“隐形圆”教学内容

1、隐形圆精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除圆有关问第一讲 “形”现“圆”形问题 如图所示，在等腰直角三角形 ABC中，ABBC2，点 P为等腰直角三角形 ABC 所在平面内一点，且满足 PAPB，则 PC的取值范围是圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题 中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方 面的信息，而是以隐性的形式出现，但我们通过分析和转化，最终都可以利用 圆的知识求解这类题目构思巧妙，综合性强 ,，充分考查了学生的数形结合、转化和化归 等数学思想方法，处理这类题目关键在于能否把 "隐形圆 "找出来圆作

2、为几何图形，找“隐形圆”的一个角度可以从“形”的角度来发现策略一 由圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例 1（1）如果圆 （x2a）2（ya3）24 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取值范围是 （2）（ 2016年南京二模）已知圆 O：x2y21，圆 M：（xa）2（ya4）21若圆 M 上存在点 P，过点 P作圆 O的两条切线，切点为 A，B，使得 APB60°，则 a 的取值范围为 3）（ 2017年苏北四市一模）已知 A、B是圆C1: x2 y2 1上的动点，AB= 3， P是圆 C2:(x 3)2 (y 4)21 上的动点，则 PA PB 的

3、取值范围是4）若对任意R ，直线 l：xcos ysin2sin（ ）4与圆 C：（xm）26（y 3m）21 均无公共点，则实数 m 的取值范围是 5）（ 2016年南通三模）在平面直角坐标系 xOy中，圆 C1: x 12 y2 2，圆 C2 : x m y m m2 ，若圆 C2 上存在点 P 满足：过点 P 向圆 C1 作两条切线PA、PB，切点为 A、B， ABP的面积为 1，则正数 m 的取值范围是策略二 由动点 P对两定点 A、 B张角是 900（ kPA kPB 1，或 PA PB 0）确定隐 形圆例 2 （1）已知圆 C： （x 3）2 （y 4）2 1和两点 A（ m,0）

4、 ， B（m,0） （m 0） ， 若圆上存在点 P，使得 APB=90°，则m 的取值范围是 （2）（海安 2016届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy中，已知点 P（-1 ，0）， Q（2，1），直线 l： ax by c 0其中实数 a，b，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是 （ 3）设 m R ，直线 l1 ： x my 0 与直线l2： mx y 2m 4 0交于点 P（x0,y0），则 x02 y02 2x0的取值范围是 策略三 由圆周角的性质确定隐形圆例 3 （1）已知 a,b,c分别为 ABC的三个内角 A, B,C的

5、对边， a 2 ，（a+b）（sinA- sinB）=（c- b）sinC则 ABC 面积的最大值为 2）（ 2017年常州一模）在 ABC 中，C45o，O是ABC 的外心，若uuurOCuuur mOAnOB （m，nR），则 mn 的取值范围是策略四 由四点共圆的定理来确定隐形圆(如一个四边形的对角互补，则该四边形四点共圆)1例 4 设向量 a，b，c满足|a|b|1，a·b2，若 ac与 b c的夹角为 60°，则|c|的最 大值等于 【同步练习】1.点 A，B分别在 x轴与 y轴的正半轴上移动，且 AB2，若点 A从( 3， 0)移动到 ( 2，0) ，则 AB中

6、点 D经过的路程为2已知 O为坐标原点，向量 OB (2,0)，OC (2,2),CA ( 2cos , 2sin ) ，则 uur uuurOA与 OB夹角的范围为3已知直线 l:x 2y m 0上存在点 M满足与两点 A( 2,0) , B(2,0) 连线的斜率之 积为 1，则实数 m 的取值范围是4已知圆 C：x2y21，点 P(x0，y0)在直线 xy20上，O 为坐标原点，若圆 C上存在一点 Q，使得 OPQ 30°，则 x0的取值范围是 5如图，已知点 A(1,0)与点 B(1,0) ，C是圆 x2y21上的动点 (与点 A,B不重合 )，连接 BC并延长至 D，使得 |

7、CD | |BC|，则线段 PD的取值范围 第二讲 “数”现“圆”形 解析几何中，找“隐形圆”的另一个角度可以从“数”的角度（求出其方程）来 发现策略五 直接由圆（半圆）的方程确定隐形圆例 1 （1）（2016年泰州一模 ）已知实数 a，b，c满足 a2 b2 c2，c 0，则 ba 2c 的取值范围为 2）若方程 3 4x x2 xb 有解，则 b的取值范围是3）已知实数 x、y 满足 x x 1 y 3 y ，则 x+y 的最大值是 策略六 直接由圆（半圆）的参数方程确定隐形圆例 2（1） 已知 ,t R，则 （cos t 2）2 （sin t 2）2 的取值范围是 2）函数 f（x）=s

8、inx 13 2cos x 2sin x（0x2 ） 的值域是uur uur策略七 由两定点 A、B，动点 P满足PA PB （ 是常数） ,求出动点 P的轨迹方程确定隐形圆 例 3 已知圆 C:（x 3） （2017届盐城三模）已知 A， B， C， D 四点共面， BC 2，uuur uuur uuur20，CD 3CA ，则|BD |的最大值为 （y 4）2 1和两点 A（ m,0）,B（m,0） （m 0）若圆 C 上存在uur uur点 P，使得 PA PB 1，则 m 的取值范围是 策略八 由两定点 A、B，动点 P满足 PA2 PB2是定值确定隐形圆例 4（1）在平面直角坐标系

9、xOy中，已知圆 C：（xa）2（ya 2）21，点22AB2 AC2A（0，2），若圆 C 上存在点 M，满足 MA2MO210，则实数 a 的取值范围是策略九由两定点 A、B，动点 P满足 PPAB0, 1） 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）例 5（ 1）（ 2016年南通一模）在平面直角坐标 xOy 中，已知点 A（1,0）,B（4,0） ，若直线1x y m 0 上存在点 P 使得 PA 2 PB , 则实数 m的取值范围是 （2）（ 2016届常州一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2y21， O1：（x4）2y24，动点 P 在直线 x 3y b 0上，过点 P作圆 O，O

10、1的两条 切线，切点分别为 A，B，若满足 PB 2PA的点 P 有且仅有两个，则 b 的取值范 围3）已知曲线 C 的方程 x2 y2 1 ， A 2,0 ，存在一定点 B b,0 b 2 和常数，对曲线 C 上的任意一点 M x,y ，都有 MA MB 成立，则点 P b, 到直线m n x ny 2n 2m 0 的最大距离为 例 6（2017 年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线 l（一条南北方向的直 线） 3.8海里的 A 处，发现在其北偏东 30°方向相距 4海里的 B处有一走私船正 欲逃跑，缉私艇立即追击已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍假设缉私艇和走私船均

11、按直线方向以最大航速航行（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在 领海内拦截成功；（参考数据： sin17 ° 63， 33 5.7446 ） （2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说 明理由l（例 6）当 |PA|2（ 为常的最大值【同步练习】1已知圆 C：（x3）2（y4）21，点 A（0，1），B（0,1）P是圆 C上的动点， |PB |2取最大值时，点 P 的坐标是 2（2016年盐城三模）已知线段 AB的长为 2，动点 C满足 CA CB 数），且点 C总不在以点 B为圆心， 21 为半径的圆内，则负数 是3(20

12、16年苏北四市一模)已知 A(0,1)，B(1,0)，C(t,0)，点D是直线 AC上的动点，若 AD 2BD恒成立，则最小正整数 t的值为 4在平面直角坐标系 xOy中， M 为直线 x3上一动点，以 M为圆心的圆记为 圆 M ，若圆 M截 x轴所得的弦长恒为 4过点 O作圆 M的一条切线，切点为 P，则点 P到直线2xy100 距离的最大值为5已知 x、y R 且满足 x 2xy 4y 6 ，则 z x 4 y 的取值范围是第三讲 “隐圆”综合隐藏圆问题可以和很多知识点结合，在三角形、向量、圆锥曲线等背景的一些问题中看上去和圆无关，但却隐藏着圆一、三角形中的隐形圆 例 1（1）（ 2017

13、年南京、盐城一模）在 ABC 中，A，B，C 所对的边分别为a,b,c，若 a2 b2 2c2 8，则 ABC面积的最大值为 2）（ 2008年高考江苏卷）若 AB=2 ，AC = 2BC ，则 S ABC的最大值是例 2 （1）在 ABC 中，BC 2，AC1，以 AB为边作等腰直角三角形 ABD （B 为直角顶点， C、D 两点在直线 AB的两侧 ）当 C变化时，线段 CD 长的最大 值为 2）在 ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 DC2BD，ABADAC3k1，则实数 k 的取值范围为二、向量中的隐形圆0 ，则例 3 ( 1)已知向量 a、b、c满足 a 2 ， b a b= 3，

14、若(c a)(c b) b c 的最大值是 (2)在平面内，定点A，B，C，D 满足uuurDA=uuurDB=uuurDCuuur uuur uuur uuur uuuruuur动点 P，uuuruuuuruuuurDA DB =DB DC=DCDA =-2，M 满足AP=1， PM =MC，最大值是 uuuur 2 则 BM 的uuur uuuruuur1 uuur r uuur例4已知OuuAur ， OuuBur 为非零的不共线的向量，设 OuuCur 11ruOuAur 1 r r OuuBur uuur uuur uuur uuur定义点集 M K | KAuuurKC KBuuu

15、rKC 当 K1、K2 M 时，若对任意的 r2，不|KA| |KB | 1 2等式| uKu1uKuur2 | c | uAuBur |恒成立，则实数 c的最小值为 例 5 (2014 年常州高三期末卷)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆2 2 uuur uuruO: x2 y2 16，点 P(1,2)，M、N为圆 O上两个不同的点，且 PM PN 0，若 uuur uuur uuru uuurPQ PM PN ，则 PQ 的最小值为 三、圆锥曲线中的隐形圆例 6 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 O1，圆O2均与 x轴相切且圆心 O1，O2与 原点O共线， O1 ， O2两点的横坐标之积为 6，设圆 O1与圆O2相交于 P，Q两 点，直线 l ： 2x y 8 0 ，则点 P 与直线 l 上任意一点 M 之间的距离的最小值为例 7 设椭圆恒有两个交点x2 y2E： x y 1，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 84uuur A，B，且 OA uuurOB？【同步练习】1 若 a，b，c 均为单位向量，且 a·b0，（ac）·（b c） 0，则 |a b c|的最大值为2已知曲线 C：x 4y2，直线 l：x6，若对于点 A（m，0），存在 C上的点 P和 l