2020年上海新高一新教材数学讲义-专题14函数(学生版)

1、专题14函数（函数的概念，函数的表示方法）知识梳理一、函数的概念1、函数定义:泄义一：如果在某个变化过程中有两个变疑x,对于x在某个范围D内的每一个确泄的值按照某种对 应法则/,都有唯一的值与它对应，那么y就是的函数，记作y=f（x）, x叫做自变疑，x的取值范 围d叫做函数的左义域，和x的值相对应的）'的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.泄义二：非空数集A到非空数集B的一个对应关系/： AtB,使A中每一个元素在B中都有唯一-确定 的元素和它对应，那么对应关系/：叫做A到3的函数，记作y = /（x），其中xwA, yeB, x叫做自变量，x的取值范囤A叫做函数的左义域，和尤

2、的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合C叫 做函数的值域.（一般有Cg3）注意：1、函数泄义中要求对左义域中的任何一个x,在值域中有且只有一个'值和它对应；但并不要求对 于值域中的每一个y也只能有一个x和它相对应，即函数的对应法则可以是1对1,也可以多对1,但不可 以1对多（即定义域中一个对应值域中一个以上的歹）.2、左义域与值域都必须是非空数集.3、泄义域的表示方法有：集合表示法、区间表示法2函数的三要素： 定义域、 值域 和 对应关系确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数左义域为全体实数：（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零：（3）关系式含有二次根式时，被开放方数

3、大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数泄义域还要和实际情况相符合，使之有意义。3相等函数：如果两个函数的 定义域 和 对应关系 完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函 数相等的依据.注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数V = A和y = x + l,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数，看两个函数是否 相等，关键是看定义域和对应关系）4函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法 、 图象法 、 列表法函数解析式的求法主要包含：配凑法、待定系数法、换元法、赋值法（方程组法）5函数的定义域、值域：在函数V = /（A

4、：）, xgA,中，x叫做自变量，x的取值范囤A叫做函数的 定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合/ （x） IX w A叫做函数的 值域（1）函数的立义域包含三种形式：:自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范囤（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数 的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；二限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这 种限制比较隐蔽，容易犯错误：二实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。（2）求抽象函数的怎义域的时候，注意左义域指的是自变呈:x的取值范羽，注意等量关系

5、是括号内的取值范用保持恒等不变（2）常见简单函数的值域求法：二配方法（将函数转化为二次函数）；判别式法（将函数转化为二次方程）：:不等式法，主要运用于分式函数（运用不等式的各种性质）：二数形结合法（将函数的值域问题转化为画函数图像）。6分段函数若函数在英定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的立义域等于各段函数的泄义域的并集，苴值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。二、函数关系的建立建立变量间的函数关系大致上应分为两个基本步骤，第一，是确左苴中的自变量和因变量；第二，则 是依据现实世界的客观规律抽象槪

6、括出因变量与自变量之间的关系并根据实际背景确立函数的定义域三、函数的运算函数的和：设函数y = f0）0 edJ, y = g（x）（xe p2）,则y = f（兀）+ed1（ dJ称为函数y = fG）与y = g（戈）的和:其中n d2 0。函数的积：设函妙=f0）0 £ DJ, y = （x）（xGP2）,则y =Ax）-（x）（rt eDiOPz）称为函数y = f 0）与y = ?0）的积，其中久n »2工0。在高中数学学习中，我们常常会碰到形如y = ax + -a > 0,b > 0）的函数，我们称这样的函数为“耐克X函数"，它是正比例函

7、数与反比例函数的和函数，一种类似于反比例函数的重要的函数之一，它的性质及图 像有十分鲜明的特征和规律，英图像形如两个中心对称的对勾，故又名对号函数、对勾函数，在实际问题 中有着广泛的应用.L 耐克函数的一般形式是：f(x) = x + -伙>0)X 定义域是:什工。 值域是：|y|y < -2yky > 2yk 当兀>0时，x = 4k，有最小值2联; 当XV 0时，x = -VT,有最大值-2仮一、函数的概念【例1】下列图像中，是函数图像的是()【例2】下列式子能确左y是x的函数的有()二 X" +)厂=2二 y/x + yjy 1 = 1Zy= Jx_2

8、+ J -XA、0个B、1个C、2个D. 3个【例3】已知函数尸f (x),则对于直线x=a (a为常数)，以下说法正确的是()A. y=f(X)图像与直线x=a必有一个交点B.尸f (x)图像与直线没有交点C.尸f (x)图像与直线x=a最少有一个交点D.y=f (x)图像与直线x=a最多有一个交点【例4】下列各组函数中，哪一组是同一函数:(1)/(A-) = >/P*与 g(x) = (77)；(2) f(x) = 2x与g(x) = 2(x + l)；(4) /(x)=|x| 与 g(/) =护 /（x） = l 与 g（x）h。：（6）心）=卜|与=；：%(7) /(x) = x

9、 + l 与 g(x)= =x-1(8) f(x) = x 与 g(x) = M?【例5】设A = x|-l<x<lt B = y|-l<y<l,下而图像所示的x与V的对应关系哪一个是A到3的 函数关系（）S)(町(C)(D)【例6】作出下列函数的图象:4-x2-x2 -1(-2 < x < 0)(0 < x < 2) y = |x2 +2x|-3)2+1 (%>0)【例 7】若函数 /(x) =丿龙 (x = 0),则/(/(/(-2008) =o (X < 0)【例8】求下列函数的左义域:fM =)21l&一2尤-15D，

10、=|.v + 3|-3 y = +(2x-l)° + 4-x21+丄x-1(5)/(x) = 1 +二(6) f(X)=y/5-X+ 2-x【例9 (1)已知函数/(x)的左义域为0.4,求函数y = /(x + 3) + /(x2)的左义域为(2) 若函数/(x + 1)的宦义域为一2, 3,则函数/(2a-1)的立义域是；函数/(丄+ 2)X 的定义域为O【例10】周长为定值。的扇形，它的面积S是这个扇形半径R的函数，则函数定义域为o【例11】函数=y = j2-6X+R + 8的左义域为R,则&的取值范围是【例12】已知/(小=/用+47心+ "-2,若/(x

11、)的图像关于平而上任意一条直线对称所得的图像，仍然是一个函数的图像，则“ =.【巩固训练】1.下列曲线中，可以表示函数y = fM的图像的是()y（力）©9）A:B.C.D口3.已知函数/（x） =,那么 /+/+/（I）+/+/（!）+/+/（I）=4.若函数/的左义域为-2,2,则函数/（J7）的定义域是3/q 丫 _ 5.已知函数/（X）=的定义域是/?,则实数“的取值范围是* + ax-36.已知函数fM = <x2 + 4x9 x>04x x2,x<0若/（2-/） > f（a则实数"的取值范围是l(x>0)7. 泄义符号函数sgn=

12、<O,(x = O),求不等式(x + 2)>(2x-l)ssnx的解集.一1心<0)8. 函数/对于任意实数x满足条件/(x+2) = 右，若/(1) = -5,求/(/(5)9. 下列四个命题(1) f(x)= Jx _ 2 + VT二有意义；(2) /(x)表示的是含有x的代数式(3) 函数y=2x(xwN)的图象是一直线：Y Y > 0 '"的图象是抛物线，其中正确的命题个数是()-x2,a < 0A1B2C3D0二、函数解析式的求解【例13】求下列函数的解析式:(1) 若 /(石+ 1)=/ + 2石,求/(x)(2) 已知/)是一次函

13、数，且满足3/(x + l) 2/(xl) = 2x+17.求/(力(4)已知于(x)满足关系式/(x) + 2/(f求/(x)已知函数/(x + l) =2x + 33x 45!'J/W =【例 14】已知 f(x) = yg(x) = y 且/(g(x) =求gb、c 的值.x + 2x + cx【例15】已知二次函数f(x) = ax1+bx ("、为常数且dHO),满足条件f(-x+5) = f(x-3),且方 程f(x) = x有等根.(1) 求/(x)的解析式：(2) 是否存在实数加，使/(x)的定义域和值域分别为加,和3加,3川，如果存在，求岀皿 的值；如果不存

14、在，请说明理由.【巩固训练】1. 己知 g(x) = 1 -2.r,/(x) =(XHO),求/(；)f22. 根据下列条件，求函数/(x)的解析式；(1) 已知/'(¥)是一次函数，且满足3/(x+l)-2/(x-l) = 2r+17；(2) 已知/” +丄卜疋+丄：(3) 已知等式f(x-y) = f(x)-y(2x-y+)对一切实数x、，都成立，且/(0) = 1；已知函数/(兀)满足条件2/(x) + /=3x对任意不为零的实数x恒成立3.已知/(") = <6 + 厶n <9.求/(10)和/(12)的值，并猜测使得f(n) = n成立的的取值

15、范围.4.已知函数/(x-1)2 = 3x2-6a- + 4,则函数/(x+l) =5.下列函数中，不满足/(2x) = 2/(x)的是()A. fM = x B. f(x) = x-x C f(x) = x + lD f(x) = -x6若 /(x) = 2x2+1, g(x) = x-l,求 fg(x), gf(x)7.已知二次函数/(x)满足/(-l) = 0,且x<f(x)<-(x2+l)对于一切实数x恒成立，求/：(2)求 2/(X)的解析式：三、函数关系的建立【例16】用长为30cm的铁丝国成矩形，试将矩形而积S (c/»2 )表示为矩形一边长x(c”)的函数

16、。【例17】某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评诂 在生产条件不变的条件下，爷戦缺二，川罔丙坝F审爷年可爭即咚°:°1.歹牙，但每年需付给下岗工人 0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的人数，设该企业裁员x人后年收益为y 万元。写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围：【例18】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价泄为60元，该厂为鼓励销售商订购，决 泄当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的岀厂单价就降低0.02元，但实际岀厂单价不能低于51元（1）当一次订购量为多少

17、时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际岀厂单价为P元，写岀函数P=f（x）的表达式（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少？如果订购1000个，利润又是多少？（利 润二单价成本）【例19】某工厂有一面长14米的旧墙,现在准备利用这而墙建造平面图为矩形的而积为126平方米的厂房， 考虑到要节约费用因此利用旧墙（长度不得超过英总长），而没有利用的部分可拆去作为修建新墙的材料, 具体工程条件如下：(1)建1米新墙的费用为a元：(2)修1米旧墙的费用为巴元；4(3)拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙费用为巴元:2问：设利用旧墙为x,建墙费用为y,试

18、建立y与x的函数关系式尸f（x）。【巩固训练】1. 用长为/的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2X,则此框架国城的而积y关于X的函数解析式为2. 有根木料长为6米.要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的髙的比为1二2,问怎样利用木料，才 能使光线通过的窗框而积最大（中间木档的而积可忽略不计.3有一块形状为直角梯形的材料ABCD,其尺寸如图所示（单位：分米）.现从中截取一块矩形材料EBFP,点P在CD上，设FP为x<1）用;I表示EP的长度/：（2）设矩形EBFP的而积为y,求y关于才的函数解析式:4.某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型平面图是由两个相同的

19、矩形ABCD和EFGH构成的面 积为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同 的矩形（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/ 平方米.设总造价为S元，AD长为X米，试建立S （元）关于X （米）的函数关系式H GF四、函数的运算【例20】设函数f(x) = x1g(x) = * 2x,则/ + g(x) =【例21 已知定义域分别是F . G的函数y = f(x) . y = g(x),设函数h(x) = /(x) g(x) A- e Ffix e G,< /(X),xe F且xgG

20、,g(x),x FSlx e G,(1) 若y(x) =丄,g(x) = ,写出/?(x)的解析式;X 1(2) 对(1)中的函数hx),试求其值域.【例22】(1)求函数y = x +丄在(0, + oo)上的最值;x(2)求函数y = x +丄在丄,2上的最值;x 2(3) 求函数y = x +丄在2,4上的最值.x【例23】函数/(x) = x + -(6),xeL+x),画出"取不同范围的值时函数/(x)的图像.【巩固训练】1.已知函数门兀)的定义域为£ £22，求函数=/(ax) + fG)(a>)的左义域.2 设函数/(x) = j3 + 2x

21、F,g(x)=.求/(x)-(x)x 2x 33. 已知F(x) = f(x)+g(x)y其中/是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数,且F(l) = &弔卜16,求F的解析式并求其值域.94. (1)求函数y = x + 在1,5上的最小值；x9(2)若函数v = x + 在(0山上的最小值为6,求d的取值范帀;x9(3) 若函数y = x + 在(0山上是减函数，求d的取值范用.5 设函数/(%) =x > 1,x<.x求 f(x) + g(x).五、函数值域的求解【例26】若函数/(x) = x2-2x + 2,当xeH + l时的最小值为g(f),求函数g(f)

22、当虫卜3厂2时的最值【例27】对広乂记口瘁心飞/"'! 求函数/(X)=max|x+l|>2|(xeR)的最小值。h,a<h【例28】已知函数y = f(x) = x2+ax + 3在区间71上的最小值为-3 ,求实数"的值【例29】函数/(x) = y/kx1-6kx+S + k的左义域为R1) 求实数R的取值范围。2) 当k变化时，设已知函数的最小值为/伙)，求/伙)的解析式和值域。【巩固训练】1. (1)已知函数f(x) = x2+2ax+在区间7 2上的最大值为4,求a的值(2)已知函数f(x) = -x2+4x,xem,5的值域是-5,4,则实

23、数也的取值范用是2. 求下列函数的最小值八、 x2 +x + , c、x2 +5 z /八a:2 +2x + 6 z八(1) y =(x>0) (2)= 、 (xwR)(3) y =(x> 1)xVx2+4x_l3函数/(x) = (t/-2)x2+2(t/-2)x-4的左义域为乩 值域为(-co,0,则满足条件的实数a组成的集是4若函数y "一 3兀一4的定义域为0,m,值域为-,-4,则?的取值范围是45. 设函数y = or +加+ 1,当- 1K1时，y的值有正有负，则实数“的范围6. 对于任意实数x,函数f(x) = (5-a)x2-6x+a+5恒为正值,求“的

24、取值范围.反思总结与左义域有关的丿L类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的左义域是使解析式有意义的自变疑的取值范闹：第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义：第三类是不给出函数的解析式，而由/(X)的左义域确怎函数fg(x)的左义域或由fg(x)的泄义域确定 函数/(%)的泄义域.第四类是已知函数的左义域，求参数范用问题，常转化为恒成立问题来解决.与解析式有关的几种方法：配凑法：由已知条件f(gM) = F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x),便得/W的解析式；(2) 待泄系数法：若已知函.数的类型(如一次函

25、数、二次函数)，可用待左系数法；(3) 换元法：已知复合函数/(g(Q)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范用：(4) 方程思想：已知关于/(力与/(丄)或/(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方 程组，通过解方程组求岀/(x)与函数值域有关的几种方法:(1) 配方法：一元二次函数值域的求法，还可以通过换元将带有根号的函数转化为一元二次函数求值域，注 意新元的取值范围(2) 换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的期一函数，从而求得原函数的值域，形如 y = ax + b + 4+d 3、b、c、均为常数，且。工0)的函数常用此法求解(3) 分离常数法：分

26、式函数一般都是通过分离常数解决问题判别式法：把函数转化成关于尤的二次方程F(x, y) = 0:通过方程有实数根，判別式'(),从而求得 原函数的值域，形如),=邑+乜+乞(勺、心不同时为零)的函数的值域，常用此方法求解axr +bx + cy (5) 数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是 一种求值域的重要方法(6) 平方开方法：解决含有根号的函数问题，注意等价转化课后练习1.下列各式中y是兀的函数的解析式有C y = 3x, C y =, I y = x2, y2 = x2x2某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，100分钟可以

27、流完，贝IJ油箱中剩汕Q(升)与流出时间t (分) 的函数解析式是,自变疑t的取值范围.3王叔叔从家门口步行20分钟到离家900 X的书店，停留10分钟后，用15分钟返回家里，图中能表示 王叔叔离家的时间与距离之间的关系的图像是()(A)(B)(C)(I)4.下列各组函数中表示同一函数的是(A、f(x) = x 与 g(x)=(石)». . ,(x2(x>0)C、f(x) = xx 与 g(x) = f-jr(xvO)B、 f(x)=x 与 £(兀)=疔v2_1D、fM = -一 与 g(f) = / + l(/Hl) x-l5.函数/(x)对一切实数凡y都有/(x+

28、y)/(y) = (x+2y + l)兀成立，且/(1) = 0.求/(x)的解析 式：6.求下列函数的定义域：尸占；(2)y = J；(3)y = /57/2+(x-l)01 + X(4) y = lx2 +3x2(5) y = -兀一1(6)2x2x-4 -二(7)=： | (a>0)卜Z7. 求下列函数泄义域1) 已知函数/(x)的左义域为(0,1),求f(x2)的立义域。2) 已知函数/(2x+l)的左义域为(0,1),求/ 的立义域3) 已知函数f(x + l)的泄义域为-2,3,求/(2x2-2)的左义域。4) 设函数/(x)的左义域为3,1,则g(x) = /(x) + /

29、(x)的立义域为5) 若/(x)的泄义域为-3,5,求(p(x) = f(-x) + f(2x+5)的定义域1 18. (1)已知/ x + - =x2+ ,求/(X)的解析式. X)X(2) 已知函数/(x-1) = x2-4x,求函数/(X), /(2x + l)的解析式(3) 已知/(X)是二次函数，K/(x+l) + /(x-l) = 2.r2-4x,求/(x)的解析式(4) 已知函数/(x)满足 2f(x) + f(-x) = 3x+4,则/(x)=9. 已知函数/(x) = 2 V-aV + /?的值域为1, 3,求的值f + 110.对于-<a<,不等式x2 +(a-2)x + -a> 0恒成立的x的取值范围是x + 2(x<-l)11.函数 f(x) = ' x2(-l <x< 2),若/(x) = 3,则兀=2x(x > 2)12.已知函数y =殳二上的最大值为4,最小值为一1 ,则加=t n