数学建模～最优化模型(课件ppt).

1、最优模型最优化模型最优化模型一、最优化方法概述一、最优化方法概述二、无约束最优化问题二、无约束最优化问题三、有约束最优化问题三、有约束最优化问题最优化方法概述最优化方法概述 1 1、最优化理论和方法是近二十多年来发展十分迅、最优化理论和方法是近二十多年来发展十分迅速的一个数学分支。速的一个数学分支。2 2、在数学上，最优化是一种求极值的方法。、在数学上，最优化是一种求极值的方法。3 3、最优化已经广泛的渗透到工程、经济、电子技、最优化已经广泛的渗透到工程、经济、电子技术等领域。术等领域。 在实际生活当中，人们做任何事情，不管是分在实际生活当中，人们做任何事情，不管是分析问题，还是进行决策，都要

2、用一种标准衡量析问题，还是进行决策，都要用一种标准衡量一下是否达到了最优。一下是否达到了最优。 （比如基金人投资）（比如基金人投资） 在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。（比如保险）（比如保险） 数学家对最优化问题的研究已经有很多年的数学家对最优化问题的研究已经有很多年的历史。历史。 以前解决最优化问题的数学方法只限于古典以前解决最优化问题的数学方法只限于古典求导方法和变分法（求求导方法和变分法（

3、求无约束极值无约束极值问题），拉格问题），拉格朗日（朗日（LagrangeLagrange）乘数法解决等式约束下的条件）乘数法解决等式约束下的条件极值问题。极值问题。 计算机技术的出现，使得数学家研究出了许计算机技术的出现，使得数学家研究出了许多最优化方法和算法用以解决以前难以解决的问多最优化方法和算法用以解决以前难以解决的问题。题。几个概念几个概念 最优化最优化是从所有可能方案中选择最合理的一种是从所有可能方案中选择最合理的一种以达到最优目标的学科。以达到最优目标的学科。 最优方案最优方案是达到最优目标的方案。是达到最优目标的方案。 最优化方法最优化方法是搜寻最优方案的方法。是搜寻最优方案的

4、方法。 最优化理论最优化理论就是最优化方法的理论。就是最优化方法的理论。 经典极值问题经典极值问题包括：包括：无约束极值问题无约束极值问题约束条件下的极值问题约束条件下的极值问题1 1、无约束极值问题的数学模型、无约束极值问题的数学模型 min( )xf x2 2、约束条件下极值问题的数学模型、约束条件下极值问题的数学模型 min( )xf x. .( )0,1,2,.,( )0,1,2,.,iistg ximh xin 其中，极大值问题可以转化为极小值问题来其中，极大值问题可以转化为极小值问题来进行求解。如求：进行求解。如求：max( )xf x 可以转化为：可以转化为：min( )xf x

5、1 1、无约束极值问题的求解、无约束极值问题的求解 例例1：求函数：求函数y=2x3+3x2-12x+14在区间在区间-3,4上的最上的最大值与最小值。大值与最小值。解：令解：令f(x)=y=2x3+3x2-12x+14 f(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1)解方程解方程f(x)=0，得到，得到x1= -2，x2=1，又，又由于由于f(-3)=23，f(-2)=34，f(1)=7，f(4)=142，综上得，综上得，函数函数f(x)在在x=4取得在取得在-3,4上得最大值上得最大值f(4)=142，在，在x=1处取得在处取得在-3,4上取得最小值上取得最小值f(1)=7 有约束最优

6、化有约束最优化最优化方法分类最优化方法分类（一）（一）线性最优化线性最优化：目标函数和约束条件都是线：目标函数和约束条件都是线性的则称为线性最优化。性的则称为线性最优化。 非线性最优化非线性最优化：目标函数和约束条件如果含：目标函数和约束条件如果含有非线性的，则称为非线性最优化。有非线性的，则称为非线性最优化。 （二）（二）静态最优化静态最优化：如果可能的方案与时间无关，：如果可能的方案与时间无关，则是静态最优化问题。则是静态最优化问题。 动态最优化动态最优化：如果可能的方案与时间有关，如果可能的方案与时间有关，则是动态最优化问题则是动态最优化问题有约束最优化问题的数学建模有约束最优化问题的数

7、学建模 有约束最优化模型一般具有以下形式：有约束最优化模型一般具有以下形式：min( ). .xf xst或或max( ). .xf xst 其中其中f(x)为目标函数，省略号表示约束式子，可以是为目标函数，省略号表示约束式子，可以是等式约束，也可以是不等式约束。等式约束，也可以是不等式约束。 根据目标函数，约束条件的特点将最优根据目标函数，约束条件的特点将最优化方法包含的主要内容大致如下划分：化方法包含的主要内容大致如下划分：线性规划线性规划整数规划整数规划非线性规划非线性规划动态规划动态规划多目标规划多目标规划 对策论对策论最优化方法主要内容最优化方法主要内容1： 某厂每日某厂每日8小时的

8、产量不低于小时的产量不低于1800件件.为了进行质量控制，为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为：速度一级检验员的标准为：速度25件件/小时，正确率小时，正确率98%，计时工资，计时工资4元元/小时；二级检验员的标准小时；二级检验员的标准为：速度为：速度15件件/小时，正确率小时，正确率95%，计时工资，计时工资3元元/小时小时.检验员每检验员每错检一次，工厂要损失错检一次，工厂要损失2元元.为使总检验费用最省，该工厂应聘为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？一级、二级检验员各几名？解解 设需要一级和二级检验员的人数分别为

9、设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人人,则应付检验员的工资为：则应付检验员的工资为：212124323848xxxx因检验员错检而造成的损失为：因检验员错检而造成的损失为：21211282)%5158%2258(xxxx故目标函数为：故目标函数为：2121213640)128()2432(minxxxxxxz约束条件为：约束条件为：0,18001582582121xxxx 运用最优化方法解决最优化问题的一般运用最优化方法解决最优化问题的一般方法步骤如下：方法步骤如下：前期分析：分析问题，找出要解决的目标，约束条件，前期分析：分析问题，找出要解决的目标，约束条件，并确立最优化的目标。并

10、确立最优化的目标。定义变量，建立最优化问题的数学模型，列出目标函定义变量，建立最优化问题的数学模型，列出目标函数和约束条件。数和约束条件。针对建立的模型，选择合适的求解方法或数学软件。针对建立的模型，选择合适的求解方法或数学软件。编写程序，利用计算机求解。编写程序，利用计算机求解。对结果进行分析，讨论诸如：结果的合理性、正确性，对结果进行分析，讨论诸如：结果的合理性、正确性，算法的收敛性，模型的适用性和通用性，算法效率与算法的收敛性，模型的适用性和通用性，算法效率与误差等。误差等。线性规划线性规划-自来水输送自来水输送生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，生产、生活物资从若干供应点运送到

11、一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大?运输问题运输问题各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少?其他费用其他费用: :450元元/ 103t 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？ 若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？ 元元/ 103t甲甲乙乙丙丙丁丁A160130220170B140130190150C19020023

12、0/引水管理费引水管理费例1 自来水输送收入：收入：900元元/103t 支出支出A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20丁：丁：10；40水库供水量水库供水量小区基本用水小区基本用水量量小区额外用水量小区额外用水量（以天计）（以天计）(103t)(103t)(103t)总供水量：总供水量：( 160 )确定送水方案确定送水方案使利润最大使利润最大问题问题分析分析A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20丁：丁：10；40总需求量总需求量 ( 120) (180) 总收入总收入( 144000 )(元元) 收入：收入：9

13、00元元/ 103t 其他费用其他费用: :450元元/ 103t 支出支出引水管理费引水管理费其他其他支出支出 (72000)(元) 使引水管理费最小使引水管理费最小供应限制供应限制(x11+x12+x13+x14(x11+x12+x13+x14= =5050 x21+x22+x23+x24=60 x21+x22+x23+x24=60 x31+x32+x33=50 x31+x32+x33=50）约束约束条件条件需求限制需求限制( 30( 30 x11+x21+x31x11+x21+x3180807070 x12+x22+x32x12+x22+x321401401010 x13+x23+x33

14、x13+x23+x3330301010 x14+x24x14+x24 50)50) 线性线性规划规划模型模型(LP)目标函数目标函数 min min z z=(160 x11+130 x12+220 x13+170 x14+140 x21+130 x22+190=(160 x11+130 x12+220 x13+170 x14+140 x21+130 x22+190 x23+150 x24+190 x31+200 x32+230 x33)x23+150 x24+190 x31+200 x32+230 x33) 水库水库i 向向j 区的日供水量为区的日供水量为 xij（x34=0）决策变量决策变

15、量 模型建立模型建立 确定确定3个水库向个水库向4个小区的供水量个小区的供水量 模型求解模型求解 部分结果：部分结果：Objective Value: ( 24400 ) Variable Value Reduced Cost X11 0.00 30.0 X12 50.0 0.00 X13 0.00 50.0 X14 0.00 20.0 X21 0.00 10.0 X22 50.0 0.00 X23 0.00 20.0 X24 10.0 0.00 X31 40.0 0.00 X32 0.00 10.0 X33 10.0 0.00利润利润= =总收入总收入- -其他费用其他费用- -引水管理费引

16、水管理费=(47600)（元）（元） A(50)B(60)C(50)甲甲(30;50)乙乙(70;70)丙丙(10;20)丁丁(10;40)5050401010引水管理费引水管理费 (24400 )(元元)目标函数目标函数max max z z=(450=(450* *(x11+x12+x13+x14+x21+x22+x23+x24+x31+x32+x33)-(x11+x12+x13+x14+x21+x22+x23+x24+x31+x32+x33)-(160 x11+130 x12+220 x13+170 x14+140 x21+130 x22+190 x23+150 x24+190 x31+

17、200 x32+230(160 x11+130 x12+220 x13+170 x14+140 x21+130 x22+190 x23+150 x24+190 x31+200 x32+230 x33)x33) 总供水量总供水量(320) 总需求量总需求量(300)每个水库最大供水量都提高一倍每个水库最大供水量都提高一倍利润利润 = 收入收入(900) 其他费用其他费用( (450) 引水管理费引水管理费利润利润(元元/ 103t )甲甲乙乙丙丙丁丁A290320230280B310320260300C260250220/供应供应限制限制B, C 类似处理类似处理50:A14131211xxxx

18、10014131211xxxx问题讨论问题讨论 确定送水方案确定送水方案使利润最大使利润最大需求约束可以不变需求约束可以不变求解求解部分结果：部分结果：Objective Value: Variable Value Reduced Cost X11 0.00 20.0 X12 100.0 0.00 X13 0.00 40.0 X14 0.00 20.0 X21 30.0 0.00 X22 40.0 0.00 X23 0.00 10.0 X24 50.0 0.00 X31 50.0 0.00 X32 0.00 20.0 X33 30.0 0.00运输问题运输问题总利润总利润 (88700) (8

19、8700) （元）（元） A(100)B(120)C(100)甲甲(30;50)乙乙(70;70)丙丙(10;20)丁丁(10;40)4010050305030供应点供应点需求点需求点物资物资供需平衡或不平衡供需平衡或不平衡某货机有三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个货舱所能装载的获取的最大重量和体积都要限制，如表1所示，并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。 表1三个货舱装载货物的最大容许量和体积 现有四种货物供该货机本次飞行装运，其有关信息如表2，最后一列指装运后获得的利润。 表2四种装运货物的信息 应如何安排装运，使该货机本次飞行利润最大？例例.资

20、源分配问题：资源分配问题： 某个中型的百货商场要求售货人员每周工作某个中型的百货商场要求售货人员每周工作5天，连续休息天，连续休息2天，工资天，工资200元元/周，已知对售货人周，已知对售货人员的需求经过统计分析如下表，问如何安排可使员的需求经过统计分析如下表，问如何安排可使配备销售人员的总费用最少？配备销售人员的总费用最少？开始开始( )的人数的人数 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 设决策变量如上，可建立如下模型：设决策变量如上，可建立如下模型：整数规划整数规划min(200*( 1234567)( 45671 18)( 56712)( 67123)( 71234). .( 123

21、45)( 23456)( 34567)(0(1 7)151216191412 izxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxstxxxxxxxxxxxxxxxxi 如果生产某一类型汽车，则至少要生产如果生产某一类型汽车，则至少要生产8080辆，辆， 那么最优的生产计划应作何改变？那么最优的生产计划应作何改变？例1 汽车厂生产计划 汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量. 小型小型 中型中型 大型大型 现有量现有量钢材（钢材（t） 1.5 3 5

22、600劳动时间（劳动时间（h） 280 250 400 60000利润（万元）利润（万元） 2 3 4 制订月生产计划，使工厂的利润最大制订月生产计划，使工厂的利润最大.整数规划整数规划-汽车生产汽车生产设每月生产小、中、大型设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为汽车的数量分别为x1, x2, x3321432maxxxxz600535 . 1t.s.321xxx60000400250280321xxx0,321xxx汽车厂生产计划汽车厂生产计划 模型建立模型建立 小型小型 中型中型 大型大型 现有量现有量钢材钢材 1.5 3 5 600时间时间 280 250 400 60000利润利润 2

23、 3 4 线性规划线性规划模型模型(LP)模型模型求解求解 3）模型中）模型中增加条件增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解均为整数，重新求解. . Objective Value: 632.2581 Variable Value Reduced Cost X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 Row Slack or Surplus Dual Price 2 0.000000 0.731183 3 0.000000 0.003226结果为小数，结果为小数，怎么办？怎么办？1）舍去小数舍去

24、小数：取：取x1=64，x2=167，算出目标函数值，算出目标函数值 z=629，与，与LP最优值最优值632.2581相差不大相差不大.2）试探试探：如取：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，等，计算函数值计算函数值z，通过比较可能得到更优的解，通过比较可能得到更优的解. 但但必须检验必须检验它们是否满足约束条件它们是否满足约束条件. 为什么？为什么？IP可用可用LINGO直接求解直接求解整数规划整数规划( (Integer Programming, ,简记简记IP) )IP 的最优解的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值最优值z=632 max=2*x1+

25、3*x2+4*x3;1.5*x1+3*x2+5*x3600;280*x1+250*x2+400*x360000;gin(x1);gin(x2);gin(x3); Global optimal solution found. Objective value: 632.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X1 64.00000 -2.000000 X2 168.0000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000321432maxxxxz6005

26、35 . 1t.s.321xxx60000400250280321xxx为非负整数321,xxx模型求解模型求解 IP 结果输出结果输出其中其中3个个子模型应子模型应去掉，然后去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：再加上整数约束，得最优解：80, 0, 0321xxx0,80, 0321xxx80,80, 0321xxx0, 0,80321xxx0,80,80321xxx80, 0,80321xxx80,80,80321xxx0,321xxx方法方法1：分解为：分解为8个个LP子模型子模型 汽车厂生产计划汽车厂生产计划 若生产某类汽车，则至少生

27、产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划辆，求生产计划. .321432maxxxxz600535 . 1t.s.321xxx60000400250280321xxxx1, ,x2, x3=0 或或 80 x1=80，x2= 150，x3=0，最优值，最优值z=610LINGO中对中对0-1变量的限定：变量的限定： b i n ( y 1 ) ; b i n ( y 2 ) ; bin(y3);方法方法2：引入引入0-1变量，化为整数规划变量，化为整数规划 M为大的正数为大的正数, ,本例可取本例可取1000 Objective Value: 610.0000 Variable Va

28、lue Reduced Cost X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划辆，求生产计划. .x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 801 , 0,80,11111yyxMyx1 , 0,80,22222yyxMyx1 , 0,80,33333yyxMyx最优解同前最优解同前 max=

29、2*x1+3*x2+4*x3;1.5*x1+3*x2+5*x3600;280*x1+250*x2+400*x30;x2*(x2-80)0;x3*(x3-80)0;gin(x1);gin(x2);gin(x3);方法方法3：化为非线性规划化为非线性规划 非线性规划非线性规划（Non- Linear Programming，简记简记NLP） 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划辆，求生产计划. . x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 800)80(11xx0)80(22xx0)80(33xx最优解同前最优解同前.一般地，整数规划和非一般地，整

30、数规划和非线性规划的求解比线性线性规划的求解比线性规划困难得多，特别是规划困难得多，特别是问题规模较大或者要求问题规模较大或者要求得到全局最优解时得到全局最优解时. 汽车厂生产计划汽车厂生产计划 决策变量为整数决策变量为整数, 建立建立整数规划模型整数规划模型.如果线性规划中的所有变量均为整数时，称这类问题为线如果线性规划中的所有变量均为整数时，称这类问题为线性整数规划问题。性整数规划问题。 整数规划可分为线性整数规划和非线性整数规划整数规划可分为线性整数规划和非线性整数规划 ，以及，以及混合整数规划等。混合整数规划等。 求解整数规划和非线性规划比线性规划困难得多求解整数规划和非线性规划比线性

31、规划困难得多 (即便用即便用数学软件数学软件) . 当整数变量取值很大时当整数变量取值很大时, 可作为连续变量处理可作为连续变量处理, 问题问题简化为简化为线性规划线性规划. 对于类似于对于类似于“x=0 或或 80”这样的条件，通常这样的条件，通常引入引入0-1变量变量处理，处理，尽量不用非线性规划（特别是引入的整数变量个数较少时）尽量不用非线性规划（特别是引入的整数变量个数较少时）.非线性规划非线性规划非线性规划问题的一般数学模型：非线性规划问题的一般数学模型：其中，其中， ， 为目标函数，为目标函数， 为约束函数，这些函数中至少有为约束函数，这些函数中至少有一个是非线性函数。一个是非线性

32、函数。min( ). .( )0,1,2,( )0,1,2, .ijf xstg ximh xjlnEx)(xf)(),(xhxgji应如何安排原油的采购和加工应如何安排原油的采购和加工 ？ 例2 原油采购与加工 市场上可买到不超过市场上可买到不超过1500t t的原油的原油A： 购买量不超过购买量不超过500t t时的单价为时的单价为10000元元/t/t； 购买量超过购买量超过500t t但不超过但不超过1000t t时，超过时，超过500t t的的 部分部分8000元元/t/t； 购买量超过购买量超过1000t t时，超过时，超过1000t t的部分的部分6000元元/t. /t. 售价

33、售价4800元元/t 售价售价5600元元/t库存库存500t 库存库存1000t 汽油甲汽油甲(A 50%) 原油原油A 原油原油B 汽油乙汽油乙 (A 60%) 决策决策变量变量 目标目标函数函数问题问题分析分析 利润：销售汽油的收入利润：销售汽油的收入 购买原油购买原油A的支出的支出. . 难点：原油难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂的购价与购买量的关系较复杂. .)()(6 . 5)( 8 . 4max22122111xcxxxxz甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) 购买购买xx11x12x21x224.8千元千元/t 5.6千元千元/t原油原油A的购买量的购买量, ,

34、原油原油A, B生产生产汽油汽油甲甲,乙的数量乙的数量c(x) 购买原油购买原油A的支出的支出利润利润(千元千元)c(x)如何表述？如何表述？原油供应原油供应 约束约束条件条件xxx500121110002221 xx1500 x500)1(1000 300061000)(500 1000 8500)(0 10)(xxxxxxxc x 500t t单价为单价为10千千元元/t/t； 500t t x 1000t t，超过，超过500t t的的8千千元元/t/t；1000t t x 1500t t，超过，超过1000t t的的6千千元元/t. /t. 目标目标函数函数购买购买x A B x11x

35、12x21x22库存库存500t 库存库存1000t 目标函数中目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；不是线性函数，是非线性规划； 对于用分段函数定义的对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软，一般的非线性规划软件也难以输入和求解；件也难以输入和求解； 想办法将模型化简，用现成的软件求解想办法将模型化简，用现成的软件求解. . 汽油含原油汽油含原油A的比例限制的比例限制 5 . 0211111 xxx6 . 0221212 xxx2111xx 221232xx 约束约束条件条件甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) x11x12x21x22x1 , x2 , x3 以价

36、格以价格10, 8, 6(千元千元/ /t)t)采购采购A的吨数的吨数目标目标函数函数 只有当以只有当以10千元千元/t t的价格购买的价格购买x1=500(t)(t)时，才能以时，才能以8千千元元/t t的价格购买的价格购买x2方法方法1 )6810()( 6 . 5)( 8 . 4max32122122111xxxxxxxz500,0321xxx非线性规划模型非线性规划模型，可以用，可以用LINGO求解求解模型求解模型求解x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 500t t x 1000t t，超过，超过500t t的的8千千元元/t/t增加约束增加约束0)50

37、0(21xxx= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 0)500(32xx类似地有类似地有方法方法1：LINGO求解求解Model:Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;x11+x12 x + 500;x21+x22 0; 2*x12 - 3*x22 0;x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; x1 500;x2 500;x3 500;end Local optimal solution found. Objectiv

38、e value: 4800.000 Total solver iterations: 14 Variable Value Reduced Cost X11 500.0000 0.000000 X21 500.0000 0.000000 X12 0.000000 0.2666667 X22 0.000000 0.000000 X1 0.000000 0.4000000 X2 0.000000 0.000000 X3 0.000000 0.000000 X 0.000000 0.000000LINGO得到的是局部最优解得到的是局部最优解, ,还能得到更好的解吗？还能得到更好的解吗？ 用库存的用库存

39、的500t t原油原油A、500t t原原油油B生产汽油甲，不购买新的生产汽油甲，不购买新的原油原油A，利润为，利润为4800千千元元. . 方法方法1：LINGO求解求解计算全局最优解计算全局最优解 ：选选LINGO|Options菜单；菜单；在弹出的选项卡中选择在弹出的选项卡中选择“Global Solver”；然 后 找 到 选 项然 后 找 到 选 项 “ U s e Global Solver”将其选中；将其选中；应用或保存；重新求解。应用或保存；重新求解。 Global optimal solution found. Objective value: 5000.000 Extend

40、ed solver steps: 1 Total solver iterations: 43 Variable Value Reduced Cost X11 0.000000 0.000000 X21 0.000000 0.900000 X12 1500.000 0.000000 X22 1000.000 0.000000 X1 500.0000 0.000000 X2 500.0000 0.000000 X3 0.000000 0.000000 X 1000.000 0.000000 购买购买1000t原油原油A，与库存的，与库存的500t原油原油A和和1000t原油原油B一起，共生产一起，

41、共生产2500t汽油乙，利润为汽油乙，利润为5000千元千元 . . 多目标规划多目标规划引例引例1.投资问题投资问题 某公司在一段时间内有某公司在一段时间内有a(亿元亿元)的资金可用于建厂投资。的资金可用于建厂投资。若可供选择的项目记为若可供选择的项目记为1,2,m。而且一旦对第。而且一旦对第i个项目投个项目投资就用去资就用去ai亿元；而这段时间内可得收益亿元；而这段时间内可得收益ci亿元。问如何亿元。问如何确定最佳的投资方案？确定最佳的投资方案？1i0iix对第 个项目投资不对第 个项目投资 最佳投资方案：投资最少，收益最大！最佳投资方案：投资最少，收益最大！投资最少：投资最少：1121m

42、in( ,.,)mniiif x xxa x2121max( ,.,)mniiifx xxc x约束条件为：约束条件为：1(1)0,1,2,.miiiiia xaxxim收益最大：收益最大：引例引例2：生产问题：生产问题 某工厂生产两种产品，产品某工厂生产两种产品，产品A每单位利润为每单位利润为10元，而元，而产品产品B每单位利润为每单位利润为8元；产品元；产品A每单位需每单位需3小时装配时间小时装配时间而而B为为2小时，每周总装配有效时间为小时，每周总装配有效时间为120小时。工厂允许小时。工厂允许加班，但加班生产出来的产品利润要减去加班，但加班生产出来的产品利润要减去1元。根据最近元。根据

43、最近的合同，厂商每周最少的向用户提供两种产品各的合同，厂商每周最少的向用户提供两种产品各30单位。单位。要求：要求：必须遵守合同；必须遵守合同；尽可能少加班；尽可能少加班；利润最大。利润最大。问应怎样安排生产？问应怎样安排生产？x1：每周正常时间生产得：每周正常时间生产得A产品的数量；产品的数量；x2：每周加班时间生产得：每周加班时间生产得A产品的数量；产品的数量；x3：每周正常时间生产得：每周正常时间生产得B产品的数量；产品的数量；x4：每周加班时间生产得：每周加班时间生产得B产品的数量；产品的数量；目标函数（有两个）：目标函数（有两个）：1234max10987xxxx24min32xx1

44、234133030. .321200,1,2,3,4ixxxxstxxxi丁的蛙泳成绩退步到丁的蛙泳成绩退步到115”2；戊的自由泳成绩进；戊的自由泳成绩进步到步到57”5, 组成接力队的方案是否应该调整组成接力队的方案是否应该调整？如何选拔队员组成如何选拔队员组成4 4 100100米混合泳接力队米混合泳接力队? ?混合泳接力队的选拔 甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳自由泳58”653”59”457”2102”45名候选人的名候选人的百米成绩百米成绩目标目标函数函数若选择队员若选择队员i参加泳姿参加泳姿j 的比赛，记的比赛，记xi