加泰罗尼亚的丢番图问题

1、加泰罗尼亚的丢番图问题发现连续权力,即解决方案,不包括0和1。加泰罗尼亚的猜想州唯一的解决方案,所以8和9(和)是唯一连续权力(不包括0和1)。加泰罗尼亚的猜想这个猜想在1844年由比利时数学家查尔斯尤金加泰罗尼亚8和9(和)是唯一连续权力(不包括0和1)。换句话说,(1)是唯一一个非平凡解加泰罗尼亚的丢番图问题(2)的特殊情况和是的情况下莫德尔曲线.有趣的是,500多年前加泰罗尼亚制定他的猜想,李维本Gerson(1288 - 1344)已经指出,2和3的唯一力量,显然不同1和(皮特森2000)。这个猜想有不顾一切试图证明这150多年来,尽管Hyyr和马克维斯奇证明没有连续三次权力存在(Ri

2、benboim 1996),也称,8和9是唯一连续立方和平方数(订单)。最后,4月18日,2002年,Mihilescu向几个数学家证明整个手稿猜想(van der Poorten 2002)。证明已经出现在打印(Mihilescu 2004)和被广泛接受为正确和有效(Metsankyla Daems 2003年,2003)。Tijdeman(1976)表明,只有一个有限的如果数量的异常猜想不持有。最近的进展显示,在一个可决定的问题有限的(但比天文)的步骤,特别是,如果和是权力,然后(1994,p . 155)。1999年,m . Mignotte显示如果一个非平凡解的存在 ,(皮特

3、森2000)。它也知道,如果附加方程解存在,指数必须双Wieferich '双,或和数量必须满足一个类可分性条件(施泰纳1998)。限制这类数条件不断改善从Inkeri(1964)和持续通过施泰纳(1998)的工作。之后,在1999年的春天,Bugeaud和Hanrot证明了弱可能持有无条件(即类数条件。,无论是否和是一个双Wieferich '两不信)。随后,在2000年秋天,Mihailescu证明了双Wieferich '两无条件的条件也必须持有(彼得森2000)。一个泛化高斯整数相差一个单位是由(3)参见:高斯整数一个高斯整数复数在哪里和是整数。高斯整数的成员虚

4、二次域并形成一个环通常表示为,有时(哈代和赖特1979,p . 179)。和,差,两个高斯整数高斯整数的乘积,但是只有一个这样(1)(小腿1993)。高斯整数可以唯一考虑的其他高斯整数(称为高斯质数),权力的和重组。的单位是和 .高斯整数的一个规范的定义是它复杂的模量(2)另一个常见的定义(如。哈迪,Herstein 1975;1979年赖特,p。182;阿廷1991;Dummit和富特2004)定义了一个高斯整数的规范(3)以上数量的平方。(注意,高斯整数组成欧氏环是什么让他们特别感兴趣的,只有在后者的定义。)由于两种可能的定义,当咨询文献谨慎是必须的。两个高斯整数的概率和是互质是

5、(4)(OEISA088454),是加泰罗尼亚的常数(·佩吉,柯林斯和约翰逊1989;芬奇2003,p . 601)。每个高斯整数都在的多个高斯整数 .上面的图显示的根源高斯整数的各种理性的价值观(Trott 2004年,p . 24)。虚二次域一个虚构的二次字段是一个二次场与。下列表中特殊情况进行了总结。字段成员高斯整数艾森斯坦整数参见:艾森斯坦整数艾森斯坦整数,有时也被称为Eisenstein-Jacobi整数(芬奇2003,p . 601),是数字的形式,在那里和是正常的整数,(1)是其中一个根的,其余1和(2)艾森斯坦整数的差异,总结和产品是另一个艾森斯坦整数。艾森

6、斯坦整数复数的成员虚二次域,这正是环(车1991,p . 1991)。艾森斯坦整数领域有六个单位(或统一的根源),即 ,(车1991,p . 1991;1994人,35页)。每个非零艾森斯坦整数都有一个独特的(排序)分解到同事,同事在哪里艾森斯坦整数与给定的艾森斯坦的整数倍数的旋转在复平面。具体地说,任何非零艾森斯坦整数是独一无二的产品权力的 ,“积极”艾森斯坦质数,“积极”艾森斯坦整数那些落在上面的三角形楔画报(康威和盖1996)。的模拟费马定理艾森斯坦整数是质数可以书面形式(3)敌我识别。恰恰是这些质数的形式(康威和盖1996)。艾森斯坦整数都在一个距离给定艾森斯坦的整

7、数倍数 .Dorrie(1965)使用另一种符号(4)(5)为和和电话号码的形式数字。和满足(6)(7)(8)(9)(10)(11)参见:二次场一个代数整数的形式在哪里是squarefree形成一个二次场和来标示。如果,这个领域被称为真正的二次场,如果,它被称为一个虚二次域。的整数只是所谓的“”整数。的整数被称为高斯整数的整数被称为艾森斯坦整数。的代数整数在一个任意的二次场不一定有独特的分解。例如,字段和可分解不是唯一的,因为(1)(2)尽管上述因素在这些领域都是质数。所有其他二次字段与独特的可分解。二次领域遵守身份(3)(4)和(5)的整数在现实领域的形式,在那里(6)有21个二次

8、字段中有一个欧几里得算法相应的,为squarefree整数 , , , ,、2、3、5、6、7、11、13、17日,19日,21日,29日,33岁,37岁,41岁的57岁和73年(A048981)。这个列表由Inkeri出版(1947年),但错误包括虚假的附加项97(巴恩斯和Swinnerton-Dyer 1952;哈代和赖特1979,p . 217)。参见:Squarefree据说是squarefree(有时quadratfrei;小腿1993)如果它'分解不包含重复的因素。所有质数因此非常squarefree。1号是按照惯例被squarefr

9、ee。squarefree数字1、2、3、5、6、7、10、11、13、14、15日(OEISA005117)。的squareful数字(即。,那些包含至少一个广场)4、8、9、12、16、18、20、24、25日,(OEISA013929).的Wolfram语言函数SquareFreeQn决定squarefree数量。注意,因为技术原因,Wolfram语言认为1是squarefree公约,符合定义时squarefree数量,在那里是默比乌斯函数。因此,1号有点好奇的区别的同时完全平方和squarefree。让在哪里squarefree和在哪里包含一个或多个平方,所以。然后(1)(2)为和是黎

10、曼函数(哈代和赖特1979,p . 255)。第一个的值整数是绘制在一个以上所示白色网格,squarefree值。清晰的模式出现在数字的倍数每个共享一个或多个重复的因素。没有已知的识别squarefree的多项式时间算法整数或计算squarefree部分一个整数。事实上,这个问题可能不会比一般的问题简单整数分解(很明显,如果一个整数完全可以被分解,是squarefree敌我识别它不包含重复的因素)。这个问题是一个重要的尚未解决的问题数论因为计算整数环的一个代数场简化为计算数量squarefree部分一个整数1992年(Lenstra,Pohst和Zassenhaus 1992)。所有的数字不到

11、在西尔维斯特的序列squarefree,不是吗squareful数字在这个序列是已知的(相熟识的1991)。每一个卡迈克尔数量squarefree。的二项式系数是squarefree仅为、3、4、6、9、10、12、36岁,不到,没有别人。的中央二项式系数是squarefree仅为、2、3、4、5、7、8、11、17日,19日,23日,71年,(OEISA046098),没有其他小于1500。让是积极squarefree数字的数量(哈代和赖特1979,p . 251)。然后,2,最初几个值是0,1,2,3,3,4,5,6,6,6,7,8,8,9,10,11日,11日,(OEISA013928)

12、。金额为包括(3)(4)(5)(6)(7)在哪里是默比乌斯函数.渐近的数字squarefree数字是由(8)(朗道1974年,页604 - 1974;Nagell 1951,p . 130,哈代和赖特1979年,页269 - 270,哈代1999,p . 65)。因此渐近密度(OEISA059956;井1986,28页;Borwein贝利,2003年,p . 139),是黎曼函数。的值为、100、10007,61,608,61,608,607926,6079291,60792694,607927124,6079270942,(OEISA071172).同样地,渐近squarefree密度高斯整

13、数是由(OEISA088454),是加泰罗尼亚的常数(·佩吉,柯林斯和约翰逊1989;芬奇2003,p . 601)。的默比乌斯函数是由(9)所以表明squarefree。的渐近公式相当于公式(10)(哈代和赖特1979,p . 270)让是连号的数量与这样和都是squarefree。为,1,给出了1 5 323,3230,32269,322619,3226343,32263377,322634281,3226340896,(OEISA087618)。然后给出了渐近的(11)(12)(OEISA065474,1932年Carlitz Heath-Brown 1984),是th 

14、9;,是Feller-Tornier常数.Feller-Tornier常数Feller-Tornier常数是整数,偶数的密度的主要因素与在他们的质因数分解。它是由(1)(2)(OEISA065493),是'。它可以由之和(3)在哪里是'函数.'函数'函数(1)和在哪里接管吗质数是一个泛化的黎曼函数(2)对所有正整数之和在哪里。是上文所述正实轴,虚部在哪里显示在黄色和红色的实部。(符号不同虚部情节出现在Froberg相比可能是由于使用不同的公约 .)各种术语和符号用于这个函数。“'函数”这一术语和符号被Froberg使用(1968),而科恩(20

15、00)使用的符号 .级数绝对收敛,在那里分析,可以继续的地带(Froberg 1968),但不超出了线(朗道和Walfisz 1920,1920年Froberg)由于集群的奇异点虚轴产生的非平凡零点黎曼函数在关键线路 .如上图(左边实部用红色表示,虚部在黄色),函数奇异点沿实轴在哪里贯穿所有正整数平方因子。为接近于1,的扩张(3)在哪里和(4)(5)(OEISA143524),是默比乌斯函数和是黎曼函数(Froberg 1968)。'函数绘制上面和(Froberg 1968)。'函数在复平面上面了。总理函数可以表达的黎曼函数通过(6)(7)(8)(9)反相然

16、后给(10)科恩(Froberg Glaisher 1891年,1891年,2000年)。'函数的实现Wolfram语言作为PrimeZetaPs。的模拟调和级数发散,但级数的收敛性是二次。然而,放弃最初的总和的术语(和添加Euler-Mascheroni常数使简单的结果)莫顿常数(11)(12)(OEISA077761).阿廷是常数是与通过(13)在哪里是一个卢卡斯数量(Ribenboim 1998,村庄和Sebah)。的值最初几个整数从两个在下表中给出。·梅里菲尔德(1881)计算为35到15位数,Lienard(1948)计算到50位(Ribenboim 1996)。村

17、庄和Sebah给60位值 .斯隆2A0855480.4522473A0855410.1747634A0859640.07699315A0859650.0357556A0859660.01707017A0859670.008283838A0859680.004061419A0859690.00200447100.000993604根据Froberg(1968),很少有人了解的根源。上面的情节显示0的位置(图左)和轮廓的零实数(红色)和虚数部分(蓝色)在复平面的一部分,与根表示黑点(图)。权力权力是一个给定数量的指数。表达式因此被称为“到权力。”的权力上面绘制(cf。2004年德比郡,页

18、。68年和73年)。可能是一个整数,实数,或复数。然而,一个实数的力量非整型权力本身不一定是一个实数。例如,是真正的只 .0走上权力之外的数量定义为1,它遵循的限制(1)这一事实的收敛曲线所示在上面的图中,显示了为,0.4,2.0点。它也可以更直观地指出多次服用平方根的数量为越来越小的数字方法之一,而做同样的0和1之间的数字给数字越来越大,方法。为根,采取的总功率,接近0大,给在极限情况下,很大。(零次)本身是未定义的。缺乏明确的意义的这个量是相互矛盾的事实都是1,所以呢应该等于1,但总是0(),所以应该等于0。定义的选择通常定义是什么不确定的,虽然定义允许一些公式表达只是(Knut

19、h Knuth 1992;1992年,p . 57)。第一个力量是,根据定义,等于本身,也就是说,(2)同样的,(3)对于任何复数。因此,令人印象深刻的柯克船长(威廉·夏特纳)能够检测一个心跳星际飞船上企业比可以通过放大一个听觉传感器占加剧的因素“1的四次方”第一季星际迷航集”军事法庭”(1967)。的规则包含权力被称为结合量指数法,提高基地的过程被称为一个给定的力量求幂.的导数的是由(4)和不定积分通过(5)的定积分为真正的被称为Cavalieri的求积公式,是由(6)而简单的方程(7)不能被解决使用传统的基本功能,解决方案可以得到的兰伯特W-function作为(8)在哪里是自然

20、对数的 .同样,解决(9)可以解决的而言,使用兰伯特W-function。在特殊的情况下,除了解决方案和第三个解决方案(10)(11)(OEISA073084).特别的名字给在下表中列出了各种权力。权力的名字互惠平方根立方根1恒等函数2的平方3立方表达式的形式被称为电力塔.最大的权力这数字、2、3、可以在表单吗1,1,1、2、1、1、1、3、2、1(OEISA052409),相应的值由1、2、3、2,5,6,7,2,3,(OEISA052410).双二项给出了幂函数如下所示,(12)(英国麦克米伦,珀耳斯。通讯,2007年11月14日)。的权力和的第一个正整数是由Faulhaber的

21、公式,(13)在哪里是克罗内克符号,是一个二项式系数,是一个伯努利数.让是最大的整数那不是总和不同的th的权力积极的整数(1994人)。第一个值,3,128,12758,5134240,128,(OEISA001661).加泰罗尼亚的猜想(现在一个定理)指出,8和9(和)是唯一连续权力(包括0和1),即,唯一的解决方案加泰罗尼亚的丢番图问题。此外,Hyyr和马克维斯奇证明不存在连续三大国(Ribenboim 1996)。很少的数量的形式是'(综合能力不需要考虑,因为)。唯一的质数的形式为和'对应于和梅森素数,也就是说, , ,.其他数字的形式平等的。唯一的质

22、数的形式为和'对应于与、2、4、6、10、14、16、20、24、26日(OEISA005574)。其他数字的形式平等的 .没有重要的方程的解决方案(14)为(1994,p . 153)。Cavalieri的求积公式的定积分(1)在哪里 ,是真实的数字和是自然对数.Faulhaber的公式在1631年版的Academiae Algebrae,j . Faulhaber发表的一般公式权力和的第一个正整数,(1)(2)在哪里是一个广义的谐波数,是克罗内克符号,是一个二项式系数,是th伯努利数.计算的金额,10(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(1

23、2)参见:谐波数谐波数数字的形式(1)因截断调和级数。谐波数量可以表达分析(2)在哪里是Euler-Mascheroni常数和是双函数.最初的几个谐波数据1, , , ,(OEISA001008和A002805)。数字的分子的数量为,1,1,4,41岁,434,4346,43451,434111,4342303,43428680,(OEISA114467),相应数量的数字在分母上1,4,40,433,4345,43450,434110,4342302,43428678,(OEISA114468)。这些数字收敛的小数位数似乎是什么(OEISA002285).最初几个

24、指标这样分子的主要是由2、3、5、8、9日,21日,26日,41岁,56岁,62年,69年(OEISA056903)。寻找主要是分子已经完成由e . w . Weisstein(2009年5月13日),和下表总结了最大的已知值。小数位数发现者63942年27795年e . w . Weisstein(2007年2月14日)69294年30067年e . w . Weisstein(2008年2月1日)69927年30301年e . w . Weisstein(2008年3月11日)77449年33616年e . w . Weisstein(2009年4月4日)78128年33928年e . w

25、 . Weisstein(2009年4月9日)78993年34296年e . w . Weisstein(2009年4月17日)81658年35479年e . w . Weisstein(5月12日,2009)分母的似乎永远是质数除了。此外,分母从来都不是原动力(这种情况下除外),因为分母总是整除2小于或等于最大的力量,也是任何'与 .谐波的数字实现HarmonicNumbern。的值这样等于或超过1,2,3,给出1,4,11日,31日,83年,227年,616年,1674年(OEISA004080)。另一个有趣的序列项的数量简单连分数的为,1、2、由1 8,68,834,8

26、356,84548,841817,8425934,84277586,(OEISA091590),这是推测的方法(OEISA089729).谐波的定义数字也可以扩展到复杂的平面,正如上文所述。根据他们的定义,谐波数据满足明显递归方程(3)与 .采取交替形成的数量总和的迹象也有一个明确的解析形式(4)(5)(6)特别美丽的形式吗(7)(8)(9)(10)(11)(12)谐波数从来都不是一个整数除了,这可以证明通过使用强大的三角不等式证明2-adic价值的大于1。事实证明这个结果是在1915年由Taeisinger,任意数量的连续条件的更一般的结果不一定从1开始从来没有和一个整数被Krsc

27、hak证明1918年(霍夫曼1998年,p . 1998)。谐波数量奇怪的是分子和甚至分母。的th谐波数量给出渐近(13)在哪里是Euler-Mascheroni常数(康威和盖1996;Havil 1996,pp。79年和89年),一般的地方届任期,给,120,240,为,2,(OEISA006953)。这个公式的特例Euler-Maclaurin积分公式(Havil 2003,p . 2003)。不平等的边界包括(14)(年轻Havil 1991;1991年,页73 - 75)(15)(DeTemple Havil 1991;1991年,页1991 - 78)。一个有趣的分析和给出了(16)

28、Coffman(1987)。Borwein和Borwein(1995)显示(17)(18)(19)(20)(21)在哪里是黎曼函数。第一个被德Doelder以前派生(1991),和第三哥德巴赫在1742年写给欧拉(Borwein和贝利2003年,页99 - 100,贝利et al . 2007,p . 256)。这些身份标识的推论(22)(Borwein和Borwein 1995)。由于欧拉是额外的身份(23)(24)为,3,(Borwein和Borwein 1995)是摹仿的常数。这些所谓的相关欧拉金额.由于b . Cloitre(per一般的身份。通讯,2006年1月7日)(25)在哪里是

29、一个Pochhammer象征.高斯伯给了有趣的身份(26)(27)在哪里是不完整的函数和是Euler-Mascheroni常数.g . Huvent(2002)发现了美丽的公式(28)一个美丽的双系列是由(29)(贝利et al . 2007年,页273 - 274)。另一个双总和是(30)为(Sondow 2003,2003)。有一个意想不到的谐波数和之间的联系黎曼假设.广义谐波数据可以定义的关系(31)在哪里(32)这些数量是实现HarmonicNumber(n,r)。分子的特殊情况被称为五星行数字.b . Cloitre(per。通信技术),给了惊人的身份(33)这与无限期版本的一个著名

30、的系列 .为奇数,这些显式形式(34)在哪里是多函数,是函数,是黎曼函数.二指标谐波数据满足身份(35)(p .西蒙,珀耳斯。通讯,8月30日,2004)。的广义谐波数据包括(36)为,在那里是一个polylogarithm,(37)(38)(39)(40)(41)(42)方程(37), (38), (39)和(41由于b . Cloitre(per)。通讯,2004年10月4日)是一个dilogarithm。一般来说,(43)(p .西蒙,珀耳斯。通讯。6月2日,2003)。电力谐波数据也遵守意想不到的身份(44)(m . Trott per。通讯)。p·西蒙(per。通

31、讯,2004年8月30日)显示(45)在哪里(46)(47)(48)(49)这给特殊的结果(50)为,分别。康威和盖(1996)定义的二阶谐波数量(51)(52)(53)三阶谐波数量(54)和阶谐波数由(55)两个索引的定义略有不同谐波数是由罗马(1992年)的吗谐波对数。罗马(1992)定义的(56)(57)加上递归关系(58)对于一般和,这是等价的(59)和,它简化了(60)为可以写,谐波数(61)在哪里是罗马!和是一个斯特灵第一种的数量.一个单独的类型的数量有时也称为“谐波数”谐波因子数量(或矿石数量)。复数求幂一个复数可以被带到另一个的力量吗复数。特别是复杂的求幂满足(1)在哪里是复杂

32、的争论。书面明确实部和虚部,(2)给出一个明确的例子复杂的求幂(3)一个复数可以真正的带到一个复数。事实上,著名的例子(4)显示纯虚的力量对自己是真实的。窗体顶端最小值马克斯再保险即时通讯窗体底端事实上,有一个家庭的价值观这样是真实的,我们可以看到通过编写(5)这将是真实的时候,即,因为(6)为一个整数。积极,这给根或(7)在哪里是兰伯特W-function。为这简化了(8)为,2,这些数值1,2.92606(OEISA088928),4.30453,5.51798,4.30453,5.51798,.·参见:常用对数窗体顶端最小值马克斯窗体底端的常用对数对数来基地10。的符号被物理学

33、家、工程师、计算机键盘常用对数表示。然而,数学家们普遍使用相同的符号来表示自然对数ln,。更糟的是,在俄国文学符号是用来表示一个八进制数数对数,冲突使用的象征lg表明以2为底的对数。为了避免模棱两可,最好是显式地指定当以10为底的对数是目的。在这工作, ,用于自然对数,使用对数的吗基地2。情况更加复杂,许多理论家(如。Ivi2003)通常使用的符号来表示的嵌套的自然对数 .的常用对数的实现Wolfram语言作为日志10 x和Log10x。哈代和赖特(1979,p . 8)断言,常用对数已经“没有数学的兴趣。”普通的自然对数可以表示对方和常用对数扩展到复平面上面的说明。自然对

34、数自然对数是对数有基础e,在那里(1)这个函数可以定义(2)为 .这个定义意味着e独特的数量与区域的面积有限的财产吗双曲线,轴垂直的线和是1。换句话说,(3)的符号用于物理和工程自然对数来表示,而数学家通常使用的符号。在这工作,代表一个自然对数,而表示常用对数.有很多常用的符号约定的迹象的自然对数。而一些作者使用(即。使用三角函数公约),这也是常见的写作 .普通的自然对数可以表示对方(4)(5)自然对数尤其有用微积分因为它的导数是由简单的方程(6)而在其他基地对数的更加复杂导数(7)可以分析继续自然对数复数作为(8)在哪里是复杂的模量和是复杂的争论。自然对数多值函数因此需要

35、一个分支切割在复平面,Wolfram语言大会的地方 .窗体顶端最小值马克斯再保险即时通讯窗体底端的主值的自然对数的实现Wolfram语言作为日志x,相当于日志(E(x)。这个函数是复平面的上方。请注意,逆三角和反双曲函数可以表示(事实上,通常定义)的自然对数,总结如表所示。因此,一旦这些定义达成一致,分支切割结构采用自然对数修正这些函数的分支削减。函数象征定义逆csc反余弦函数反余切反双曲csc反双曲余弦反双曲余切反双曲正割反双曲正弦反双曲正切逆sec反正弦逆切的墨卡托系列(9)给出了一个泰勒级数自然对数。连分数对数函数的表征包括(10)(兰伯特1770;拉格朗日1776;1963岁

36、,p。138;墙1948,p . 342)(11)墙(欧拉1813 - 1814;1948年,p . 343;1963岁,p . 139)。对于一个复数自然对数满足(12)(13)和(14)在哪里是主值.一些特殊的自然对数的值包括(15)(16)(17)(18)(19)自然对数有时会写成“简单”的和或差对数,例如(20)它遵循立即从身份(21)普劳夫(2006)发现以下美丽的身份:(22)(23)(24)参见:指数函数窗体顶端最小值马克斯窗体底端窗体顶端最小值马克斯再保险即时通讯窗体底端指数函数的整函数定义为(1)在哪里e方程的解是什么这 .也是唯一解的方程吗与 .指数函数

37、的实现Wolfram语言作为经验值z。它满足身份(2)如果 ,(3)指数函数满足身份(4)(5)(6)(7)在哪里是Gudermannian(拜尔1987,p . 1987;Zwillinger 164,p . 485)。指数函数麦克劳林级数(8)和满足限制(9)如果(10)然后(11)(12)(13)指数函数连分数(14)(墙1948,p . 348)。窗体顶端最小值马克斯再保险即时通讯窗体底端上面的图显示了函数Trott(2004年,第166 - 165页)。指数函数包括积分(15)(16)(Borwein et al . 2004年,55页)。参见e的常数是基础的自然对数.有时

38、被称为欧拉常数,尽管它的符号(欧拉)荣誉。独特的数量与区域的面积有限的财产吗双曲线,轴垂直的线和是1。换句话说,(1)可能是个例外 ,数学是最重要的常数,因为它出现在无数的数学背景涉及限制和衍生品。的数值是(2)(OEISA001113).可以定义的限制(3)(见上图),或由无穷级数(4)首次出版的牛顿(1669;1968年怀特塞德转载,p . 225)。是由不寻常的限制(5)(兄弟和诺克斯1998)。欧拉(1737;Sandifer 2006)证明是非理性的通过证明有一个无限的简单连分数(Nagell 1951),刘维尔在1844年证明了不满足任何二次方程与整体系数(即。,如果是代

39、数,它必须代数的程度大于2)。埃尔米特后来解决了问题,证明是先验的在1873年。然而,是“至少”先验,不合理措施 .Sondow(2006)证明不合理使用建设作为一个嵌套的十字路口的关闭时间间隔序列。这种方法还提供了一个非理性的Smarandache函数(这里表示为而不是传统的为了避免混乱的不合理措施通过展示,如果和是任何整数,然后(6)现在还不知道或是非理性的。众所周知,和不满足任何多项式度方程与整数系数的平均大小(贝利1988年,Borwein et al . 1989),但是现在还不知道如果这是先验的。现在还不知道是正常的任何基地(Stoneham 1970)。系列的代表(7)

40、以及(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)的特殊情况欧拉公式(15)与给美丽的身份(16)一个方程连接的基本数据我,1和0(零平等()和涉及的基本操作),除了 (),乘法 (),求幂.一个嵌套系列可以通过重写系列(2)作为(17)(18)(19)这使一个漂亮的嵌套的激进结果当是双方的力量。一个意想不到的沃利斯如公式给出的Pippenger产品(20)(OEISA084148和A084149;Pippenger 1980)。另一个产品给出的(21)由于Guillera(Sondow 2006)。这是类似于产品(22)和(23)(Guillera和Sondow 2

41、005,Sondow 2005)。使用递归关系(24)与,计算(25)结果是。高斯伯给了不寻常的方程连接和 ,(26)(27)(OEISA100074).Rabinowitz和车(1995)给出算法计算数字的根据早些时候数字(Borwein和贝利2003,p . 140),但更简单龙头算法在1968年发现了销售。大约在1966年,麻省理工学院的黑客埃里克·延森写一个非常简洁的程序(汇编语言需要不到一页)计算通过将基数阶乘转换为小数。让是一个随机的概率一对一的功能上的整数1、至少有一个不动点。然后(28)(29)(30)(OEISA068996).斯特林近似给了(31)(32

42、)(OEISA068985).施泰纳的问题要求的最大价值函数,这是由 .的例子助记符加德纳(1959、1991)包括:“综合我前往布鲁克林”(6位数)。“破坏一个游戏室通常是一个实践的孩子”(10位)。“它使一个傻瓜记住数字量”(10位)。“我形成记忆记住一个函数在分析”(10位)。”他重复:我不应该的传言,我不应该推翻!”(11位数字)。”在展示一幅画可能至关重要的或有毒的女士,愤怒占主导地位。O保护,或她赞扬,大喊“(21位)。在这里,“O”这个词代表数字0。一个更广泛的助记符给40位“我们现在一个助记记住一个常数如此激动人心,欧拉喊道:”!当第一次发现的时候,是的,大声的! '。我的学生也许会计算使用电力或泰勒级数,一个简单的求和公式,明显,清晰、优雅!”(Barel 1995)。在后者,0代表“!”。的列表助记符在几种语言是由a . p . Hatzipolakis维护。乙状结肠函数窗体顶端最小值马克斯再保险即时通讯窗体底端乙状结肠函数,也称为s形曲线(冯Seggern 2007,p . 148)或逻辑函数,函数