高中数学新人教A版：必修二综合测试卷(含答案)

1、必修二综合测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大共12小题，每小j5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 .某几何体的正视图和侧视图均如图所示(上面是一个圆，下 面是个正方形)，则下面四个图中可以作为该几何体的俯视图的是A. (1)(3)C. (2)(4)图B.D.(2)(3)(4)(1)(4)(3)(4)解析：由该几何体的正视图和侧视图，可知该几何体可以为一个 正方体上面放着一个球，也可以是一个圆柱上面放着一个球，则其俯答案:A2 .已知直线/的倾斜角为45° ,直线人经过点A(3, 2), B(af1),且人与/垂直，直线京2x+

2、" + l=0与直线人平行，贝IJ+ =-4B. -2C. 0D. 2解析：由题意知，直线/的斜率为1,则直线/i的斜率为一 1,所212以3+刈=1,所以。=4,又所以一三=一1,所以力=2, 所以 4+b=4+2=2.答案：B3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 16+8 兀C. 16+16 nB. 8+8 nD. 8+16 Ji解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成 的几何体，所以体积为;n X22X4+2X2X4=16+8n.答案:A4,已知点。是点P（3, 4, 5）在平面xOy上的射影，则线段P。 的长等于（）A. 2B. 3C. 4

3、D. 5解析：由题意，得。（3, 4, 0）,故线段P。的长为5.答案：D5.如图所示，在正方形ABCD中，£、尸分别是bC、CO的 中点，G是的中点，现在沿AE、4尸及E尸把这个正方形折成一 个四面体，使5、C、。三点重合，重合后的点记为如图所示, 那么，在四面体4£尸”中必有（ ）A. 所在平面B. AGJ_ZkEFH所在平面C. HF_LAAE/所在平面D. HG_LAAEF所在平面解析：折成的四面体中有AH_L£H, AH±FHf所以AH1.面HEF.答案：A6.已知直线 /： x+4一1=O(“£R)是圆 C： x2+j24x2y+l

4、 =0的对称轴.过点4(一4, )作圆C的一条切线，切点为5,则L4初 =( )A. 2B. 42C. 6D. 2回解析：由题设得圆C的标准方程为(x2)2+(y 1尸=4,知圆C 的圆心为(2, 1),半径为2,因为直线/为圆。的对称轴，所以圆心在 直线/上，则 2+。一1=0,解得 =-1,所以L46|2=L4C|2一出02=(一 4-2)2+(-1-1)2-4=36,所以 1451=6.答案：C7. 一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为()A. 277rB. 18兀C. 9兀D. 547r解析：设正方体的棱长为“，球的半径为r,则痴2=5%所以4=3.又因为2r=f3a“小

5、3小 所以/=手。=-,27所以S *=4而产=4%乂了=27乃.答案：A8,已知高为3的直棱柱48G4二。的底面是边长为1的正三角形 （如图所示），则三棱锥Bf-ABC的体积为（）解析：Vb，-a/?c=1 SiBC h=；义号义3=呼.答案：D9.若圆（-3）2+。+5）2=户上有且只有两个点到直线4x3y=2 的距离为1,则半径的取值范围是（）B. 4, 6)D. 4, 6A. (4, 6)C. (4, 6解析：因为圆心到直线的距离为112+15-21声 + (-3) 2=5,所以半径r的取值范围是（4, 6）.答案：A10.直线 x+Ay=0, 2x+3y+8=0 和 Xy1=0 交于

6、一点，则k的值是（）C. 2D. -22r+3y+8=0, fx= -1,解析：解方程组 ,、 得 ，贝4点（- 1, 一2）在 x->-i=o,y=-2f直线x+Aj=O上，得=一；.答案：B11 .在四面体A3C£中，棱AH AC, 40两两互相垂直，则顶 点A在底面BCD上的投影H为BCD的（）B.重心A.垂心C.外心De内心解析：因为45LAC,AB±AD9 ACrAD=A9因为45,平面ACO,因为4H，平面BCD,所以AHJLCD, ABrAH=A,B. 60°D. 30°所以CO_L平面ABH,同理可证CHJJJO, DH工BC,则是

7、3C0的垂心.答案：A12 .如图所示,点P在正方形ABCD所在平面外,PA _L平面ABCD, PA=AB9则Pb与AC所成的角=（）A. 90°C. 45°解析:将其还原成正方体AbCOP2KS,连接SC,45,则PB/SC,所以NACS（或其补角）是PB与AC所成的角.因为AACS为正三角形，所以NACS=60° ,所以PH与4c所成的角是60°.答案：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填 在题中横线上）13 .若点P在直线x+y4=0上，。为原点，则I。尸I的最小值是解析：IOPI的最小值即为点。到直线x+j4=0的距离，

8、d=10+0-41Vi+i 2y/2,14 .若函数y=x+8与=一上十的图象关于直线产X对称,贝！+5=,解析：直线y=or+8关于j=x对称的直线方程为x=ay+8,所以x=ay+8与y = Jx+力为同一直线，« = -2,故得L所以。+=2.仍=4,答案：215 .圆x2+（y+l）2=3绕直线hy 1=0旋转一周所得的几何 体的表面积为.解析：由题意，圆心为（0, 1）,又直线y1=0恒过点（0, 一 1）,所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即 是圆的半径，所以5=4秋/）2= 12乃.答案：12九16 .设“，b, c是空间的三条直线，下面给出四个命题：

9、若。_L，b±ct J® a/c;若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线;若。和力相交，力和。相交，则。和c也相交；若。和力共面，和c共面，则。和。也共面.其中真命题的个数是.解析：因为aJ_。，b±cf所以。与c可以相交、平行、异面，故错.因为、。异面，。、c异面.则、。可能导面、相交、平行，故错.由a、b相交，b、c相交，则4、。可以异面、平行，故错.同理错，故真命题个数为0答案：0、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17 .（本小题满分10分）如图所示,在正三棱柱A5G415C1中,441=6

10、,异面直线3G与A小所成角的大小为30° ,求该三棱柱的体积.解：因为CG44i.所以NBCC为异面直线3cl与44i所成的角，即NBCiC=30°.在 RtABCCi 中，BC=CCi tanZBCiC=6X=2V3,从而 Smbc=BC2=33,因此该三棱柱的体积V=Sbc - 441=33X6=183.18 .（本小题满分12分）已知一个几何体的三视图如图所示.俯视图（1）求此几何体的表面积；（2）如果点P,。在正视图中所处的位置为：P为三角形的顶点， Q为四边形的顶点，求在该几何体的侧面上，从点P到点Q的最短路 径的长.解：（1）由三视图可知，此几何体是一个圆锥和一

11、个圆柱的组合体， 其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和.S ®«=1（2nfl）*（V2a）=V2n«2, 5 =（2nay（2a）=4na2t S n 板底=nn2,所以此几何体的表面积S4=S obm+S hie+S K=2na2+4na2+ nn2=(/2+5) na2.分别沿点尸与点Q所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平, 如图所示,则PQ=jAP2+AQ2=(2a) 2+ ( na) 2=a)4+ n2.所以P,0两点在该几何体的侧面上的最短路径的长为。护19 .(本小题满分12分汝口图，已知在平行四边形A5CD中，边 48所在直线

12、方程为2r-y-2=0,点C(2, 0).求:(1)直线CD的方程；(2)AB边上的高CE所在直线的方程.解：(1)因为四边形ABC。为平行四边形，所以A5CD, 所以.故CD的方程为y=2(x-2),即 2rj4=0.(2)因为CE_L48,所以hE=一卷=一；.所以直线C£的方程为y=-；(x-2),即 x+2y2=0.20.(本小题满分12分)已知圆好+丁=4上一定点A(2, 0), 3(1, 1)为圆内一点，P,。为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若NPBQ=90° ,求线段P。中点的轨迹方程.解：(1)设AP中点为M(x, j),由中点坐标公式可

13、知，P点坐标(2r-2, 2j).因为尸点在圆x2+y2=4上，所以(2r2A+(2y)2=4.故线段4P中点的轨迹方程为(x-l)2+y2=i.(2)设2。的中点为点(x, y).在 RtAPBQ 中，PN=BNf设。为坐标原点，连接ON(图略)，则 ON_LP0,所以 IOP|2=ionH+PN2=ON2+出 N|2, 所以工2+)，2 +(%1)2 + 0 -)2 = 4.故线段尸。中点的轨迹方程为好+产一工一丁一 1=0.21.(本小题满分12分)(2015北京卷)如图所示，在三棱锥V-ABC 中，平面必15J_平面A5C, E45为等边三角形，ACLBC AC= BC=, O, M分

14、别为A5,必1的中点.求证：平面MOC；(2)求证：平面MOC_L平面E43；(3)求三棱锥V-ABC的体积.(1)证明：因为。，M分别Ab, E4的中点, 所以OMHVB.又因为同W平面MOC所以丫5平面MOC(2)证明：因为AC=5C,。为AB的中点，于是(0-1)2+16 =(一13)25解得：a=3, r=24或。=7, r=46所以圆C的标准方程为(x-3)2+(y-6)2=20或(x+7)2+(y6户=80.(2)设点M的坐标为(x,刃，点P的坐标为(xo, jo),Xo3x=-2- 9jo-6y=M，io=2x+3,即：,* yo=2y+6t又点P(xo, yo)在圆C上，若圆C的方程为(无一3产