等比数列知识点并附例题及解析汇报

1、实用文档等比数列知识点并附例题及解析1、等比数列的定义：-aL=q(q=0)(n之2,且nw N* ), q称为公比 an2、通项公式：an =aiqn A = a1qn = A Bn (a q # 0, A B ¥ 0 ),首项：a1；公比：q qn _mn _m9n推厂：an =amq= q = = q = nam3、等比中项：(1)如果a, A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2 = ab或A - _ . ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个( (2)数列On是等比数列a an2 =anan书4、等比数列的前n项和Sn公式:(1)当 q

2、 =1 时，Sn =nai当q#1时，&=2工)=亘31-q 1 -q= -aJ _-a-qn = A-A Bn =A'Bn-A' ( A,B,A',B'为 1-q 1 -q常数)5、等比数列的判定方法：(1)用定义：对任意的n，都有an+ =qan或"ant =q(q为常数，an =0)u an an为等比数列(2)等比中项：an2 =an书an(an4an#0)U an为等比数列(3)通项公式：an =A En(AE#0亡an为等比数列6、等比数列的证明方法：文案大全实用文档依据定义：若义an 1=q (q ¥0 )(n 

3、7; 2,且n w N )或%卅=4烝=an为等比数列7、等比数列的性质:(2)对任何m,nw N ,在等比数列an中，有an =Omq 一。z 4、 一t. ta r. tt.t r r 、r*_r(3)右 m+n =s+t(m,n,s,t w N ),则 an am=as at。特别的，当 m + n = 2k 时,2 行 an am = ak注：ai an =a2 an=a3an/(4)数列an , bn为等比数列，则数列凶 , k劣 , an) , k，an bn , 曾 anbn(k为非零常数)均为等比数歹限(5)数列a为等比数列，每隔* -k(kw N )项取出一项(am,am*,

4、am 2k, am 3k , 一)仍为等比数列(6)如果an是各项均为正数的等比数列，则数列log a an是等差数列(7)若a为等比数列，则数列Sn,S2n-Sn,$3n -&n,，成等比数列(8)若前为等比数列，则数列aia an,an书七a2n, a2n 1 a2n 2 a3n成等比数列1al >0,则an为递增数列(9)当q>1时，e1<0,则an为递减数列rai>0,则an为递减数列当0Vq <i时， a1 <0,则 an为递增数列当q=1时，该数列为常数列(此时数列也为等差数列)；当q<0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列an

5、中，当项数为2n(nW N*)时，S包=1S偶q二例题解析【例1】 已知Sn是数列a n的前n项和,Sn = pn(p e R, n C N*),那么数列an.()文案大全实用文档A.是等比数列B.当pw0时是等比数列B. C.当pw 0, pwl时是等比数列 D .不是等比数列【例2】 已知等比数列1, xi, X2，X2n, 2,求xi X2 X3X2n.1【例3】 等比数列an中，(1)已知a2=4, a5 = -,求通项公式；(2)已知 33 34- a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值.【例4】求数列的通项公式：a n中,a1=2，an+1 = 3an + 2a n中，a1=2，

6、a2 = 5，且 an+2 3an+1 + 2an = 0三、考点分析考点一：等比数列定义的应用1、数列Qn 满足an =anj(n22 ), a1=9,则a4=.332、在数列aj中，若a1 =1 , an书=2an +1(n21),则该数列的通项an =:考点二：等比中项的应用1、已知等差数列an的公差为2,若a1, a3, a4成等比数列，则a2=()文案大全实用文档A.qB. -6C. -8D. -102、若a、b、c成等比数列，则函数 y = ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D.不确定3、已知数列 E为等比数列，a3=2, a2+a4=20,求斗

7、的通项公式.3考点三：等比数列及其前n项和的基本运算1、若公比为2的等比数列的首项为9 ,末项为1 ,则这个数列的项数是()383A. 3B. 4C.5D. 62、已知等比数列 Q中，a3 = 3 , a10 =384 ,则该数列的通项3、若K 为等比数列，且2a4=%-as,则公比q=.4、设aja2, a3, a4成等比数列，其公比为2,则交匚0的值为（）2a3 a4A. 1B. 1C . -D . 14285、 等比数列an中，公比 q= 1 且 a2+a4+aoo=3O ,贝U曰+&+2+a1oo=.考点四：等比数列及其前n项和性质的应用1、在等比数列Qn中，如果26=6 ,

8、89=9,那么23为（）A. 4B. -C. D. 2292、如果-1 , a, b, c, -9成等比数列，那么（）A. b=3, ac=9B. b = -3, ac = 9C. b = 3 , ac = -9D. b = -3 , ac = -93、在等比数列4中，a1 =1, ao 二3 , 则 a2a3a4a5a6a708a9年A. 81B. 275 27C. .3D. 243文案大全实用文档4、在等比数列4中，a a10 二a(a*0), ai9 +a20 = b，贝1 a十电等于() b9Rb 9Pb10b 10A. B._|C. -9-D.Iaaaa5、在等比数列an中，a3和a

9、5是二次方程x2+kx+ 5 =0的两个根，则a2a4a6的值为()A. 25B, 5.5C. -5,5D, 5,56、若Qn是等比数列，且an >0 ,若a2a4 +2a3a5 +a4a6 = 25 ,那么a3 +a5的值等考点五：公式an = （S1，（n =1）的应用Sn - S n，（n - 2）1、若数列的前n项和&=&+&+an,满足条件log 2Sn=n,那么缶,是（）A.公比为2的等比数列B.公比为1的等比数列2C.公差为2的等差数列D.既不是等差数列也不是等比数列2、等比数列前n项和Sn=2n-1 ,则前n项的平方和为（）A.(2 n-1) 2B

10、. 1(2n-1) 2C.4n-1D.1 (4n-1)333、设等比数列an的前n项和为S=3n+r,那么r的值为一、等差和等比数列比较:等差数列等比数列定义an 41 -an dan-fr/c、= q(q¥0) an递推公式an an 1 +d ；an am_n *mdnman =anq ; an =amq通项公式an =a1 +(n -1)dn 1an =aq( a1，q #0)中项an -k *an一*A -2(n, kuN,nkM0)G ±Y an -k a n-+k (an -k an -+k ”0) (n,k= N ,nAk0)文案大全实用文档前n项和nSn =

11、2 (a1 +an )n(n -1)Sn =na1 +d2S n= "'naMq =1)a1(1qn ) a一anq / 、， d d(q>2)1-q1 -q重要性质am a an a p a aq，一*、(m,n, p,qu N ,m +n= p + q)am Wn =ap Wq.一 .*.(m,n,p,qe N , m + n = p + q)二、等差数列的定义与性质定义：an+ -an =d ( d 为常数)， 通项：an=a1+(n-1)d等差中项：x, A, y成等差数列u 2A = x + y前n项和：Snai an f Id22性质：an)是等差数列(1)

12、若 m+n = p+q,贝 U am+an =ap+aq；(2)数列a2n42ntLnJ仍为等差数列，S , $20一$3n - S2n仍为等差S2mT2m数列，公差为n d ；(3)若an, bn是等差数列,且前n项和分别为Sn,(4)心口为等差数列u Sn=an2+bn (a, b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数，可能有最大值或最小值)(5)项数为偶数2n的等差数列QJ 有S2n = n(aia2n) = n(a2 a2n4) = n(an an i)(an,an i为中间两项)S奇anS 偶an 1(6)项数为奇数2n-1的等差数列an有S各nS2n4 =(2n 1)an(an为中

13、间项)，S奇S偶=an, 丁 =S 偶n-1文案大全实用文档三、等比数列的定义与性质定义:an 1an=q （q为常数，q=0）,通项:n 1an 二 aiq 一等比中项：X、G、y成等比数列=G2=xy,或G=±JXy'nai(q =1)前n项和:Sn=al 1 - q(q =1)（要注意q !）性质：GJ是等比数列(1)若 m + n = p + q ,贝U am an =ap aq（2） Sn, S2n-Sn, &一S2n仍为等比数列，公比为qn.四、数列求和的常用方法:1、裂项分组法:1111一 十十+ +1 2 2 3 3 4n(n +1)11111111=

14、 (;-) (-) (-) III (-;)1 22 33 4n n 11-,2 -,3-,4 ,|的前 n和是： 3 9 27 81,.1111、(-2+3+4+讣!)+ (+ +|) 3 9 27 812、错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法, 例：求Sn=x 3x2 5x3 HI (2n-5)x n-2(2n-3)x n-1(2n-1)x n (x = 1)解：Sn=x +3x2 +5x3 + lll+(2n-5)x n-2 +(2n-3)x n-1 +(2n-1)x n (x #1)xSn=x2 +3x3 + 5x 41H 十(2n-5)x n-1 十(

15、2n-3)x n +(2n-1)x n+1 (x #1)减得：文案大全实用文档(1 -x)Sn=x2x2 2x3 | 2xn-1 2xn - 2n -1 xn+12 ,n-1n+1- 2n -1 x2x 1 -x=x 1 -x从而求出Sn。错位相减法的步骤：（1）将要求和的杂数列前后各写出三项，列出式；（2）将式左右两边都乘以公比q,得到式；（3）用-，错位相减；（4）化简计算。3、倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法例：等差数列求和：Sn=a1 a2 a3 | an/ , an- anSn=an - an J，an /，111 . a3 a2 . a两式相加可得:2Sn=aana2an

16、 a3an< IIIa3an_2a2anaan即：2Sn = n(a1十an )所以Sn =等比数列例题解析【例1】 已知Sn是数列an的前n项和，Sn=Pn（pC R, nCN*）,那么数列an-A.是等比数列B.当pw0时是等比数列C.当pw0, pw1时是等比数列D.不是等比数列【例2】已知等比数列1, x1，x2,，x2n, 2,求x1 x2 x§ x2。.文案大全实用文档Xn,使得 2, X1, X2,xn, b成等比数列，求证 n X1X2 - X n <【例5】设 a、b、c、d 成等比数列，求证：(b c)2+ (c a)2+ (d b)2(a (a d)

17、2.例6求数列的通项公式:(1)a“ 中,a1=2, an+i = 3an+ 2【例3】等比数列2n中,(1)已知22=4, 35式；(2)已知 a3 - a4 25=8,求 22232425% 的值.n个正数xi, X2，,例4 已知2>0, b>0且2Wb,在2, b之间插入(2)a n中,a2, a2=5,且 an+2 - 3an+1+2an= 0【例7】 若实数21、22、23、24都不为零，且满足(a2 + a2)a42h2 (a1 + a3)a4 + a2 + a2 = 0求证：21、22、23成等比数列，且公比为24 .文案大全实用文档【例8】若a、b、c成等差数列，

18、且 a+1、b、c与a、b、c+ 2都成等比数列，求b的值.【例9】 已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是d,又知dwi,且 a4=b4， a10=b10：求ai与d的值；(2)b16是不是an中的项?1 一 一，21【例10设an是等差数列，bn=( )an,已知b1 + b2+b3 =,281b1b2b3 =1，求等差数列的通项.8【例11】【例12】三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这 个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数.有四个数，其中前三个数成等差数列， 后三个数成等比数列,文案大全实用文档16，第二个数与第三个数并且第一个数与第四个数的和是的和

19、是12，求这四个数13】已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列， 把两个数列的对应项依次相加，分别得到85， 76， 84 求这两个数列【例14】已知在数列an中，aa2、a§成等差数列，a2、23、a4成等比数列，a3、 a4、 a5 的倒数成等差数列，证明： a1、 a3、a5 成等比数列【例15】已知 (b c)log mx (c a)logmy (a b)log mz=0(1)设a, b, c依次成等差数列，且公差不为零，求证： x, y, z成等比数列.(2)设正数x, y, z依次成等比数列，且公比不为 1,求证：a, b, c成等差数列等比数列例题解析

20、【例1】已知Sn是数列an的前n项和，Sn=pn(pC R, nCN*),那么数列an文案大全A.是等比数列实用文档B.当pw0时是等比数列C.当pw0, pwl时是等比数列D.不是等比数列分析 由Sn= Pn(nC N*),有a1=S1 = P,并且当n>2时,an=Sn Sn-1= Pn-Pn-1 = (P-1)Pn-1pW0故22=91)p,因此数列a n成等比数列u «p产0n 1(P 1)Pp(p1)/n_2 =JP -2)p p但满足此条件的实数 p是不存在的，故本题应选D.说明 数列an成等比数列的必要条件是anw0(n £ N*),还要注a,意对任nC

21、N*, n>2, H都为同一常数是其定义规定的准确含义.an求 x1 X2 X3 X2n.例2已知等比数列1, x1, X2，x2n，2,解1, xX2，X2n, 2成等比数列，公比 q -2=1 , q2n+1x1x2X3x2n=q .q2- q3q2n=q1+2+3+2n2n(1+2n)n(2 n -1)nq=2a5【例3】等比数列an中,(1)已知a2=4,式；(2)已知 a§ , a4, a5 = 8,求 a2a3a4a5a6 的值.1斛(1)a5 = a2qq =21 一 .1 一，n -2an = a2q =n -2n -44(- 2)=(-2)(2) , a3 a

22、5 = a2 a3 a4 a5 = a4 = 82 二84文案大全a2 a3a4a5a6=4 = 32实用文档例4 已知a>0, b>0且awb,在a, b之间插入n个正数x1，x2,xn,使得 a, x1, x2,xn b成等比数列,证 Vxix2 - xn < a2证明 设这n+ 2个数所成数列的公比为q,则 b=aqn+1. n： 1.q n -1 vx1x2 "xn =V'aqaq2aqn = aq 2a b=vab<2例 5设 a、b、c、d 成等比数列，求证：(bc)2+(ca)2+(d b)2= (a-d)2.证法一 :a、b、c、d成等

23、比数列abcbcd，b2=ac, c2 = bd, ad= bc，左边=b2 2bc+ c2+ c2 2ac+ a2 + d2 2bd + b2 =2(b2 ac) + 2(c2 bd) + (a2 2bc+ d2) =a2 2ad+ d2 =(a d)2 =右边证毕.证法二 ,a、b、c、d成等比数列，设其公比为q,则:b=aq, c=aq2, d=aq3，左边=(aq aq2)2+ (aq2 a)2 + (aq3 aq)2= a22a2q3+a2q6=(a aq3)2= (a d)2=右边证毕.文案大全实用文档说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目.证法一是抓住了求证式中右边没

24、有 b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子.证法二则是把 a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的.证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性.【例6】求数列的通项公式：(1)aQ 中，ai=2, 2卅=32门+2(2)a" 中，a2, a2=5,且 an+2-3an+1 +2an=0 思路：转化为等比数列.解(Da、* =3an+2m a。* + 1 = 3(a0+ 1)，an+1是等比数列2、+1=3，3n-1，an=3n1(2)a n+23an+1 + 2an=0= an+2 -an+1=2(a n+1 -a

25、n)an+1an是等比数歹U，即an+1-an=(a2-a1) 2n-1=3 - 2n-1再注意到 a2 a1二3, a3 a2=3 , 21, 2423=3 22,，an- an-1 =3 ' 2n-2,这些等式相加，即可以得到n 1). 2 ,1n-22- 1nan = 31 + 2 + 22 + 2 = 3 = 3(2 T)2 -1说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知. (1)中发现an+1是等比数列，(2)中发现an+1 an是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现.【例7】若实数a1、a2、a3、a4都不为零，且满足(a2 + a2)a22a2(a1 + a3

26、)a4 + a2 + a2 = 0求证：a1、a2、a3成等比数列，且公比为a4.证a1、a2、a3、a4均为不为零的实数(a2+a2 )x2 2%® +a3)x+a2 + a2 =0 为实系数一元二次方程等式(a2 +a2)a4 2% (a1 +a3)a +a2 + a2 = 0说明上述方程有实数根a4.上述方程的判别式 a >0,即文案大全实用文档_._ 22,22.22a2(ai + a3) 4(a + a2)(az+a3)22 、 一=4(a2 a1a3)0.22 一2 (a2a1a3)2W0又: a、a2、a§为实数3 . (a2 a1a3)2 > 0

27、必有 a2 a1a3 = 0 即 a2 = a1a3因而aa2、a3成等比数列又 a42a2(a a3)2(a2 +a2)a2(a a3)一 a2 a1a3a2a1出4即为等比数列a1、a2、23的公比.【例8】若a、b、c成等差数列，且 a+ 1、b、c与a、b、c+ 2都成等比数列，求b的值.解 设 a、b、c分别为 bd、b、b+d,由已知 bd+1、b、b+d与b d、b、 b+d+2都成等比数列，有'b2 = (b-d+ 1)(b + d) <b2 = (b d)(b +d+ 2)整理，得'b2 = b2 d2 + b+d<b2 = b2 d2 + 2b

28、2dk，b+d=2b2d 即 b=3d代入，得9d2=(3d-d + 1)(3d + d) 9d2=(2d + 1) 4d解之，得d=4或d=0(舍)4 .b=12【例9】已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是d,又知dw1,且 a4=b4， a10=b10:(1)求a1与d的值；(2)b16是不是an中的项?思路：运用通项公式列方程文案大全实用文档a4 = b4fa1 + 3d = a1d解(1)由八二W§10 = b10a + 9d = a1da1(1d3) = - 3d9p(1d9)= -9d = d6 + d3 2 = 0=d1 =1(舍)或2 = V 2 a1 -

29、-d = 3 2 d - -3.2(2)-.b16=b1 - d15= 32bl且 a4 = a1 + 3d = -2<2 = b4b4 = b1 , d3 = 2b1 = - 2v12二 b1 = a1 =菖 2 -b16=-32b1=-32a1,如果 b16是an中的第 k 项,则32a1=a1+ (k1)d.(k-1)d=-33a1=33d 1- k=34即，6是但4中的第34项._ 1c21【例10 设an是等差数列，bn=(一)an,已知b1 + b2+b3 =一, nn281b1b2b3=8'求等差数列的通项.解 设等差数列an的公差为d,则an=a1 + (n1)d

30、.bn = (2)a1由 b1b2 b3 =8,解得b2=1,解得b2=代入已知条件1bb2b3 = 8b1 +b2 +b3218bH 整理得,b1 + b314_ 17一 8b1b3 = q)a1 .(；广母=g产地 b2文案大全解这个方程组，得实用文档bi =2,.1b3 二一或b181b3, " ai = - 1, d=2 或 a1=3, d= 2当 a1 = 1, d=2 时，an=a1 + (n 1)d=2n 3当 a1 =3, d=2 时，an=a1 + (n 1)d=5 2n【例11】三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数

31、列，求这三个数.解法一按等比数列设三个数，设原数列为 a, aq, aq2由已知：a, aq+4, aq2成等差数列即：2(aq+4)=a+aq2a, aq+4, aq2 + 32成等比数列即：(aq+4)2=a(aq2+32)=aq+ 2 = 4a在/曰 a=2一 a=2，两式联立解得：1=3或1921050. .这二数为：2, 6, 18或一，-一，.999解法二按等差数列设三个数，设原数列为 b-d, b-4, b + d由已知：三个数成等比数列即：(b-4)2=(b-d)(b + d)=8b- d2 = 16b-d, b, b+d+32成等比数列即 b2=(b-d)(b+d+32)=3

32、2b d2 32d = 0文案大全实用文档、两式联立，解得:26 b =98 d =-工 3ib = 10d = 82 三数为2,910一，950一或2,96,18.解法三任意设三个未知数，设原数列为av a2, a3由已知：a1, a2，23成等比数列得：a2 = a1a 3(X2 I 3a1, a2+4, a§成等差数列得：2(a2 +4)=a1 + a§a1, a2+4, as + 32成等比数列、式联立，解得:50a1 = 2或 4 a2 = 6。3 = 18a3说明将三个成等差数列的数设为a d, a, a+ d;将二个成得：例+4)2=a1(a3+32)等比数列

33、的数设为a, aq, aq2(或a, a, aq)是一种常用技巧，可起到 q简化计算过程的作用.【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.分析本题有三种设未知数的方法方法一 设前三个数为a-d, a, a+ d,则第四个数由已知条2件可推得：出一9-a方法二设后三个数为b, bq, bq2,则第一个数由已知条件推得为2bbq .文案大全实用文档方法三 设第一个数与第二个数分别为x, y,则第三、第四个数依次为12-y, 16 x.由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所

34、求 的四个数，（a，d）2解法一 设前三个数为a-d, a, a+ d,则第四个数为-.a(a d)2病日右 a d=16依题思，有aa+ (a+d) = 12a1 = 4a2 = 9解方程组得:1 1 或4口1 = 4 d2 = - 6所求四个数为：0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1 .解法二 设后三个数为：b, bq, bq2,则第一个数为：2b bq八2bbq + bq =16依题意有：b+ bq = 12、，b1 = 4解方程组得：1 c工 b2 = 9或 1q2=3所求四个数为：0, 4, 8, 解法三设四个数依次为16 或 15, 9, 3, 1 .x, y, 12-y, 16-x.q1 =2J.x2 = 15y2 = 9x+(12-y) = 2y j (16 x) = (12-y)2.、 ,x1 = 0解方程