点直线圆与圆的位置关系—知识讲解基础

1、点、直线、圆与圆的位置关系一知识讲解（基础）【学习目标】1 .理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2 .理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两圆相交，圆心距等概念.理解两圆的位 置关系与d、ri、2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题.【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1 点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设。 。的半径为r,点P到圆

2、心的距离为d,则有p(x, y)L1）点尸在圆内=d s O旧4r（2）点尸在圆上Odf =尸=&= r；（3）点尸在圆外O d > r =+> r.2 .三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系； 知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1.直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点

3、时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切. 这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.2.直线与圆的位置关系的判定和性质.直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置， 半径确定圆的大小， 因此研究直线和圆的位置关系， 就可以转化为直线和点（圆心） 的位置关系.下面图（1）中直线与圆心的距离小于半径；图 （2）中直线与圆心的距离等于半径；图 （3）中直线与圆 心的距离大于半径.如果。的半径为r,圆心O到直线，的距离为d,那么(1)直线，

4、和日掰交od<n(2)直绑和。相切o d三门(3直线/和口。相离今dr,要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系 的判定.要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1 .切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可2 .切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 .3 .切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的

5、长”的简称.切线是直线，而非线段.4 .切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等5 .三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆6 .三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即S二2Pr(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r

6、为内切圆的半径).(3)三角形的外心与内心的区另1J:内心(三角形 内切圆的圆三角形三条角平分线 的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB OC分别平分/ BAC / ABC /ACB (3)内心在三角形内部.要点四、圆和圆的位置关系1 .圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两 个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点

7、都在另一个圆的内部时，叫做这两 个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2 .两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设。O的半径为ri,。Q半径为2, 两圆心OQ的距离为d,则：两圆外离 Qd>ri+r2两圆外切 ="d=ri+r2两圆相交 Q r i-r 2< dv ri+r2 (r i> r 2)两圆内切d=ri-r 2 (r i>r2)两圆内含d<r i-r 2 (r i>2)要点诠释：(i)圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两

8、圆的公共点个数分类,又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2)内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3)具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合 【典型例题】类型一、点与圆的位置关系i.已知圆的半径等于 5 cm,根据下列点 P到圆心的距离:(i)4 cm； (2)5 cm； (3)6 cm,判定点 P与圆的位置关系，并说明理由【答案与解析】(1)当d=4 cm时，dv r,，点P在圆内;(2)当 d=5 cm 时，d=r, .点 P在圆上；(3)当 d=6 cm 时，d> r, .点 P在圆外.【总结升华】利用点与圆的位置关系，由点到圆

9、心的距离与半径的大小比较举一反三：【变式】 点A在以。为圆心，3为半径的。0内，则点A到圆心O的距离d的范围是.【答案】0<d< 3.类型二、直线与圆的位置关系C2,在RtABC中，/ C=90° , AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与 AB有怎样的位置关 系？为什么？(1)r=2 厘米；(2)r=2.4 厘米；(3)r=3 厘米【答案与解析】过C点作CDL AB于D,在 RtABC中，/ C=90° , AC=3, BC=4 彳A AB=5CD=AC?BC = LAB=2.4 (cm),S.丸= , CD = AC ' ECAB C

10、D=AC BC(1)当 r =2cm 时 CD>r, .圆 C与 AB相离;(2)当 r= 2.4cm 时，CD=r,圆 C与 AB相切；(3)当 r=3cm 时，CD< r, .,.圆 C 与 AB 相交.【总结升华】 欲判定。C与直线AB的关系，只需先求出圆心 C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可.举一反三：【变式】如图，P点是/ AOB的平分线OC上一点，PEL OA于E,以P为圆心，PE为半径作。P .求证：OP与OB相切。【答案】 作PF, OB于F,则可证明 OE四 OFP所以PF=PE即F在圆P上，故。P与OB相切。3.如图所示，在 RtABC中，/ B=

11、90° , / A的平分线交BC于D,以D为圆心，DB长为半彳5作。D.求 证：AC是0D的切线.过D作D。AC于F./ B= 90° , DB ±AB.又AD平分/ BACDF = BD=半径. AC与0D相切.【总结升华】 如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可.可简记为：作垂直，证半径.类型三、圆与圆的位置关系【答案与解析】 4. (1)已知两圆的半径分别为 3cm, 5cm,且其圆心距为7cm,则这两圆的位置关系是 ()A.外切 B.内切 C.相交D.相离(2)已知。Oi与。O2相切，O Oi的

12、半径为3cm,。2的半径为2cm,则O1O2的长是()A . 1cm B. 5cmC. 1cm 或 5cm D . 0. 5cm 或 2. 5cm【答案】(1) C ;(2) C.【解析】(1)由于圆心距 d=7cm, R+r = 5+3= 8(cm), R-r= 5-3= 2(cm). R-rvdvR+r,故这两圆的位置关系是相交.(2)两圆相切包括外切和内切，当O。1与。O2外切时，d=OO2= R+r=3+2=5(cm);当O O1 与。02 内切时，d = O1O2 = R-r= 3- 2= 1(cm).【总结升华】 由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：两圆外离d>R+r；两

13、圆外切 d=R+r；两圆相交R-rvdvR+r;两圆内切d=R-r;两圆内含 dvR-r.点、直线、圆与圆的位置关系一巩固练习(基础)【巩固练习】一、选择题1 .已知：如图，PA PB分别与。O相切于A, B点，C为。O上一点，/ ACB=65 ,则/ APB等于().A. 65°B, 50°C, 45°D , 40°2 .如图，AB是。的直径，直线 EC切。于B点，若/ DBC=z ,则().o 1A. / A= a B . / A=90 a C . / ABD= a D. / ABD 90o 一2£ESC第1题图第2题图3 .设。0的半径为

14、3,点O到直线l的距离为d,若直线l与。0至少有一个公共点，则d应满足的条件是()A.d=3 B. d <3 C. d <3 D.d >34 .在RtABC中，/C=90 , AB=10 AC=6,以C为圆心作0C和AB相切，则0C的半径长为（）A.8B.4C.9.6D.4.85 .已知。0 i和。0 2的半径分别为1和5,圆心距为3,则两圆的位置关系是 （）A.相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含6 .已知：A, B, C, D, E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出（）.A. 5个圆B. 8个圆C. 10个圆D. 12个圆二、填空

15、题7 .锐角三角形的外心在三角形的 部，钝角三角形的外心在三角形的 部， 直角三角形的外心在 .8 .若 ABC中，/ C=90° , AC=10cm BC=24cm则它的外接圆的直径为 .9 .若 ABC内接于。O, BC=12cm O点到BC的距离为8cm,则。的周长为 .10 .如图所示，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为 3cm和5cm,则AB的长为 cm.11 .如图所示，已知直线 AB是。的切线，A为切点，OB交。O于点C,点D在。0上，且/ OBA= 40° ,则/ ADC第10题图第11题图第12题图12 .如图，施

16、工工地的水平地面上，有三根外径都是1 m的水泥管，两两相切地堆放在一起，其最高点到地面的距离是 三、解答题13 .如图所示，四边形 ABC比平行四边形，以 AB为直径的。O经过点D, E是。上一点，且/ AED= 45° ,试判断CD与。的关系，并说明理由.14 . AB是。O的直径，BC切。于B, AC交。于D点，过 D作。O的切线DE交BC于E.求证：CE=BE.15.如图所示,AB是。的直径,P为AB延长线上任意占八）AB于点E,求证：PA PE.【答案与解析】 一、选择题1 .【答案】B;【解析】连结 OA OB 则/ AOB=130 , / PAOW PBO=90 ,所以/

17、 P=50° .2 .【答案】A;【解析】 AB是。的直径，ADB=90 , /A+/ABD=90 ,又二.直线 EC切。于 B 点，. a +Z ABD=90 ,A=a,故选 A.3 .【答案】C;【解析】直线l可能和圆相交或相切.4 .【答案】D;【解析】作 CDLAB于 D,贝U CD为OC 的半径，BC4rAB2AC2 = 102 62 =8,由面积相等，得 AB- CD=AC BC.CD=6=4.8.105 .【答案】D;【解析】内切、外切分别对应d=H r, d=Rr,它们起着分界作用.在。0 i和。0 2相对运动时依次产生外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，圆心距

18、逐渐变小，而相内切和外切起着分界作用，所以先计算d+r和dr,因为圆心距 d=3< R- r,所以"内含".6 .【答案】C.【解析】过其中的三点作圆，最多能作出 10个，即分别过点 ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE的圆.二、填空题7 .【答案】内，外，它的斜边中点处.8 .【答案】26cm.9 .【答案】20兀cm.10 .【答案】8.【解析】因为 AB切小。于C,连OA OC如图，由切线的性质知 OCLAB,又由垂径定理得 AC= BC, 在 RtAOC中,AO= 5, OC= 3.AB =2AC= 8(cm).11 .【答案】25° .【解析】: OALAB, Z OBA= 40° ,/ BOA= 50° , ,1 /ADC= / BOA= 25 .212.【答案】(1+ 221) m.【解析】由于三个圆两两外切，所以圆心距等于半径之和，所以三个圆心为顶点的三角形是边长为1 m的等边三角形，最高点到地面距离是等边三角形的高加上一个直径.等边三角形的高是 卜-J）2 =也,故最高