(word完整版)中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等),推荐文档

1、中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥 选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形最值问题在几何图形中分两大类： 定点到定点 ：两点之间，线段最短； 定点到定线 ：点线之间，垂线段最短。由此派生： 定点到定点 ：三角形两边之和大于第三边； 定线到定线 ：平行线之间，垂线段最短； 定点到定圆 ：点圆之间，点心线截距最短（长）； 定线到定圆 ：线圆之间，心垂线截距最短； 定圆到定圆 ：圆圆之间，连心线截距最短（长）。 举例证明： 定点到定圆 ：点圆之间，点心线截距最短（长）。已知 O半径为 r ， AO=d， P是 O上一点，求 AP的最大值和最小值。证明：由“两点之间，线段最短”得AP

2、AO+PO，AO AP+PO，得 d-r APd+r ，AP最小时点 P在 B处，最大时点 P在 C处。即过圆心和定点的直线 截得的线段 AB、AC 分别最小、最大值。 （ 可用“三角形两边之和大于第三 边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上 述基本图形解决的。二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定 点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（ 1）直接包含基本图形；（ 2）动点路径待确定；（ 3 ）动线（定点）

3、位置需变换。（一）直接包含基本图形例 1. 在 O中，圆的半径为 6， B=30°， AC是 O的切线，则 CD的最小 值是 。简析：由 B=30°知弧 AD一定，所以 D 是定点， C是直线 AC上的动点，即 为求定点 D到定线 AC的最短路径，求得当 CD AC时最短为 3。（二）动点路径待确定例 2. ，如图，在 ABC中， ACB=90°， AB=5， BC=3， P 是 AB边上的动点 （不与点 B重合），将 BCP沿 CP所在的直线翻折， 得到 BCP，连接 B A，则 B A长度的最小值是。简析： A 是定点， B' 是动点，但题中未明确告知

4、 B' 点的运动路径，所以需 先确定 B' 点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以 C 为圆心， BC 为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为 AC-B'C=1 。如图，QM半径为2,圆心M的坐标为(3, 4),点P是G)M上的任意一点，PA丄PE,且P4、PB与昭由分别交 于久B两点，若点A、点B关于原点O对称，贝!MB的最 小值为()A3BAC. 6D. 8解答答案：C.,. PA 丄 PB、査看视频讲解 AO=BO1.AB=2PO,若要使取得最小值，则PO需取得最小值,连接OM,交OM于点P,当点Pf立于P位置时，OP取得最

5、小值.过点M作MQ丄忑轴于点Q,则 OQ二 3, MQ=4,0M=5.又-MP=21AOF=3,.AB=2OP=6.例 3. 在 ABC中， AB=AC=5， cos ABC=3/5，将 ABC绕点 C 顺时针旋转， 得到 A'B'C ，点 E是 BC上的中点，点 F 为线段 AB上的动点，在 A'B'C 绕点 C顺时针旋转过程中，点F的对应点是 F' ，求线段 EF'长度的最大值与最小值的差。简析： E是定点， F' 是动点，要确定 F'点的运动路径。先确定线段 A'B' 的 运动轨迹是圆环，外圆半径为BC，内圆

6、半径为 AB边上的高， F'是A'B' 上任意一点，因此 F' 的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点 E 到圆 环的最短和最长路径。E 到圆 环的最短距离为 EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8 ，E 到圆环的最 长距离为 EF1=EC+CF1=3+6=9，其差为 7.2 。（三）动线（定点）位置需变换线段变换的方法：（ 1）等值变换：翻折、平移；（ 2）比例变换：三角、相似。 【翻折变换类】典型问题：“将军饮马”例 4. 如图， AOB=30°，点 M、N 分别是射线 OA、OB上的动点， OP平分 AOB，且 OP=6，当 PMN的周长最

7、小值为。简析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段PM、MN、PN 在 OA、OB的内侧。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段 PM、MN、PN 转化为连接两点之间的路径。如图，把 点 P 分别沿 OA、 OB翻折得 P1、 P2， PMN的周长转化为 P1M+MN+2PN，这三 条线段的和正是连接两个定点P1、P2 之间的路径，从而转化为求P1、P2两点之间最短路径，得 PMN的周长最小值为线段 P1P2 OP 6。例 5. 如图，在锐角 ABC中， AB=4， BAC=45°， BAC的平分线交 BC 于 点 D，M、N分别是 AD和

8、AB上的动点， 则 BM+MN的最小值是。简析：本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹 AD 的同侧，同样把点 N沿 AD翻折至 AC上， BM+MNBM+MN，' 转化为求点 B到直线 AC的最短 路径，即 BN' AC时，最小值为 2 2 。【平移变换类】典型问题：“造桥选址”例 6.如图， m、 n是小河两岸，河宽 20 米，A、B 是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使A、 B之间的路径最短应该如何选址 （桥须与河岸垂直） ？简析：桥长为定值，可以想像把河岸 m 向下平移与n 重合，同时把点 A向下平移河宽，此时转化成 n 上的一点到 A、B 的路径 之和最短，即

9、转化为定点 A' 到定点 B 的最短路径。如下图：思路是把动线 AM平移至 A'M，A'N+BN即转化为求定点 A' 与定点 B之间的最 路径。本题的关键是定长线段MN把动线段分隔，此时须通过平移把动线段A'N 、 BN变为连续路径，也可以把点B向上平移 20 米与点 A连接。例 7. 如图， CD是直线 y=x 上的一条定长的动线段，且 CD=2，点 A（ 4，0）， 连接 AC、AD，设 C 点横坐标为 m，求 m为何值时， ACD的周长最小，并求出这个最小值。解析：两条动线段 AC、 AD居于动点所在直线的两侧，不符合基本图形中定 形（点线圆）应在

10、动点轨迹的两侧。首先把AC 沿直线 CD翻折至另一侧，如下图：现在把周长转化为 A'C+CD+AD，还需解决一个问题：动线段A'C 与 AD之间被定长线段 CD阻断， 动线段必须转化成连续的路径。 同上题的道理， 把 A'C沿 CD 方向平移 CD 的长度即可，如下图。现在已经转化为 A''D+AD 的最短路径问题，属定点到定点，当 A''D 与 AD 共线时 A''D+AD 最短，即为线段 AA'' 的长。【三角变换类】典型问题：“胡不归”例 8. 如图， A地在公路 BC旁的沙漠里， A到 BC的距离

11、AH 2 3， AB 2 19，在公路 BC上行进的速度是在沙漠里行驶速度的2 倍。某人在 B地工作，A 地家中父亲病危，他急着沿直线BA赶路，谁知最终没能见到父亲最后一面，其父离世之时思念儿子，连连问：“胡不归，胡不归！”（怎么 还不回来），这真是一个悲伤的故事，也是因为不懂数学而导致的。那么， 从 B至 A 怎样行进才能最快到达？简析： BP段行驶速度是 AP段的 2 倍，要求时间最短即求 BP/2+AP最小，从 而考虑 BP/2 如何转化，可以构造含 30 °角利用三角函数关系把 BP/2 转化 为另一条线段。如下图，作CBD=30°， PQ BD，得 PQ=1/2B

12、P，由“垂线段最短”知当 A、P、Q共线时 AP+PQ AQ'最小。相似变换类】典型问题：“阿氏圆”“阿氏圆”：知平面上两点A、 B，则所有满足 PA/PB=k且不等于 1 的点 P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿 氏圆，如下图所示，其中 PO：BO AO：POPA：PBk。例 9.已知 A(-4 ，-4) 、B(0, 4) 、C(0, -6) 、 D(0, -1) ，AB与 x轴交于点 E，以点 E为圆心，ED长为半径作圆， 点M为 E上一动点，求 1/2AM+CM 的 最小值。简析： 本题的主要问题在于如何转化1/2AM，注意到由条件知在 M的运动过程中， EM： AE1：2 保持不变，从而想到构造相似三角形，使之与 AEM 的相似比为 1： 2，这样便可实现 1/2AM 的转化，如下图取 EN： EM 1： 2，即可得 EMN EAM，再得 MN=1/2AM，显然， MN+CM的最小值就是定点 N、 C之间的最短路径。之后便是常规方法先求 N 点坐标，再求 CN的长。解法大一统】万法归宗：路径成最短，折线到直线。（所求路径在一般情况下是若干折线的组合，这些折线在同一直线上时即 为最短路径）基本图形：动点有轨迹，动线居两边。（动点轨迹可以是线或圆，动线指动点与定点或定线、定圆的连线，动线 与折线同