分为 du(x, y) = Pdx Qdy .uP(x,y)-y Q(x,y),u(x x) u(x,y)lim由定义 xu(x x, y)(x x,y)Pdx(x,y)xPdx(x x,y)Pdx(xo,y)Qdyu(x, y) +Qdyx xx Pdx=px, P P(xx,y) (01)(3)PP(x,y)（4）P，同理yQ(X, y)x y,Q故y = x上_若 du（x, y） = Pdx Qdy，往证 y =二,PQ Qx y x ,由P,Q具有连续的一阶偏导数x2ux yQQ y2uy x(4)(1)设C为D内任一闭曲线，D为C所围成的区

7、域.匕 （2 d x yPdx Qdy)dxdy=0x)dx解:(xeX 2y)dyL 为过（，）,eyeyQ xey 2y,I与路径无关(1)(2)(0,1)和(1,2)点的圆弧.Q yex ，y取积分路径为OA AB.Pdx Qdy+ ABOA10(1 x)dxPdx Qdy2(ey 2y)dyc为以（0,0）为心的任何圆周 c为以任何不含原点的闭曲线yf厂*f、1 Jo/xxdy ydxC 2例2. 计算 x解:P(1)令2 y (x22x2、2y),x2 2x y2 2y x2 2 2(x y ),P Q在除去（0,）处的所有点处有为半径作足够小的圆使小圆含在C内，2 2 2 .r c

8、os x r sin2r2：c Pdx Qdy 0Q（2）v y = x三、二元函数的全微分求积c PdxQdy 0y = x，做以0为圆心，r严Qdy=0，即Ay(x,y)/ C Pdx Qdy与路径无关，则Pdx Qdy为某一 函数的全微分为(Xo,y)(x,y)x/、Pdx Qdy Pdxu(x, y) = %0)= x0注：u(x, y)有无穷多个.yQdy Pdx Qdy+ yo验证：(2x 解：令Psin y)dx2x sin y , Qxcosydy是某一函数的全微分，并求出一个原函数xcosyAy(x, y)P cosy yQ cosy x,原式在全平面上为某一函数的全微分，取

9、(X0,y)(0,0)(x.0)例5.u(x, y)(x,y)(0,0)PdxQdyxxdx0y0 xcosydy=x2xsin y计算C(y3e解：令Pmy)dy (3y2ex m)dymmy , Q2 x3y ec为从E到F再到G , FG是半圆弧c 2 x3y ec 2 x3y e原式=(1例6.设f (x)在(Qx添GE pdx(! Py加QdyGE d mdxdymJ 2 12中m(1)m430dx1m(1)41 mb)上连续可导，求L yA(3,)B(1 2)x 2石y2f(x, y)dy y其中为从点 3到B(1,2)的直线段.p解；令1 y f(x,y)x 2Q 2y f (x

10、, y) 1 y2yf(x,y)xy2f (x,y)y 1 y2f(x,y) y2f(x,y) xy3f(x,y) 11 22y2f(x, y) 1 yQ22y3fy(x, y)原式=CB故原积分与路径无关，添2y2f(y)AC =3 yAC1dy1 3223 f(：x)dx3 23311.证明： f (x2c2.确定Ix(xc3小结：作业:y2 f (x, y) xy3 f (x, y) 1CB构成闭路，.原式;|1 吟+ BCAC 022f(y)31dyy322f(u)du22 f (y)dy3 y23f(u)为连续函数，而C为无重点的按段光滑的闭曲线，则2)(xdxydy) 0n值2 nQdxy使在x2(x2不经过直线y2 ny )20的区域上，dy与路径无关,并求当C为从点(11)到点