1.3.1函数的单调性例题

1、1.3.1 函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例 11作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间 （1 1）y y = = x2 _1 ; ; （2 2）y = X2+2X+3; （3 3） y = x+l| + （x2）2 ； （4 4） y =培x26x+9+lx2+6x + 9 相应作业 1 1:课本 P32P32 第 3 3 题. . 题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形一定号 f 下结论 取值，即 _ ； 作差变形，作差 _ ,变形手段有 _ 、 _ 、 _ 、 _ 等; 定号，即 _ ； 下结论，即 _ 。 例 22用定

2、义法证明下列函数的单调性 （1 1）证明： f （x -x3 1在-：，=上是减函数 定义法证明单调性的等价形式 ： 设 Xp X2 三 a,b , x1 - x2, ,那么 (洛、2)圧(兀)-f(X2)l 0= f(Xl) 一 f(X2)0= X1 X2 (X! X2)f (xj 一 f(X2) l：0= U：:：0 = Xi X2 证明：f (x) = . x2 1 -x在其定义域内是减函数； 1 (3 3)证明：f(x) 2在-：,0上是增函数; X 法一：作差f (x)在 la,b la,b 上是增函数; f (x)在a,b 上是减函数. . 法二：作商 (4 4)已知函数y=f(x

3、)在0,= 上为增函数，且f(x)：0(x .0)，试判断F(x)_ 1在 一 f(X) 0,；上的单调性，并给出证明过程； 方法技巧归纳判断函数单调性的方法： 1 1、 直接法：熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等；如，练习册 P27P27(2 2)P31P31 (上 5 5、1 1) 2 2、 图象法； 3 3、 定义法； 4 4、 运算性质法： 当a 0时，函数af (x)与f (x)有相同的单调性； 当a : 0时，函数af (x)与f (x)有相反的单调性； 当函数f (x)恒不等于零时，f (x)与 匚 单调性相反； f(x)f(x) 若f (x) _0，则f(x)与.f

4、(x)具有相同的单调性； 若f(x)、g(x)的单调性相同，则 f(x) g(x)的单调性与之不变； 即：增+ +增= =增 减+ +减= =减 若f(x)、g(x)的单调性相反，则f(x)-g(x)的单调性与f (x)同. . 即：增- -减= =增 减- -增= =增 注意：(1 1)可熟记一些基本的函数的单调性， 一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式， 再利用上述结论判断； 2 ax 相应作业 2 2： (1 1 )讨论函数f(x)二二 在-1,1上的单调性(a = 0)； x -1 k ( 2 2)务必记住“对勾”函数 f(X)= X (k 0)的单调区间(见练习册 P29P29

5、探究之窗 X 探究 1 1) 知识拓展一一复合函数单调性(难点) 一、 复习回顾： 复合函数的定义：如果函数y = f (t)的定义域为 A A,函数t = g(x)的定义域为 D D，值域为 C C， 则当C5A时，称函数y = f(g(x)为f与g在 D D 上的复合函数，其中t叫做中间变量， t二g(x)叫内层函数，y=f(x)叫外层函数。 二、 引理 1 1 已知函数 y=f y=f g(x)g(x):. .若 t=g(x)t=g(x)在区间(a,b)(a,b)上是增函数，其值域为(c (c , d)d), 又函数 y=f(t)y=f(t)在区间(c,d)(c,d)上是增函数，那么，

6、原复合函数 y=f y=f : g(x)g(x)在区间(a,b)(a,b)上是增 函数 引理 2 2 已知函数 y=f y=f g(x)g(x):. .若 t=g(x)t=g(x)在区间(a,b)(a,b)上是减函数，其值域为(c (c , d)d)，又 函数 y=f(t)y=f(t)在区间(c,d)(c,d)上是减函数，那么，复合函数 y=f y=f g(x)g(x)在区间(a,b)(a,b)上是增函数. . 引理 1 1 的证明： 重要结论 1 1：复合法则 若 t =g(x) y = f (t) 则 y = f b(x)】 增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增 减 规律可简记为“

7、_ ”(四个字) 重要结论 2 2:若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函 数中减函数的个数决定： 若减函数有偶数个，则复合函数为增函数； 2 f(x)g(x)与丄 的单调性不能确定. . g(x) 若减函数有奇数个，则复合函数为减函数 1 规律可简记为“ _ 题型三、求复合函数的单调区间 例 3.3.求下列函数的单调区间. . （1） y = . 7 - 6x - X2 3 小结： 1 1、 注意： （1 1）求单调区间必先求定义域； 单调性的应用 题型四、比较函数值的大小 2 单调区间必须是定义域的子集； 3 写多个单调区间时，区间之间不能用“ ”并起来，应用“

8、，”隔开. . 2 2、判断复合函数单调性步骤： 求函数的定义域； 将复合函数分解成基本初等函数： y = f （t）与t = g（x）； 确定两个函数的单调性； 由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性 相应作业 3 3:求下列函数的单调区间. . ” （四个字） 1 x2 2x 3 (1)y = j8-2x-x2 ：X2-2X-3 例 44已知函数y二f(x)在0,：;心上是减函数，试比较 f()与f(a?-a 1)的大小. . 4 题型五、已知单调性，求参数范围 例 55已知函数 f (x) = x2 - 2(x - a)x 2 (1 1 )若f(x)的减区间是 - ：,41,求实数a的

9、值； (2 2 )若f(x)在-：,4 1上单调递减，求实数 a的取值范围 例 66若函数f(x)(2b j j)x)x+b+b- -1,x：0在R上为增函数，求实数b的取值范围 厂x2 +(2 b)x,x 兰0 题型六、利用单调性，求解抽象不等式 例 77已知函数y = f(x)是1,1上的减函数，且f (1 _a) . f (a? _1)，求实数a的取值范 围 x 例 88已知f(x)是定义在0, ：上的增函数，且f( ) = f(x)-f(y)，且f(2)=1，解不 y 等式 f (x) - f (二)_ 2 . . x 3 相应作业 4 4：已知f (x)是定义在 0, :上的增函数，

10、且f (xy) = f (x) f (y)，且 f (2) =1，解不等式 f (x) f(x -2)乞 3. . 题型七、抽象函数单调性的判断一一定义法 解决此类问题有两种方法： 凑”，凑定义或凑已知条件，从而使用定义或已知条件得出结论； 赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试 例 99已知函数f(x)对任意实数x、y都有f (x y)二f (x) f (y)，且当x . 0时 f(x) 0，求证：f (x)在 R R 上单调递增 例 10.10.已知定义在 上的函数f(x)对任意x、y三10,=,恒有 f (xy f (x) f (y)，且当 0 ： x : 1

11、时 f(x) 0 ,判断 f (x)在 0,：；3 上单调性 相应作业 5 5：定义在0,-上的函数f (x)对任意x、yw0,亠,满足 f (m n)二 f(m) f( n)，且当 x 1 时 f (x) 0. . (1 )求f (1)的值； (2)(2) 求证： f (m)二 f (m) - f (n)； n (3)(3) 求证：f (x)在0, ：上是增函数； (4)若 f(2) =1，解不等式 f(x 2)-f(2x) 2 ； 1 1 函数的最大(小)值定义 2 2、利用单调性求最值常用结论 (1) 若函数y二f(x)在闭区间a,b上单调递增，则ymin二f(a) , ymax二f (

12、b)； (2) 若函数y = f(x)在闭区间a,b 1上单调递减，则ymin = f(b)，ymax二f(a)； (3) 若函数y = f (x)在开区间a,b上单调递增，则函数无最值，但值域为 f(a), f (b)； (4) 若函数y = f (x)在闭区间la,b上单调递增，在闭区间 b,cl上单调递减，那么函数 y = f (x)， x a, c 在 x = b处有最大值，即 ymax 二 f (b)； (5)若函数y二f (x)在闭区间a,b 1上单调递减，在闭区间 b,c 1上单调递增，那么函数 y = f(x)， a,c 在 x=b 处有最小值，即 ymin=f(b). . 题

13、型八、单调性法求函数最值(值域) 例 1111、( 1 1)函数f(x)= 在1,5】上的最大值为 _ , ,最小值为 _ 2x _1 (2)(2) _函数y = 2x刊在2,4】上的最大值为 ,最小值为 _ x+1 (3)函数y =2x-J1 -2x的值域为 _ (4)(4) _ 函数 y y =仮的值域为 _1 +x (6)函数y =药的值域为 _ 函数的最大(小)值 (5)函数 y x -2 1 x 2的值域为 二次函数的区间最值的求法 二次函数在给定区间 m, n 1上求最值，常见类型: (1)定轴定区间：对称轴与区间 m, n 1均是确定的; (2) 动轴定区间： (3) 定轴动区间

14、： (4) 动轴动区间： 1 1 定轴定区间 可数形结合，较易解决，注意对称轴与区间位置关系。 例 1212当- 2_x_2时，求函数y = x2-2x-3的最值. . 相应作业 6 6:求函数y = -x2 4x - 5在1,5 1上的最值. . 2 2、动轴定区间 例 13.13.已知函数f(x) =x2 2ax 2，求f (x)在L 5,5上的最值. . 动轴定区间问题一般解法：对对称轴在区间左侧、右侧、 内部三种情况进行讨论，从而确 定最值在区间端点处还是在顶点处取得 . . 相应作业 7 7：求函数f (x) = x2 - 2ax-1在0,2】上的最值. . 3 3、定轴动区间 例 14.1