(完整)高中微积分基本知识

1、高中微积分基本知识第一章、 极限与连续一、数列的极限1数列 定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数x1,K ,xn,L 叫数列，记作 xn ，并吧每个数叫做数列的 项，第 n个数叫做 数列 的第 n 项或通项 界的概念：一个数列 xn ，若 M 0 ， s.t. 对 n N* ，都有 xn M ，则称 xn 是有界的： 若不论 M 有多大，总 m N* ， s.t. xm M ，则称 xn 是无界的若 a xn b，则 a称为 xn的下界 ，b 称为 xn的上界xn 有界的充要条件： xn 既有上界，又有下界2数列极限的概念定义：设 xn 为一个数列， a为一个常数，若对0，总 N, s.

2、t. 当n N 时，有xn a 则称 a 是数列 xn 的极限 ，记作 lim xn a 或 xn a(n )n 数列有极限时，称该数列为 收敛的，否则为 发散 的 几何意义：从第 N 1项开始， xn 的所有项全部落在点 a的 邻域 (a ,a ) 3 数列极限的性质 唯一性 收敛必有界 保号性：极限大小关系 数列大小关系( n N 时)二、函数的极限1. 定义：两种情形 x x0 ：设 f ( x) 在点 x0 处的某去心邻域内有定义， A 为常数，若对 0 ，0 ， s.t. 当 0 x x0 时，恒有 f ( x) A 成立， 则称 f ( x) 在 x x0 时有 极限 A 记作 l

3、im f(x) A或 f (x) A(x x0)x x0几何意义 ：对 0， 0 ， s.t. 当0 x x0时， f(x) 介于两直线 y A单侧极限 ：设 f(x) 在点 x0处的右侧某邻域内有定义， A为常数，若对 0，0 ，s.t. 当 0 x x0 时，恒有 f (x) A 成立，称 f (x) 在 x0处有右极限 A ， 记作 lim f (x) A或 f (x0 ) Ax x0lim f(x) A的充要条件为： f(x0) f (x0)=Ax x0垂直渐近线： 当lim f(x) 时， x x0为 f (x) 在 x0处的渐近线x x0 x ：设函数 f (x) 在 x b 0

4、上有定义， A为常数， 若对 0， X b, s.t.当 x X 时，有 f (x) A 成立，则称 f (x) 在 x 时有极限 A，记作lim f(x) A或 f (x) A(x )xlim f(x) A的充要条件 为： lim f(x) lim f (x) A水平渐进线 ： 若 lim f(x) A或 lim f(x) A，则 y A是 f(x) 的水平渐近线xx2. 函数极限的性质：唯一性 局部有界性 局部保号性(在当 0 x x0时成立)三、极限的运算法则1四则运算法则设 f(x)、g(x)的极限存在 ，lim f(x) A,lim g(x) B则 lim f ( x) g( x)

5、A B lim f (x) g(x) AB lim f (x) A (当 B 0 时)g( x) B lim cf (x) cA ( c 为常数) lim f (x)k Ak (k 为正整数 )2复合运算法则设 y f ( x) ，若 lim (x) a，则 lim f (x) f (a)x x0x x0可以写成 lim f (x) f lim (x) (换元法基础)x x0x x0四、极限存在准则及两个重要极限1极限存在准则夹逼准则设有三个数列 xn ， yn ， zn ，满足yn xn zn ，单调有界准则lim ynnlim zn na则 lim xn a n有界数列必有极限3重要极限s

6、in x lim 1 lim 11xe1或 lim 1 x x ex 0 xxxx0五、无穷大与无穷小1无穷小：在自变量 某个变化过程中 limf(x)0，则称 f (x) 为 x 在该变化过程中的无穷小 若 f(x) 0，则 f(x)为 x在所有变化过程中的无穷小若 f (x) ，则 f(x) 不是无穷小性质：1. 有限个无穷小的代数和为无穷小2. 常量与无穷小的乘积为无穷小3. 有限个无穷小的乘积为无穷小4. 有极限的量与无穷小的乘积为无穷小5. 有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理： lim f(x) A的充要条件 是 f (x) A (x)，其中 (x)为 x 在该变化中过程中的无穷小

7、无穷小的比较： (趋于 0 的速度的大小比较 )(x),(x) ，为同一变化过程中 的无穷小若 limc( c 0常数)则是的同阶无穷小(当 c 1时为等价无穷小 )若 limk c( c 0 常数)则是的 k 阶无穷小若 lim0则是的高阶无穷小常用等价无穷小： ( x 0) x: sin x: tanx: arcsin x : arctan x : ln(1 x) : ex 1；21 cosx:；(1 x) 1: x； ax 1: xlna22无穷大：设函数 f(x) 在 x0 的某去心邻域内有定义。若对于 M 0 ， 0 s.t. 当0 x x0时，恒有 f ( x) M称 f (x)当

8、 x x0时为无穷大，记作 lim f (x)x x 0无穷大定理 ：lim f (x)无穷小lim f(x)为无穷小下：趋于某点，去心邻域不为 0)lim f(x)为无穷大 无穷大的乘积为无穷大， 其和、差、商不确定六、连续函数1定义设函数 y f ( x)在x0某邻域有定义，若对0，0 s.t. 当0 x x0时，恒有： f(x) f (x0)也可记作 lim f (x) f (x0 ) 或 lim y 0x x0x 0f(x0) f (x0) (或 f (x0 ) f(x0) )为左(或右)连续2函数的间断点第一类间断点：左右极限存在左右极限相等，该处无定义左右极限不等可去间断点跳跃间断

9、点第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等 3. 连续函数的运算 若函数 f(x)与g(x)都在 x处连续，则函数f ( x)f(x) g(x)， f(x)g(x)， gf(xx) (g(x) 0)f (g) 在u0处连续，则定理： y f g(x) ， g (x0) u0 ，若 g(x) 在 x0 处连续，y fg(x)在 x0处连续4闭区间连续 函数的性质 最值定理： f (x) 在a,b 上连续， 则 x1,x2，对一切 x a,b有f (x1) f (x) f (x2)介值定理： f(x)在a,b上连续，对于 f (a)与 f (b)之间的任何数 u，至少 一点s.t. f ( ) u章

10、、导数、导数的概念定义：设函数 yf (x) 在点 x0 的某邻域有定义，如果极限lim f (x0 x) f (x0) x0存在，则称函数 y f ( x) 在点x0可导，极限值为函数 y f (x)在点 x0处的导数，记为 f '(x0)单侧导数：设函数 y f (x)在点x0处的左侧 (x0 , x0 有定义，若极限lim f (x0x) f (x0)x0存在，则称此极限为函数y f ( x) 在点 x0 处的 左导数， 记为 f '(x0) ，类似有 右导数 f '( x0)导函数：函数 y f (x) 在某区间上可导，则' f (x x) f ( x)

11、 f (x) limx 0 x性质：函数 y f(x)在点 x0处可导的充要条件 f'(x0) f'(x0) 可导 连续导数的几何意义： 函数点处的切线斜率二、求导法则 1函数的和、差、积、商的求导法则定理：若 u u(x),v v(x)都在 x处可导，则函数 u(x) v(x)在 x处也可导，且u(x) v(x) ' u'(x) v'(x)定理：若 u u(x),v v(x)都在 x处可导，则函数 u(x)v(x)在 x处也可导，且u(x)v(x) u v uv推论：若 u1,K ,un都在 x处可导，则函数 u1u2L un在x处也可导，且u1u2L

12、 un u1u2L un u1u2 L un L u1u2L un定理：若 u u(x), v v(x) 都在 x 处可导 ，则函数 u(x) 在 x 处也可导，且 v(x)u(x) u v uvv( x)v22反函数的求导法则 定理：设函数 x g (y)在I y上单调可导 ，它的值域为 Ix，而 g'(y) 0 ，则其反函数1y g 1(x) f (x)在区间 Ix 上可导，并且有f '( x)g ( x)4 复合函数的求导法则定理：若函数 u (x)在 x0可导，函数 y f(u)在点 u0(x0)可导，则复合函数y f ( (x) 在 x0 处可导 f ( (x)

13、9; f '( (x) '(x)三、高阶导数或 dy dy gdu(连锁规则)dx du dx定义：若函数 y f (x) 的导数 yf ' (x )仍可导，则 y' f '(x)导数为 y f(x) 的二阶导数，记作 y", f"(x),d 2ydx类似的，有 n阶导数 y(n), f(n)(x),ndydxn四、隐函数求导对于Fx,y(x) 0 ,或F x, y(x) Gx,y(x) ，若求 dy dx 求导法：方程两侧对 x 求导 微分法：方程两侧求微分公式法： dyFx' ，将方程化成 Fx,y=0，将 F 看成关于

14、x,y 的二元函数，分dx Fy别对 x,y 求偏导 Fx', Fy'五、参数方程所确定的函数求导x (t)dy dy dt dy dx' (t) yt'， g / ' ' y (t)dx dt dx dt dt' (t) xt'导数公式 基本函数： C' 0(x )' x(ax)' ax ln a(loga x)'1xlna(sin x)'cosx(cos x) 'sin x(cot x)'2 csc x(sec x) 'secxtanx(csc x)(arcsin

15、 x)(arccos x )(arctanx)(arccot x)'csc x cot x111 x211 x2导数运算法则 : (u v)' u' v(Cu)' Cu(uv) uv uv(u v)(n) u(n) v(n)高阶导数Cf(ax b)(n) Canf (n)(ax b)(u)'vuv uvv2n (m) m n m *(xn)(m)Anmxn m,(n N* )若m n,则 0x (n) x n (a ) a ln a(sin x)(n) sin(x n )1. o(xn 1) o(x)xn2.lixm0f(x)f (x0)x x0(uv)

16、(n)nkCnuk0(n)1)n(n k )v(k)n!(loga x)(n)(cos x)( n)( 1)ncos(x1 (n 1)!xn lnaf '( x0 ) ，需补充条件 f(x)在 x0处可导或该极限存在第三章、微分一、微分的概念定 义 ： 设 函 数 y f(x) 在 某 区 间 I 上 有 定 义 ， x0,x0 x I ， 若 y f (x0 x) f (x0) 可表示为y A x o( x) (其中 A与 x无关)，则称 A x为 y在x0处 的微分，记作 dy A x dy与 y 的区别：当 y 为自变量时， dy y当 y 为因变量时， dy y ， y dy

17、o( x) ， dy 为 y 的线性主部 定理：对于一元函数 y f (x) ， 可导 可微 性质：一阶微分形式不变性，对于高阶微分 dny f (n)(x)(dx)n二、微分的几何意义“以直代曲” 三、微分中值定理中值定理条件结论Rollea,b 上连续,(a,b)上可导, f (a) f (b)至少存在一点 ，使得f '( ) 0Lagrangea,b 上连续 , (a,b) 上 可导f (b) f (a) f '( ) baCauchy a,b 上连续 , (a,b) 上可导， g'(x) 0f(b) f (a) f '( ) g(b) g(a) g

18、9;( )有限增量定理： y f ' (x x) x (0 1) L, Hospital 法则：0 型 未 定 式 定 值 法 ： f (x), g(x) 在 x0 的 某 去 心 邻 域 有 定 义 ， 且 00lim f(x) lim g(x) 0， f(x),g(x)在 x0的某去心邻域可导，且 g'(x) 0x x0x x0lim f ''(x)A，则有 lim f ( x)f ' (x) lim 'x x0 g '( x)x x0 g( x)x x0 g '(x)， 0g ， 1 ，00，0类似四、函数的单调性与极值1.

19、 单调性：定理：设函数 y f (x)在a,b 上连续，在 (a,b)上可导，则导数符号原函数单调性f '( x) 0Zf '( x) 02. 极值定义：设函数 y f(x)在点 x0某邻域有定义，若对该邻域内一切 x都有f (x0) f (x)则 f (x0)是函数 f (x) 的一个极大值 ，点x0为函数 f(x) 的一个极大值点 。(极小值类似)函数取得极值的一阶充分条件函数 y f(x)在点 x0去心邻域可导 ，且在 x0处可导或导数不存在， 则：当 xx0 时，f '( x)0，xx0时，f ' ( x)0 ，则f (x0) 是极大值当 xx0 时，f

20、 '( x)0，xx0时，f ' ( x)0，则f ( x0 ) 是极小值无论x x0 还是 xx0 ，总有f '( x)0 (或f ' ( x)0)，则 f (x0) 不是极值函数取得极值的二阶充分条件函数 y f(x)在点 x0处具有二阶导数，且 f'(x0) 0， f"(x0) 0，则若 f"(x0) 0，则 f (x0)是极小值若 f "(x0) 0，则 f (x0 )是极大值 第四章、不定积分 一、不定积分的概念和性质1. 原函数与不定积分 原函数：设 f(x)在I 上有定义，若对 x I ，都有F'(x)

21、 f(x) 或 dF(x) f (x)dx则称 F(x)为 f(x)在I 上的一个原函数原函数存在定理：若函数 f(x)在I 上连续，则在 I 上 可导函数 F (x) ，s.t. 对 x I ，都有 F'(x) f (x)。即连续函数一定有原函数不定积分：设 F(x)使 f ( x)的一个原函数， C 为任意常数，称 F(x) C为 f(x)的不 定积分，记作f ( x)dx F ( x) C 几何意义：积分曲线族2. 不定积分的性质： 积分运算与微分运算为互逆运算 f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx kf (x)dx k f (x)dx k 0二、换元积分法1.

22、 第一类换元积分法定理：设 f (u)有原函数，且 u (x)具有连续导数 ，则 f (x) '(x)有原函数f (x) '(x)dx f (u)du2. 第二类换元积分法定理：设 f(x)连续， x (t)具有连续导数，且 '(t) 0，则f(x)dx f (t) '(t)dt ，其中 t1(x)三、分部积分法uv'dx uv u'vdx四、有理函数的积分1. 简单有理函数的积分将真分式 P (x) 分解为 部分分式 之和Q(x)对于 Q(x)(xa)k形式：应分解成 k 个部分分式 xA1a,(xA2a)2L (xAka)k对 于 Q (x)

23、 (x2 px q)l应分解成l个部分分Cl x Dl(x2 px q) lC1 x D1 C 2 x D 2 x2 px q ,(x2 px q)2 L 求 4 种积分dx ， xa(x1ka)dx，Cx D2 dx ， x px qCx D2 l dx ( x2 px q)l其中，对于2 Cx D p 4q p 2 l dx ，可令 t x ， a (x2 px q)l2 4则2Cx(xl dx 2 1 px q )(t a2 l dt ，再利用 递推法2. 三角函数有理式的积分sin x万能变换： tan x2u，cos x2u1 u21 u 21 u 2， dx22 du1 u 2其他

24、方法：形式换元f (sin x,cos x) f ( sin x,cos x)t cosxf (sin x,cos x) f (sin x, cos x)t sin xf (sin x,cosx) f ( sinx, cosx)t tan x二、 tann xdx 与 cotn xdx n N对于 tann xdx令 t tanx对于 cotn xdx令 t cot x、 secn xdx 与 cscn xdx n 为偶数 对于 secn xdx令 t tanx对于 cscn xdx令 t cotx四、 sinm xcosn xdx1将其转化当 n,m 至少有一个为 奇数 时，可利用 sin

25、dx arctan x C1 x2 x cos2 x当 n,m 均为偶数时，利用 2 倍角转化a1 sinx b1 cosx1 1 dx asinx bcosx令 (1a14sin44x2 b41 c4os43x) A(1as4in4x2 b4c4os3x) B(acosx五、bsin x)解出 A,B分母分子分母原函数为 Ax B ln|1a s4in4x2 b4c4os3x |kdx kx CaxdxCln atan xdx ln cosxxndx1 nn1 x1C (n 1)1dxxsin xdxcosxCcos xdxcot xdxlnsin xCsecxdxln secx积分表ln

26、x Csin xtanxCtanxcsc2 xdxcscxdx ln cscx cotx2sec xcotxsecx tan xdx secx Ccscx cot xdx cotx1 dx arcsin x1 x2x21x11xaaarctan C2 2 dxlnaaxa2axaC2 dx a21x dx arcsin a2 x2a1dx22 xaln22xa第五章、定积分一、定积分的定义定义：设函数 f (x) 在a,b 上有界，在 a, b 内任意插入 n-1 个分点a x0 x1 Lxn 1xn b把a,b分成 n 个小区间， xi 1,xi(i 1,2,L ,n). 记 xi xi x

27、i 1，在第 i个区间上n任取一点 i ，用 f ( i ) 乘上区间长度 xi ，即 f ( i ) xi ，并作和f ( i ) xi .i1记 max x1, x2,L , xn ，无论怎么分割，无论怎么取 i，若 0 时，f( i)i1xi 趋于同一极限，则称此极限为bf(x) 在a,b上的定积分.记作 f (x)dx af (x)dxnlim0 f ( i ) xi 0i1可积定理：函数 f (x) 在a,b 上连续函数 f (x) 在 a,b上有界，且仅有有限个第一类间断点函数 f (x) 在 a,b上单调有界二、定积分的性质bb kf (x)dx k f(x)dxaab a f

28、(x) g(x)dxf (x)dx ag(x)dxcf (x)dxabf (x)dxcb区间可加性f (x)dxabbb Cdx (b a)C 单调性 : 若a,b上 f(x) g(x) 则 f(x)dx g(x)dx aaabb f(x)dx f (x)dxaa 估值性质：设 M ，m 分别为 f(x) 在a,b 上的最大值与最小值，则bm(b a) f(x)dx M (b a)a 定积分中值定理：若 f (x)在a,b上连续，则在区间 a,b上至少存在一点 , s.t.f (x)dxf ( )(b a)01b f (x)在a, b上的平均值为f (x)dxb a aa a a 若 f (x

29、) 为奇函数，f (x)dx 0 ；若为偶函数f (x)dx 2 f (x)dx 2 f (sin x)dx 2 f (cosx) dxxf (sin x)dxf (sin x)dxf(x) 为周期函数，af(x)dxT0 f (x)dxT2T f (x)dx2nTf (x)dxTn 0 f(x)dx三、微积分学基本定理1. 变上限函数x(x) f (t)dt x a,ba定理：若 f ( x)在a,b上连续，则变上限函数 可导， '(x) f (x)2. 原函数存在定理若 f (x)在a, b上连续，则函数 (x)是 f (x)在a,b上的一个原函数3. Newton-Leibniz 公式(微积分基本定理) f (x)在a,b上连续， F(x)是 f (x) 在