第十四讲：专题二：几何图形面积计算到正方体展开图

1、龙文培训学校授课课题第十四讲：专题二：几何图形面积计算到正方体展开图教学目标1.基本几何图形的面积公式和周长公式；2.基本模型-阴影部分面积；3.正方体展开图11种情况；教学重点1.基本几何图形的面积公式和周长公式；2.正方体展开图。教学难点1.基本几何图形展开图的情况；2.正方体展开图11种情况理解。教学流程新课导入3.ABC是等腰直角三角形。D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，已知：ABBC10，那么阴影部分的面积是多少？DACB【思考】 CBA1.三角形ABC是直角三角形，阴影部分的面积比阴影部分的面积小28平方厘米。AB长40厘米，BC长多少厘米？2016122.在右图中（单位：厘米）

2、，两个阴影部分面积的和是多少平方厘米？合作探究一基本公式和图形回顾1、平面图形的周长和面积（1）围成一个图形的所有边长的总和叫做这个图形的周长。（2）物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。（3）计算公式：长方形：正方形：平行四边形：圆：三角形：梯形的周长公式和面积公式。2、立体图形的表面积和体积（1）一个立体图形所有的面的面积总和，叫做它的表面积。（2）一个立体图形所占空间的大小叫做它的体积。（3）长方体和正方体的特征：形体相 同 点不 同 点 关 系面棱点面 的 形 状面 积棱 长长方体6个12条8个6个面都是长方形（也可能有两个相对的面的正方形）相对的面的面积相等每一组互相平行

3、的四条棱的长度相等。正方体是特殊的长方体正方体6个12条8个6个面都是相等的正方形6个面的面积都相等12条棱的长度都相等。（4）圆柱和圆锥的特征：名 称基 本 特 征直 圆 柱1、上、下两个底面是面积相等的圆。2、两个底面之间的距离叫高，高垂直于上、下两个底面。3、圆柱的侧面展形是个长方形。（长=底面周长，宽=高）直 圆 锥1、底面是一个圆。2、从顶点到底面圆心的距离叫高，高垂直于底面圆。3、圆锥的体积等于和它等底、等高的圆柱体积的三分之一。（5）计算公式： 二、基本计算面积模型（阴影部分的面积）ABCDEFG平行四边形BCD的对角线上一点，E=EC,BF=F，三角形的面积等于3，求平行四边形

4、面积是多少？ABDECFG正方形和EFGC分别是边长和,求阴影面积。CADE512135o6B求图形面积。一块长方形草坪，长是米，宽是10米，中间有两条交叉的人行道，一条是长方形，一条是平行四边形，人行道宽2米，那么，有草部分（阴影部分）的面积有多大？BDOC三角形的面积是15，OB=3OD,求梯形的面积。在长方形中，为宽的中点，为长的中点，求阴影面积占长方形面积的几分之几？CEFBD在图中平行四边形ABCD的边长BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。ABFGCDFABCE三角形ABC是等腰直角

5、三角形，AEFC1厘米，三角形AEF的面积是1平方厘米，四方形BCFE的面积是多少平方厘米？右图中正方形ABCD的边长是6米，长方形DEFG的长DG8米，问长方形的宽DE为多少厘米？DCGBFAE 长方形ABCD的长为7厘米，宽是4厘米，另一个长方形DEFG的长为10厘米，宽是2厘米，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。ABDGCEFOE两个相同的直角三角形如图重叠在一起，求阴影部分的面积。5cm2cm12cm图中长方形ABCD中AB5cm,BC=8cm.三角形DEF（甲）的面积比三角形ABF（乙）的面积大8平方厘米。求DE的长。AEFD甲乙BCABDC450在四边形ABCD中，C450，

6、B900，D900，AD=4cm,BC=12cm.求四边形ABCD的面积。 CBA三角形ABC是直角三角形，阴影部分的面积比阴影部分的面积小28平方厘米。AB长40厘米，BC长多少厘米？201612在右图中（单位：厘米），两个阴影部分面积的和是多少平方厘米？ABC是等腰直角三角形。D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，已知：ABBC10，那么阴影部分的面积是多少？DACB图中阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积。DCEAE如图，以B，C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，则阴影部分的周长是厘米。（保留小位小数）图中扇形的半径OAOB6cm.AOB45o,AC垂直OB于C，那么图中阴影部分的面

7、积是多少平方厘米。（=3.14）450ADcB6CDBAo三角形ABC面积是31.2平方厘米。圆的直径AC6厘米；BD：DC3：1；求阴影部分面积。8cm64米4米5厘米3厘米10cm10cm4222AEBHFDGC长方形ABCD中，AEEB，BC3BF，CGGD，H是AD上的任一点，则图中阴影部分的面积是几分之几？正方形ABCD边长为10cm,BOAE,BO长8cm。AE？DACBoE如图，以OA为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以0点为中心旋转900，问三角形扫过的面积是多少？oAA10cm22cm8cm图中平行四边形面积是20，求阴影面积是多少？ADBCFEO如

8、图正方形的边长为6厘米，E，F分别是CD，BC的中点，求阴影部分的面积。梯形ABCD的面积是90平方厘米，AC3AO，阴影部分的面积是多少平方厘米？ABCDo两个正方形的周长相差12厘米，面积相差69平方厘米，两个正方形的面积各是多少平方厘米？初中常见的面积转换运用1 等积变换在三角形中的运用首先我们来讨论一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积=1/2底高因此我们有【结论1】等底的三角形面积之比等于对应高的比【结论2】等高的三角形面积之比等于对应底的比这2个结论看起来很显然，可大家小看它们，在许多和三角形面积比有关的题目中它们都能发挥巨大的作用，因为它们把三角形的面积比转化为了线

9、段的比，我们来看下面的例题。【例1】（）如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？【解】：SADO=5,SDOC=4根据结论2，ADO与DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理SAOB/SBOC=AO/OC=5:4,因为SAOB=15所以SBOC=12。【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁

10、”，请同学们体会一下。【拓展】SAODSBOC=SCODSAOB，也适用于任意四边形。【练习】如下图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，AOB面积为1平方千米，BOC面积为2平方千米，COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【例2】（）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？【解】：粗线面积：黄面积=2：3， 绿色面积是折叠后的重叠部分，减少的部分就是因为重叠才变少的，这样可以设总共3份，后来粗线变2份

11、，减少的绿色部分为1份，所以阴影部分为2-1=1份，【总结】份数在小升初中运用的相当广，一定要养成这个思想！2 燕尾定理在三角形中的运用 下面我们再介绍一个非常有用的结论:【燕尾定理】:在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O,那么SABO:SACO=BD:DC 【证明】：根据结论2 BD/DC=SABD/SADC=SBOD/SCOD因此BD/DC=( SABD- SBOD)/( SADC- SCOD)=SABO/SACO证毕上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理。该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用。【例3

12、】（）在ABC中=2:1, =1:3，求=?【分析】题目求的是边的比值，我们可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以方法二是我们要首选的方法。本题的图形一看就知道是燕尾定理的基本图，但2个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步我们要连接OC。【解】：连接OC因为AE:EC=1:3 (条件)，所以SAOE/SCOE=1:3 若设SAOE=x,则SCOE=3x，所以SAOC=4x,根据燕尾定理 SAOB/ SAOC=BD/DC=2:1，所以SAOB=8x，所以BO/OE=SAOB/SAOE=8x/x=8:1。【例4】（）三角形ABC中

13、，C是直角，已知AC2，CD2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？ 【解】：因为缺少尾巴，所以连接BN如下，的面积为322=3这样我们可以根据燕尾定理很容易发现：=CD：BD=2：1；同理：=BM：AM=1：1；定理需牢记 做题有信心！ 设面积为1份，则的面积也是1份，所以得面积就是1+1=2份，而：=CD：BD=2：1，所以得面积就是4份；：=BM：AM=1：1，所以也是4份，这样的面积总共分成4+4+1+1=10份，所以阴影面积为3=。3 平行线定理在三角形中的运用（热点）下面我们再来看一个重要定理：平行线的相关定理：（即利用求面积来间接求出线段的比例关系）同

14、学们应该对下图所示的图形非常熟悉了相交线段AD和AE被平行线段BC和DE所截，得到的三角形ABC和ADE形状完全相似所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例体现在右图中， 就是AB：AD=BC：DE=AC：CE=三角形ABC的高：三角形ADE的高这种关系称为“相似”，同学们上了中学将会深入学习相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化（如右下图），往往不易看出相似关系如（右下图）AB平行于DE，有比例式AB：DE=AC：CE=BC：CD，三角形ABC与三角形DEC也是

15、相似三角形下图形状要牢记并且要熟练掌握比例式 【例5】（）如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是4 cm，CED的面积是6cm。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？【解】：方法一：连接BF，这样我们根据“燕尾定理”在梯形中的运用知道三角形BEF的面积和三角形EDC的面积相等也是6，再根据例1中的结论知道三角形BCE的面积为664=9，所以长方形的面积为：15230。四边形面积为3046911。方法二：EF/EC4/62/3=ED/EB，进而有三角形CBE的面积为：63/29。则三角形CBD面积为15，长方形面积为15230。四边形面积为3046911。【例6】（）如右

16、图，单位正方形ABCD，M为AD边上的中点，求图中的阴影部分面积。【解1】：两块阴影部分的面积相等，AM/BC=GM/GB=,所以GB/BM=，而三角形ABG和三角形AMB同高，所以SBAG=SABM=12=，所以阴影面积为2=【解2】：四边形AMCB的面积为（0.5+1）12=，根据燕尾定理在梯形中的运用，知道： =AM：BC：AMBC：AMBC=：1：=1：4：2：2；所以四边形AMCB的面积分成1+4+2+2=9份，阴影面积占4份，所以面积为=。【解3】：如右图，连结DG，有：SACM=SBAM（同底等高），又SBAG=SADG（BAG与ADG关于AC对称）又SAGM=SGDM（等底同高

17、）【例7】（）如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是_平方厘米。【解】：解：延长EB到K，使BK=CD。 三角形EGK与三角形DGC成比例，DC：EK=2：3，所以DG：GK=2：3，由于三角形DEK=90，所以EGK=903/5=54，所以四边形EBFG=EGK-BKF=24。同理，EB：DC=1：2，所以BH：HD=1：2，所以三角形EBH=1/3EBD=10所以，四边形BGHF的面积是24-10=144 利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系【例8】（）如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘

18、米，求它的宽DE等于多少厘米？【解】：连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）. SAGD=442=8，又DG=5，SAGD=AHDG2，AH=825=3.2（厘米），DE=3.2（厘米）。【例9】（）如下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。【证明】：这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。我们添加一条辅助线，即连结CE（见图），这时通过三角形DCE，就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高与平行四边形ABCD边DC上的高相等，所以平行四边形ABCD的面积是三角形DCE的两

19、倍；同理，在平行四边形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高与平行四边形DEFG边DE上的高相等，所以平行四边形DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。 两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍，所以它们的面积相等。5 差不变原理的运用【例10】（）左下图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比EFG的面积大10cm2，求CF的长。【解】：两块阴影部分的面积和比EFG的面积大10,两部分分别加上四边形BCFG，这样四边形ABCD的面积比三角形BEC的面积大10cm2SBCE=1/2108=40 所以四边形ABCD的面积是50 。 底是1

20、0，所以高是5cm【例11】（）如图，ABCG是47的长方形，DEFG是210的长方形，那么，三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少？ 方法一：思 路：公共部分的运用，这是小升初的常用方法，熟练找出公共部分是解题的关键。【解】： GC=7，GD=10推出HE=3；BC=4，DE=2阴影BCM面积-阴影MDE面积=(BCM面积+空白面积)-(MDE面积+空白面积)=三角形BHE面积-长方形CDEH面积=362-32=3总 结：对于公共部分要大胆的进行处理,这样可以把原来无关的面积联系起来,达到解题的目的.拓 展：如图,已知圆的直径为20,S1-S2=12,求BD的长度?方法二：思 路：

21、画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC和DE均为已知的，所以关键问题在于求CM和DM这两条线段之和CD的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了，这恰好可以利用平行线BC与DE截成的比例线段求得解: GC=7，GD=10 知道CD=3；BC=4， DE=2 知道BC:DE=CM:DM 所以CM=2，MD=1。阴影面积差为:422-122=3方法三：连接BD S S =SS =(3423)2=36 其他常考题型【例12】（）下图中，五角星的五个顶角的度数和是多少？【解】：连接AB（见右图）。因为AOB=COD，所以OAB+OBA=OCE+OEC。由此推知，五角星五个顶角之和等于三角形ABD

22、的三个内角之和，是180度。【例13】用同样大小的22个小纸片摆成下图所示的图形，已知小纸片的长是18厘米，求图中阴影部分的面积和。【解】：由图形的等量关系：5长3长3宽，则宽182/312。再由弦图的特点，阴影中正方形的边长为18126。可见阴影部分面积为366108。三视图介绍：主视图、左视图、俯视图复习巩固练习：1、下列几何体中，三视图形状相同、大小相等的是 （ ）A球 B长方体 C圆锥 D圆柱2、下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图分别是下图中三个图形的是（ ）ABCD主视图左视图俯视图3、某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，其俯视图如图所示，则此工件的左视

23、图是（ ）俯视图ABCD4、如图，是由若干个小正方体所搭成的几何体，是的俯视图，则的左视图是（）5、右图是由相同小正方形搭的几何体的俯视图（小正方形中所标的数字表示在该位置上小正方体的个数），则这个几何体的左视图是（ ）132211A B6、右图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（）ABCD3112247、如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，则关于它的视图，下列说法正确的是（）正视图的面积最小左视图的面积最小俯视图的面积最小三个视图的面积一样大8、如图是小玲在九月初九“重阳节”送给她外婆的礼盒，图中所示礼盒的主视

24、图是（ ）正面ABCD9、如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的俯视图应是 A. B. C. D.A B C D10、与如图所示的三视图对应的几何体是（ ）11、下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（）圆柱 正方体 三棱柱 圆锥ABCAB12、将如图所示的绕直角边旋转一周，所得几何体的主视图是（ ）13、一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）ABCD秀丽江北水城14、如图是每个面上都标有一个汉字的正方体的平面展开图，在此正方体上与“水”字相对的面上的汉字是（）A“秀”B“丽”C“江”D“城”正方体的展开图：巩固练习：1正方体棱长扩大3倍，表面积扩大（ ）倍，体

25、积扩大（ ）倍。2一个长7厘米，宽6厘米，高3厘米的礼盒，用绳子将它捆起来，接头处 5厘米，至少要（ ）分米的绳子。3棱长2厘米的小正方体木块堆成物体三视图如下，这个物体的体积是（ ）立方厘米。4长方体（棱长为整厘米），表面涂上颜色，然后切成棱长1厘米的小正方体，若涂上颜色的小正方体有3块，两面涂色的有（ ）块，一面涂的有（ ）块。52x+12=273x 与 9x3（2x2）=3的解相同。（ ）6a、b、c是自然数，且abc，则 ( )7. 右图是正方体展开图，相交于同一顶点的三个面总和最大是（ ）A14 B13 C12 D118如下图，正方体的展开图是（ ）。9 3（31）= 0.245=

26、0.3 = 10.解方程: 165(x+1.2)=2 x4 (三)归纳小结中考连接1（2013温州）下列各图中，经过折叠能围成一个立方体的是（）ABCD2（2012德州）如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（）ABCD3（2011徐州）以下各图均有彼此连接的六个小正方形纸片组成，其中不能折叠成一个正方体的是（）ABCD4（2011南京）如图是一个三棱柱下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）ABCD5（2011湖州）下列图形中，经过折叠不能围成一个立方体的是（）ABCD6（2011龙岩）如图可以折叠成的几何体是（）A三棱柱B四棱柱C圆柱D圆锥7（2007陕西）下面四个图形中，经

27、过折叠能围成如图只有三个面上印有图案的正方体纸盒的是（）ABCD8（2006仙桃潜江江汉）下面四个图形都是由相同的六个小正方形纸片组成，小正方形上分别贴有北京2008年奥运会吉祥物五个福娃（贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮）的卡通画和奥运五环标志，如果分别用“贝、晶、欢、迎、妮”五个字来表示五个福娃，那么折叠后能围成如图所示正方体的图形是（）ABCD9（2012凉山州）已知，则的值是（）ABCD10（2010漳州）若，则=（）ABCD11用两块全等的等腰直角三角形纸片不能拼出下列图形（）A平行四边形B正方形C等边三角形D等腰直角三角形12用形状和大小完全相同的直角三角形拼下列图形，：平行四边形矩形

28、菱形正方形等腰三角形等边三角形，其中一定可以拼成的有（）A3种B4种C5种D6种13下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出三角形和平行四边形，又能拼出梯形的是（）ABCD14两个全等的直角三角形一定不能拼出的图形是（）A平行四边形B矩形C正方形D等腰梯形15对于下列图形：平行四边形；矩形；菱形；正方形；等腰三角形；等边三角形其中可以用任意两个全等的直角三角形拼成的图形有（）ABCD16将两张完全一样的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分组成的四边形一定是（）A正方形B长方形C菱形D无法确定17将两个全等的不等腰三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数是（）A4B3C2D118（2011资阳

29、）将一张正方形纸片如图所示折叠两次，并在上面剪下一个菱形小洞，纸片展开后是（）ABCD19（2012宁德）将一张正方形纸片按图、图所示的方式依次对折后，再沿图中的虚线剪裁，最后将图中的纸片打开铺平，所得到的图案是（）ABCD20（2011营口）如图，将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A正四边形B正六边形C正八边形D正十边形21（2011广州）如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）AB

30、CD22（2010台湾）将图1的正方形色纸沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另一条对角线对折，如图2所示最后将图2的色纸剪下一纸片，如图3所示若下列有一图形为图3的展开图，则此图为（）ABCD23（2010佛山）尺规的作图是指（）A用直尺规范作图B用刻度尺和圆规作图C用没有刻度的直尺和圆规作图D直尺和圆规是作图工具24尺规作图所用的作图工具是指（）A刻度尺和圆规B不带刻度的直尺和圆规C刻度尺D圆规25下列作图语言中，正确的是（）A过点P作直线AB的垂直平分线B延长射线OA到B点C延长线段AB到C，使AB=BCD过AOB内一点P，作AOB的平分线26下列作图语句正确的是（）A延长线段AB到C

31、，使AB=BCB延长射线ABC过点A作ABCDEFD作AOB的平分线OC27（2012宜昌）如图，在106的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将ABC平移到DEF的位置，下面正确的平移步骤是（）A先把ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位B先把ABC向右平移5个单位，再向下平移2个单位C先把ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位D先把ABC向右平移5个单位，再向上平移2个单位28（2006娄底）下列A，B，C，D四幅图案中，能通过平移图案得到的是（）ABCD29（2005扬州）观察下面图案，在A，B，C，D四幅图案中，能通过图案（如图所示）的平移得到的是（）ABCD30如图，A，B，C，D中的哪幅图案可以通过图案平移得到（）ABCD能力提升练习几何图形练习题（一）（运用平移、翻折与旋转不、割补等法求面积类）1、 下图中长方形的面积是45平方米，求阴影部分的面积。2、把一块1.35公顷的长方形田地划分成两部分（如下图），其中三角形田地比梯形田地少0.81公顷，三角形的底是60米。这块长方形地的长和宽各是多少米？3、 如下图，半圆的