放射性废料的处理问题

1、核废料的处理单位：解放军理工大学气象学院组员：杨平吕刘祥余彭新伟日期：2021年8月5日核废料的处理摘要本文通过对物体所受阻力与物体运动速度关系的分析,通过加速度与物体受 力关系、速度与加速度关系、速度与时间的关系、距离与时间的关系,找出了距离 与速度的一一对应关系,建立了物体运动的模型,通过具体计算解决了核废料投入 海底的平安隐患,分析了圆桶在阻力与速度比例关系不同时,圆桶的运动状况,将 模型应用于火车行驶的过程中,讨论了火车运动上限的问题.在求解第一问一一关于核废料投入海底的平安性问题,我们利用上述各种关 系,建立了微分方程,并用Mathematica软件对方程进行了求解,并作出了下降时

2、速度与时间的图像,以及距离与时间的图像,当阻力与速度成正比,比例为常数k(k = 0.6)时,带入具体数值后得到了圆桶下降到90w海底时的速度大小为13.77s/s,此速度大于题中所给的12.2m/s的速度,因此圆桶会由于撞击速度太大,落入海底时发生破裂,从而我们的出结论 这种将核废料装入圆桶投入海底的处理核废料的方法存在很大的平安隐患,所以生 态学家的担忧是正确的,美国原子能委员会应该寻找其他处理核废料的方法保证不 会发生核污染.在第二个问题中,考虑到了比例常数与速度的关系.阻力为时,我们利用与第一问相同的计算公式进行求解,利用Mathematica软件计算出了这种情况下圆桶速度不超过12.

3、2】/s的条件下,圆桶所下沉的深度和下沉的时间,下沉深度为84.珈,下沉时间为13 s在讨论第三个问题一一火车行驶速度上限问题时,由于水的密度比空气的 大,因此水中阻力与速度的比例常数要比空气中的大,但不影响模型在这个问题上 的应用.通过对公式的分析以及第一问中图形的观察,我们得到的结论是当火车牵 引力一定时行驶速度有上限,不能无限增大,要使火车速度不断增大,就要不断增 大火车牵引力,而实际生活中火车牵引力是不可能无限增大.通过建立合理的模型和对条件的合理假设,我们解决了核废料处理中的污染 问题,合理解释了火车行驶中速度上限的问题,可以利用这种模型对类似的其它问 题进行计算,例如伞兵跳伞速度问

4、题和飞机飞行问题等.一、问题重述放射性材料的处理在国际上一直一来是一个很棘手的问题.由于废料具有反 射性,如果处理不当,会给生态环境带来很大的威胁.各个国家的生态学家对这个 问题非常关注,都在努力地寻求一种可靠有效的处理方法.美国原子能委员会以往 处理浓缩的放射性废料的方法时把它们装在密封的圆桶里,再扔到水深90多米的 海底.生态专家担忧圆桶沉至水底时与海底发生碰撞而发生破裂,从而造成核污 染.而美国原子能委员会分辨说这是不可能的.工程师做过实验得到当圆桶下沉速 度超过12.2m/s与海底相撞时,可能发生破裂,从而造成污染.为防止破裂,专家计算沉到海底时 的速度是多少.假设,那么说明这种方法是

5、平安可靠的.否那么就应该停止这种方法来处理放射性废料.当阻力与速度的比值与速度有关,即k为kv时,结果乂是怎样,求出平安条件下圆桶能够到达的深度与运动的时间.将此模型应用到火车行驶问题上,考虑空气对火车的阻力与火车速度的关系,假设空气中物体运动的速度与所受到的阻力仍成正比,考虑比例系数与水中的 差异,判断火车行驶上限问题.二、问题分析由题日要求可知,将浓缩的放射性废料投入海中的方法是否平安,关铤在于当圆桶落到海底时的速度大小,当到达海底的速度小于12.2m/s时,这种方法就是平安的,当到达海底的速度大于2.2m) 3时,就会由于圆桶的破裂而造成核污染.考虑到圆桶下降到海底时的速度与圆桶所受重力

6、和浮力以及水对圆桶的阻力 有关,还与圆桶下降深度和时间有关,现在要建立数学模型,将圆桶所受重力、浮 力、水对圆桶的阻力以及下降距离、时间和速度联系起来,求出圆桶到达海底时的 速度,以此来判断将浓缩的放射性废料放入圆桶扔到海底的处理方法是否正确.对题U的分析可知,圆桶在下降过程中可以假设圆桶所受重力和浮力不变,主要考虑水对圆桶阻力的变化,由题可知水对圆桶的阻力与圆桶下降速度成正比, 比例系数为k(k > 0),因此圆桶受到向下的重力和向上的浮力和阻力,当重力大于浮力与阻力之和时圆 桶做加速运动,当重力与浮力阻力之和为零时圆桶加速度为零,圆桶做匀速直线运 动,此后阻力大小不变,合力为零,速度

7、到达最大值,在圆桶所受合力为零之前, 圆桶所受合力不断变小,加速度变小,速度不断增大,现在要找出下降速度与下降 距离的关系.由物理知识可知物体在受外力时产生加速度,即棉,同时加速度乂是速度对时间的导数,即以=%,由以上两个条件可知圆桶下降时的速度与圆桶所受重力、浮力、阻力以及下降时 间的关系,由此可建立一个关于圆桶下降速度与圆桶所受重力、浮力、阻力和时间 的微分方程,由于加速度和速度都在变化,所以下降距离可由速度对时间的积分求 出.在求第二个问题时,是将第一问中的k改成kv,其他条件与第一问相同,因此数学模型与第一问相同,计算中具体考虑计算提案 件即可求解,第三个问题是将第一个问题的模型应用到

8、火车在空气中前进速度的问 题上,以此来判说明驶速度的上限问题,空气中物体运行速度与它所受的空气阻力 仍成正比,与速度的比例常数要小于水中阻力与速度的比例常数,在设空气中比例 常数时应该比水中的小,由此才能作出合理的结果.三、条件假设与说明1. 假设重力加速度g,在圆桶下降过程中为一常量.2. 假设圆桶投入海中的初始速度为0.3. 假设海水密度不随深度变化而改变,在下降过程中海水中无剧烈海水流 动,海水近似为静止,不考虑其它偶然因素的影响.4. 不考虑海底条件对圆桶撞击的影响,即在圆桶速度以大于22mi s速度落到海底时圆桶一定破裂,小于速度 时,圆桶一定不破裂.5. 在将模型用到火车运动问题上

9、时,假设火车沿水平面直线运动,并且在行 驶过程中无恶劣气象条件,在行驶路线上空气密度不发生变化.6. 假设火车受到空气阻力与速度的比例常数k为定值,与火车形状无关,不 考虑火车车厢的长短与多少.7. 假设火车受到地面阻力为定值,与速度无关,火车的最大牵引力为一定 值.以上假设条件使模型建立简化,假设1为对重力加速度的规定,在圆桶下降 过程中,重力加速度会有微小变化,但变化量很小可以认为重力加速度为一常量, 假设2为对圆桶入水时速度的假设,由于为了保证将放射性废料扔到海底时不发核 生污染,在投入海中时不会给圆桶加以较大初速度,因此假设圆桶初速度为.是合 理的.假设3、4是排除了外界环境的因素的影

10、响,考虑一般情况的结果.假设 5、6是对火车行驶中受空气阻力影响的合理限定.假设7考虑到火车在地面上行 驶,地面可以作为刚体处理,因此火车与地面的摩擦力可以认为是与火车速度无关 的常量,由此而简化模型.四、符号说明符号物理含义g重力加速度.柚圆桶加速度圆桶质量G圆桶所受重力%圆桶所受浮力/桶圆桶所受阻力圆桶所受合力P水的密度%圆桶体积V桶圆桶下沉速度H圆桶下降深度k圆桶受到水的阻力与下降速度的比例常数2火车行驶时受到空气的阻力与速度的比例常数%火车牵引力,车火车行驶速度缶火车加速度火车质量火车受到地面的摩擦力火车受到空气的阻力五、模型的建立与求解问题一的解答根据题目所给数据及数据,我们利用物理

11、知识建立了速度与时间的关系以及 圆桶下降距离和速度时间的关系,进而可以求出圆桶下降速度与下降距离的关系, 建立方程计算具体值,根据假设条件："桶.=0g=9.Ms2由得:k = 0.6刀桶=239.46场九=0.2058 矛 二 1035.71饭/仞%x = %",fM 二知桶由题可知:当圆桶在水中下沉时圆桶所受合力为:浮力公式为:圆桶重力为:合力产生的加速度为:(5)加速度与速度关系为:孙桶dt(6)所以:G 一尸合一扁=协桶dt将(1)、(2)、(3)、(4)式代入可得:刀桶&_愆丫桶桶=以桶±1dt(7)由7计算:dtV-pgV-kv 桶桶得到V与t

12、的关系为:在mathematics中运行以下程序附件1可得到圆桶速度 随时间的变化曲线.如图1400 :F=r VPlot/300 :200 -100 : /500100015002000在mathematics中运行以下程序附件2:k = 0.6; V= 0.2058;得出:429.744 I W砂皈加H =-171511. +171511. a 00250564429.7441再运行附件3:o可以得到圆桶下降的深度 随时间的变化曲线.如图2120100 :/80 :/60 «/40 :20一.2468101214图2当H90m时,同过计算得：v 桶=13.772w/5所以当圆桶到

13、达海底时速度大于12.2m/3,由图一、二也可直观看出圆桶到达海底的速度,圆桶会被撞碎发生核污染,因此 核废料不应投入海底应该考虑其它方法防止核污染.问题二的解答圆桶所受合力为:浮力公式为:f 浮=p?y mi久桶g -=桶彳计算得：小桶 =dtmg-pgV-k %在mathematics中运行附件4可以得到圆桶下沉速度随时间I的变化曲线图3和圆桶下沉深度H随时间/的变化曲线图4在Mathematics中代入数据计算得到:12.2mH84.8 w13 s当下沉速度为时,下沉深度到达速度已,下沉时间为问题三的解答火车在行驶过程中,受到牵引力、铁轨对火车的摩擦力,/车和空气对火车的阻力f空,火车受

14、到空气阻力与火车速度成正比比例常数为 A,由于空气密度比海水小的多,所以A应比k小.火车加速度为:"%二坛二以力车f空“V车所以得到V与t的关系：成空_F._.年一为车 '' 'dtm军得到V与I的关系：Z刀车g 一尸车 1* =_I 1 _ <12由公式可知：时,加速度为0,此时速度到达最大值,这个模型与第一问模型相同,数据有所改变,但不影响函 数的图形,由图1可以看出当时间到达一定时速度保持不变,因此火车行驶速度有 上限,不能无限增大.模型评价本模型通过物理公式的推到,用数学软件进行了解答,第一个问题和第二个 问题带入了确定数值进行了精确解答,对核废料处理问题作出了合理解释,通过第 一问的解答发现,将核废料装入圆桶投入90米深的海水中会造成核污染.由我们 的结论防止了核污染的可能,对问题二的解答是基于海水阻力与速度的另一种关系 来计算的,对问题三的解答是