2019年浙江省湖州市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

1、2019年浙江省湖州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 一项是符合题目要求的.）（5 分）已知集合 A=x|x| x 4 或 xv01.A.2. （5 分）在斜三角形A .充分不必要条件C.充分必要条件 D .3.4.5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有B=x| x 1，则(？RA)AB=() C.x| 1vx4 D.x| 1x”是 tanA 1 ”的()4B .必要不充分条件既不充分也不必要条件2x-4x0,B.x| 1vxv4n（5 分）已知an是公比大于 1 的等比数列，若 2ai,二 a2, a3成等差数列，则一=（）2（5 分）若

2、实数1 5C.D. 2Sf3x+2y- 60满足3x- 260,则x2+y2的最小值是（）2x- y - 4|- 5.1A.1r F 1* iraB.ABC - A1B1C1的所有棱长相等，若/AA1B1=ZAA1C1=60 则异面6. （ 5 分）已知三棱柱直线 A1C 与 AB1所成角的余弦值是7. ( 5 分)若 f (x)是定义在(-1 , 1)上的减函数，则下列不等式准确的是()A . f ( sinx) f ( cosx)B. f () f (x)C. f () f () D. f () f (3K+12K+13X+3X2Z+ 2X& (5 分)已知抛物线 y2=2px (p 0)

3、的焦点为 F,准线为 I ,过点 F 的直线交抛物线于 B 两点，点 A 在 I上的射影为 A1.若| AB| =| AiB|，则直线 AB 的斜率为()A. 3 B. 2C. 2 D. :213. (4 分)已知双曲线 一-y2=1 (a0)的右焦点为 F,过点 F 作一条渐近线的垂线，垂a足为 P.若点 P 的纵坐标为一卫，则该双曲线的离心率是 _.514.(4 分)已知单位向量哥，7；的夹角为 120 |x 石+y 云|=7 怎(x, y R),则| x 石- r , |的取值范围是.15.(4 分)在直角梯形 ABCD 中， AD / BC,ZA=90 AB=2AD， 若将 ABD 沿

4、直线 BD 折成 ABD，使得 AD 丄 BC,则直线 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值是 _.V3VC.D.二、填空题(本大题共 7 小题,9. (6 分)已知 tana=2,则tan多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.)(a+)=42_ 1cosa=_ ,- sin1 +cos10. (6 分)已知函数 f (x)几x0log2(- X)-八则 f (f (- 2) =_ ;若 f (x) 2,则实数 x 的取值范围是11. (6 分)已知函数 f (x)2/ 71=2cos x+cos (-2x),贝 U 函数 f (x)的最小正周期是值域是_.12. (6 分)一

5、个几何体的三视图如图所示(单位: 何体的表面积是cm2.3、cm),则该几何体的体积是 _cm，该几TL正視图十三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)2 216. ( 15 分)在厶 ABC 中，内角 A，B，C 的所对边分别为 a, b, c.已知 a +b +5abcosC=0，2 Lsin C=sinAsinB .2(i)求角C的大小；()若厶 ABC 的面积为丄，求 sinA 的值.217.(15 分)在三棱柱 ABC - AiBlCl中，/ ACB=90 AC1丄平面 ABC , BC=CA=AC1.(i)求证：AC 丄平面 AB1C1

6、；18. (15 分)已知点 C (xo, yo)是椭圆+y2=1 上的动点，以 C 为圆心的圆过点 F( 1, 0).(I)若圆 C 与 y 轴相切，求实数 X0的值；(H)若圆 C 与 y 轴交于 A , B 两点，求| FA| ?| FB|的取值范围.219.(15 分)已知函数 f (x) =x +3| x - a| (a R).(I)若 f(x)在-1, 1上的最大值和最小值分别记为M ( a),m (a),求 M( a) - m(a);D(H)设 b R，若| f (x) +b|w3 对 x - 1, 1恒成立，求 3a+b 的取值范围.2an2*20.(14 分)在数列an中，a

7、1=a (aR), an+1=(n N ),记数列 aj 的前 n 项4a - 1n和是 Sn.(I)若对任意的 n N，都有 an+i丄，求实数 a 的取值范围;22 *(H)若 a=1，求证：SnVj+1(nN).42019年浙江省湖州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.）2小,1. （ 5 分）（2019?湖州模拟）已知集合 A=x|x - 4x 0 , B=x|x 1，则（?RA ） AB=（） A.x| x4 或 xv0 B.x| 1VxV4 C.x|

8、1x4 D.x| 1x 0 = x| x 4 或 x 1,则（?RA） AB=x| 0 x 1=x| 1 x一”是 tanA 1”的（）4A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件兀【分析】要判断 A ”是fanA 1”的什么条件，只要判断，其中一个成立时，另一个是4否也成立即可，我们能够利用举反例实行判断；【解答】 解：当 A=时，tanA=-二，所以 ABC 中，A 一”推不出 tanA 1”34ITJT在斜三角形 ABC 中，当 tanA 1，可得 A ，满足 tanA 1,推出 A ,44 A 堤 fanA 1 ”的必要不充分条件，4故选：B.

9、【点评】本题考查了充要条件的判断，做题时一定要细心， 此题利用特殊值法实行判断会比较简单，是一道基础题；83. （ 5 分）（2019?湖州模拟）已知an是公比大于 1 的等比数列，若 2a*a2, a3成等差数歹y,贝y =a4()31A . . B.1515C.D. 2168【分析】设等比数列an的公比为 q （q 1）,由已知列式求得公比，然后代入等比数列的 通项公式及前 n 项和求得答案.【解答】 解：设等比数列an的公比为 q（ q 1）,由 2a1,a2, a3成等差数列，2得;.|- - . -.-,解得 qR （舍）或q=2.aL(1 - 24)则 1 -一 -引 a严8al8

10、故选：C.【点评】 本题考查等比数列的性质，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题.念+2厂&沁4. （5 分） （2019?湖州模拟）若实数 x 和 y 满足* 3x2 汨则 x2+y2的最小值是（）2x - y - 4 cosx;4 f (x)在(-1, 1) 上为减函数；f (sinx)vf (cosx), 该选项错误；B. x (- 1 , 1);J10；2,.一 . - i,且 f (x)在(-1, 1) 上单调递减；22+1 . - .-:,该选项错误；1C.一=；3X+12X+1(3X+1)(2X+1) (3S+1)(2S+1) x (- 1, 1); x ( 1, 0)时，

11、; cos .，7. ( 5分)(2019?湖州模拟) 的是()f (x)是定义在(-1, 1)上的减函数，则下列不等式准确A . f (sinx) f ( cosx) f ( x)C. f (3K+1：) f- -)【分析】由f (3X4 3-L |一、时，sinxcosx，根据 f (x)的单调性便可判2y- 3X-亠，且 f（x）在（-1, 1） 上为减函数;2X+1-:, 该选项错误；2X+13KD.-3龙+3=2X+2Z(3X+3_X(2X+2S)x (- 1, 0时，打1：- I； ；3梵 +3K2x+2x x（ 0, 1）时,-：11， 0）的焦点为 F,准线为 I，过点 F 的

12、 直线交抛物线于 A, B 两点，点 A 在 I 上的射影为 A1.若|AB|=|A1B|，则直线 AB 的斜率 为（）_A . 3 B. 2 .： C. 2 D . :【分析】设 A , B 到准线的距离分别为 2a, a,由抛物线的定义可得| AB | =3a，禾 U 用锐角三 角函数的定义即可得出直线 AB 的斜率.【解答】 解：设 A 在第一象限，直线 AB 的倾斜角为a.过 B 作准线的垂线 BB 作 AA 的垂线 BC ,-1 AB|=|A1B| , C 是 AA 的中点.设| BB |=a，则 | AA | =2a,A| AB | =| AA |+| BB | =3a.cosa=

13、cosZBAC= j J,AB 3tana=2 ：,由抛物线的对称性可知当A 在第四象限时，tanoF- 2.直线 AB 的斜率为土 2 匚.故选：B.3X+1:,. ;2 .- COSa=；sind +cosztQn+122+l5sinCt +cos d+1 2+1 3故答案为：-3,，三53【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算水平和转化思想，属于基础题.10. （6 分） （2019?湖州模拟）已知函数 f（x）=2K,X0叶(7x 2，则实数 x 的取值范围是 x1 或 xw-4 .二、填空题（本大题

14、共 79(6 分)(2019?湖州模拟)已知 tana=2 ,则 tan(a+) = - 3 , cos24【分析】由已知，利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式可求TTtan(a+)的值,4利用同角三角函数基本关系式即可计算求得COS2a,.的值.sinCL【解答】 解：tana=2 ,兀tan - +tarr-r-二-”）=1二厂3;sin Cltan Cl属于中档【 点评】本题考查抛物线的定义，考查直线的斜率的计算，考查学生的计算水 平 ,题.【分析】根据分段函数的表达式利用代入法实行求解即可.I 正視團十【解答】 解：由分段函数的表达式得 f (- 2) =log22=1 ,1f

15、 (1) =2 =2,则 f (f (-2)=2;若 x 0，由 f (x) 2 得 2x 2，得 x 1 ,若 xv0，由 f (x) 2 得 log2(- x) 2，得x 4，则 xw4,综上 x1 或 xw-4,故答案为：2, x 1 或 xw-4.【点评】本题主要考查函数值的计算， 以及分段函数的表达式的应用， 注意变量的取值范围.27111. (6 分)(2019?湖州模拟)已知函数 f (x) =2cos x+cos (2x),则函数 f ( x)的最2小正周期是n，值域是 1 -,1 -.【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f (x)=匚 sin (2x+) +1，

16、利4IT用三角函数周期公式可求最小正周期，利用正弦函数的图象和性质可得sin(2x+二) -41, 1，从而可求 f (X)的值域.2兀【解答】 解：Tf (x) =2cos x+cos (- 2x)J=1+cos2x+s in2xr-n=:sin (2x+) +1,4函数 f ( x)的最小正周期 T=丁丁=n,2 sin (2x+) - 1, 1,4 f (x) =:sin (2x+) +1 1 -:, 1 - J ._4_故答案为：n,1- ，1-.【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题.

17、12. (6 分)(2019?湖州模拟)一个几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积是_6_ cm3，该几何体的表面积是】I；丨:.cm2.由三视图求出几 何元素的长度，由梯形的面积公式、柱体的体积公式求出该几何体的体积，由四棱柱的各个面的长度求出几何体的表面积.【解答】 解：根据几何体的三视图得：该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱， 其底面是正视图中的直角梯形，上底为1cm，下底为 2cm,高为 2cm,由侧视图知四棱柱的高为 2cm,所以该几何体的体积3v= .： . ： =6 (cm ),由正视图可知直角梯形斜腰是冗则该几何体的表面积 S表面积=2 X| +. . : :

18、I_/j=；I：.；( cm2),故答案为：6;【点评】本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图准确复原几何体是解题的关键，考查空间想象水平./ 213.(4 分)(2019?湖州模拟)已知双曲线 一-y =1 ( a 0)的右焦点为 F,过点 F 作一条a渐近线的垂线，垂足为 P.若点 P 的纵坐标为!_,则该双曲线的离心率是二5【分析】设右焦点 F(c, 0),设双曲线的一条渐近线方程为斜率之积为-1,可得直线 PF 的方程，联立渐近线方程求得 率公式计算即可得到所求值.【分析】根据几何体的三视图得该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱,I: y=,由两直线垂直的条件:aP 的纵坐标

19、，由条件结合离心【解答】解：设右焦点 F (c,0),且 C=广 J _= |设双曲线的一I: y,a由 PF 丄 I，可得直线 PF 的方程为 y= - a (x - c), 尸-a(x - c)消去 x，可得 y=肚肚,1+联立，即有由点aac a 1y=一=,c eP 的纵坐标为一二，可得1=二5e 5e=2故答案为：二.2【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意使用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为-1,考查运算水平，属于基础题.即有14.（4 分）（2019?湖州模拟）已知单位向量 石，云 的夹角为 120 l+l3（ X,y R）,则|x . . - y . . |

20、的取值范围是 1, 31 .法及换元法分别求得| x . . - y . . |的最大值及最小值即可._ _ 1el一e2=_9|x. .+y, |=，.一.即 x2+y2- xy=3 .22 3=x +y xy 2xy xy=xy，即 xy 3;则 *.y=TU-f,= ；一|x.y ：I = . _ 中-*一寸、：亡亠=【分析】由已知求得【解答】解:，且的夹角为1202 2 2 2令 x+y=t，则（x+y）2=x2+y2+2xy=t2,|xr- y =.的取值范围是1, 3.故答案为：1, 3.【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，训练了利用配方法及换元法求函数的

21、最值，属难题.15.（4 分）（2019?湖州模拟）在直角梯形 ABCD 中，AD / BC,/ A=90 AB=2AD，若将 ABD 沿直线 BD 折成 ABD，使得 AD 丄 BC,则直线 AB与平面 BCD 所成角的正弦值是.【分析】 过 D 作 DE 丄 BC 于 E,连结 AE,过 A 作 A O 丄 DE，连结 A O.则可证明 A O 丄 平面 BCD，于是/ ABO 为直线 A B 与平面 BCD 所成的角.设 AD=1，在直角梯形中根据 平面几何知识解出 DO,从而得出 A O,得出线面角的正弦值.【解答】 解：过 D 作 DE 丄 BC 于 E,连结 A E,过 A 作 A

22、 O 丄 DE，连结 A O./ BC 丄 A D,BC 丄 DE,A DPA O=A, BC 丄平面 A DE,vA O?平面 A DE , BC 丄 AO,又 A O 丄 DE,BCPDE=E, A O 丄平面 BCD ./ A BO 为直线 A B 与平面 BCD 所成的角.在直角梯形 ABCD 中，过 A 作 AO 丄 BD，交 BD 于 M，交 DE 于 O,设 AD=1，则 AB=2 , BD= _,A O= .1.一 . sin / A B0=A7B 2 4AM=DM=丄：ii节.由厶 AMD DMO 得_一 酬AD1即一丄 DO*.2故答案为-.E【点评】本题考查了线面角的作法

23、与计算，根据条件构造线面垂直得出线面角是解题关键.三、解答题（本大题共5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （15 分）（2019?湖州模拟）在厶 ABC 中，内角 A , B , C 的所对边分别为 a, b, c.已2227知 a +b +5abcosC=0, sin C=-sinAsinB .2（i）求角C的大小；（）若厶 ABC 的面积为丄-，求 sinA 的值.2【分析】（I）由余弦定理，正弦定理化简已知可得：7 （a2+b2） =5c2, c2 ab，从而利用2余弦定理可求 COsC=- 一，结合范围 C（ 0,n）即可求得/ C 的值.22 2

24、2（n）利用三角形面积公式可求ab=2,由（I）知，c =7, a +b =5，联立可求 a, b 的值,利用正弦定理即可求得 sinA 的值.2k2 2I解答】解：（I）由题意及余弦定理得，站 3=0, 即 7 （a2+b2） =5c2,（ 2 分）由题意及正弦定理得，c2=ab,-2- （4 分）2 22 -圧故 cosC=,=2ab2ab分）因为 C（0, n）, ZC=L,-3- （7 申）（H）因为 SAABC=丄 absinC=3，即 ab=2.229 分）2 2a +b =5.-（17. (15 分)(2019 ?湖州模拟)在三棱柱 ABC - A1B1C1中，/ ACB=90

25、ACi平面 ABC , BC=CA=AC1.(I)求证：AC 丄平面 AB1C1；-（2由（I）知，c =7,a=l十Lb=211 分） a二2-lb二1 -二-（ _由正弦定理得，sinA= _或 sinA= _sinA sinC147【点评】本题主要考查了正弦定理， 余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用,了计算水平和转化思想，属于中档题.13 分）（15 分）考查(n)求二面角 A1- BB1- C 的余弦值.【分析】（I）推导出 BC / B1C1, AC 丄 B1C1, AC1 ACC ,由此能证明 AC 丄平面 AB1C1.（n）分另【J取 BB1, CC1的中点 M、N，连结

26、 AM , MN , AN，则/ AMN 为二面角 A1- BB1-C的平面角，由此能求出二面角A1- BB1- C 的余弦.【解答】 证明：（I）因为三棱柱 ABC - A1B1C1，所以 BC / B1C1.又因为/ ACB=90 所以 AC 丄 B1C1, （3 分）因为 AC1丄平面 ABC，所以 AC1丄 ACC , （6 分）因为 AC1AB1C1=C1,所以 AC 丄平面 AB1C1. （7 分）解：（n）因为点 A1在平面 A1ABB1内，故只需求 A-BB1-C 的二面角.分别取 BB1, CC1的中点 M、N，连结 AM , MN , AN ,所以 AM 丄 BB1.因为

27、AC1丄平面 ABC，/ ACB=90 所以 BC 丄 CC1，即平行四边形 BCC1B1为矩形，所以 MN 丄 BB1，所以/ AMN 为二面角的平面角.（11 分）设 BC=CA=AC1=1，则 AB=AB1=BB1= :,所以 AM= -，MN=1 , AN= - .所以二面角 A1- BB1- C 的余弦值为.（ 15 分）3【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维水平的培养./ 218. （15 分）（2019?湖州模拟）已知点 C （X0, yo）是椭圆 +y =1 上的动点，以 C 为圆心 的圆过点 F （1 , 0）.（

28、I）若圆 C 与 y 轴相切，求实数 X0的值；由余弦定理得，cos/ AMN=（H）若圆 C 与 y 轴交于 A , B 两点，求 I FA| ?| FB|的取值范围.x0的值.（H）圆 C 的方程是（x - xo）2+ （y - yo）2= （xo_1）2+.，令 x=0，得 y2- 2yoy+2xo-1=0,由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出|FA|?|FB|的取值范围.【解答】解：（I）当圆 C 与 y 轴相切时，以0|=/匕广心；.：，（2 分）解得（5分）因为-所以一,_.（6分）（n）圆 C 的方程是（x-xo）2+（y-yo）2=（xo-1）2+；,2令 x=o

29、,得 y - 2yoy+2xo-仁 o ,设 A （o, yi）, B （o, y2）,则 yi+y2=2yo, yiy2=2xo- 1, （8 分）由 -I V 11,及V 1得-2 - 2- vxo- 2+2:,又由 P 点在椭圆上，-2 xo 1 时，f(x) =x2 3x+3a 在 x 1, 1单调递减，则 M(a)=f ( 1) =4+3a,(a) =f (1) = 2+3a，此时 M (a) m (a) =6 ;2当 aw 1 时，f (x) =x +3x 3a 在 x 1, 1 单调递增，M (a) =f (1)=4 3a, m (a) =f ( 1) = 2 3a,此时M (a) m (a)=6;十3