“四点共圆”在中考数学解题中的应用赏析

1、“圆”来如此简单“四点共圆”在中考解题中的应用赏析2012年8月，在昙假集体备课之际，新浙教版数学教材以焕然一新的面貌 岀现在大家眼前。与老版相比，新版教材增加了一些传授内容。其中，九年级上 册的圆内接四边形就是一节新增内容。而且与之配套的数学教学参考书 在3. 6圆内接四边形这一课时末尾，颇有用意地在第103页“相关资源”中 对于如何判定四点共圆作了批注。原文如下：如何判定四点共圆。对于四点共圆的判定一般有以下两种方法：1.如图，四边形中同一边所对的两个边与对角线所成的角相等（如Z1 = Z2）,则这个四边形为圆内接四边形，也就是四边形的 四个顶点共圆。2如果四边形的两个对角互补，那么这个四

2、边形为圆内接四边形，也就是四 边形的四个顶点共圆。判定四点共圆会给许多儿何问题的解决带来方便。近年来，经过笔者的收集整理和实践探究，发现很多地方的中考试题，都能 通过妙用四点共圆达到事半功倍的效果。现就四点共圆问题在中考解题中的应 用，采撷儿例，剖析解法，供大家分享。一、四点共圆与线段问题结合的应用举例例 1. （2013绍兴）在ZUBC 中，ZCAB=90o , AD丄BC 于点 D,点 E 为 AB 的中点，EC与AD交于点G,点F在BC上.（1）如图 1, AC： AB=I: 2, EF丄CB,求证：EF=CD原方法分析：第（2）小题作EH丄AD于H, EQ丄BC于Q,先证明四边形EQD

3、H 是矩形，得出ZQEH二90° ,则ZFEQ=ZGEH,再由两角对应相等的两三角形相似 证明 EFQSAEGH,得出EF： EG=EQ: EH,然后在ZBEQ中，根据正弦函数的定 义得出EQ二-BE,在ZAEH中，根据余弦函数的定义得出EH二至AE, 乂 BE二AE,2 2进而求出EF： EG的值.原方法解答：（1）略（2）解：如图，作EH丄AD于H, EQ丄BC于Q,TEH丄AD, EQ±BC, AD±BC,四边形EQDH是矩形，A ZQEH=90° ,A ZFEQ=ZGEH=90° ZQEG,乂 V ZEQF=ZEHG=90°

4、, ZiEFQs AEGH,AEF： EG=EQ: EH.VAC： AB=1： 3, ZCAB=90° ,.ZB二30° .在ZiBEQ 中，V ZBQE=90° ,AsinZB=显=丄，BE 2EQ= -BE.2在AAEH 中，V ZAHE=90o , ZAEH=ZB=30° ,cos ZAEH= = ,AE 2AEH= AE.2Y点E为AB的中点，BE=AE,AEF： EG=EQ: EH=IBE： AE=1： 3.2 2该方法釆用了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的 判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度.解题的关键是作

5、辅助线, 构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形.下面赏析四点共圆方法解（2）：解：连结GF, DE在 AABC 中，ZCAB=90o AC： AB=1： A/3 ZCBA=30°VAD±BCBAD是直角三角形T 点 E 为 AB 的中点 DE=BE/. ZEDB=ZCBA=30°TEF丄CE, AD±BC,四边形DGEF对角互补D、G、E、F四点共圆 ZFGE=ZFDE=30°AEF： EG=IanZFGE=I ： 3例2 （2013-呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的 点，BE=I, ZAEP=90

6、6; ,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F,FC（1）丽的值为；（2）求证：AE=EP;（3）在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形？若存在， 请给予证明；若不存在，请说明理由.原方法分析：第(2)题在BA边上截取BK二NE,连接KE,根据角角之间的关 系得到ZAKE二ZECP,山 AB二CB, BK二BE,得 AK二EC,结合ZKAE=ZCEP,证明ZAKE ECP,于是结论得出；原方法解答：(1) (3)略(2)证明：在BA边上截取BK二E,连接KE,TZB二90° , BK二BE,A ZBKE=45° ,A ZAKE=I35°

7、; ,TCP平分外角，A ZDCP=4 5° ,A ZECP=I35° , ZAKE=ZECP,VAB=CB, BK二BE,AAB BK二BC BE,即：AK二EC,易得 ZKAE=ZCEP,在AAKE和AECP中，'Zkae=Zcep AK二ECI ZAKE=ZECP,AKEECP (ASA),AE=EP;该方法采用了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方 形的性质等知识.此方法综合性很强，图形比较复朵，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择. 下面赏析四点共圆方法解(2)： 解：连结AC、AP/在正方形ABCD中ZBCD=90

8、76;CP是正方形外角的平分线 ZACD=450ZPCD=45° ZACP=90°T ZAEP=90°A、E、C、P四点共圆 ZAPE二 ZACE二4 5°EAP是等腰直角三角形AAE=EP 二、四点共圆与函数问题结合的应用举例1 k例3如图(1),直线y = -X + 2交坐标轴于A、B两点，交双曲线y = (XVO)2 X于点 C,且 Saoczz8(1) 求k的值.(2) 如图(2), A, G关于y轴对称，P为双曲线上一点，过P作PD丄X轴于D,分 别交 BG, AB 于 F, E,求证：DE+DF=4(3) Q为双曲线上另一动点，连0Q,过C作

9、CM丄OQ,C丄y轴于如图(3),当 Q点运动时，ZoMN是否是定值？说明你的理山。图（1 ）图（2 ）图（3）解：（1） （2）略下面赏析四点共圆方法解（3）：解:连结OC,由(1)可知C (-4,4) ZOCN=45°TCM丄0Q, CN丄y轴/. ZCMO=ZCNO=90°四边形CM0对角互补C、M、0、N四点共圆 ZoMN二ZOCN二45°例4 （2011绍兴）抛物线y = 一扣_1+3与y轴交于点A,顶点为B,对 称轴BC与X轴交于点C.（1）如图1.求点A的坐标及线段OC的长；（2）点P在抛物线上，直线PQBC交X轴于点Q,连接BQ. 若含45

10、6;角的直角三角板如图2所示放置.其中，一个顶点与点C重合, 直角顶点D在BQ ±,另一个顶点E在PQ上.求直线BQ的函数解析式； 若含30.角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上,2到ZDQO二43° ,求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式.分点 P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物 线求出点P的坐标.原方法解答：解：(1)略(2)如图：B (1, 3)分别过点D作DM丄X轴于M, DN丄PQ于点VPQ/7BC, ZDMQ=ZDNQ=ZMQN=90° ,ADMQN是矩形.V CDE是等腰直角三角形，

11、 DC=DE, ZCDM=ZEDNCDMEDNDM=DN,/.DMQN是正方形, ZBQC=45°ACQ=CB=3Q (4, 0)设BQ的解析式为：y=kx+b,把B (b 3), Q (4, 0)代入解析式得：k=- b b=4.所以直线BQ的解析式为：y二+4.当点P在对称轴右侧，如图： 过点D作DM丄X轴于M, D丄PQ于V ZCDE=90o , A ZCDM=ZEDN当 ZDCE=30°乂 DN=MQ££=3DE DNCDMEDNDMMQBC二3, CQ二 3Q (1+ 3, 0)L 9、P1 (1+0-)4当ZDCE=60° ,点 P

12、2 (1+-).4当点P在对称轴的左边时,由对称性知: 匕(10扌)，P"(l3屈十)综上所述：P1 (1+ 3,-),P： (1+ 33 ,415L 9、-),P3 (1 - 3 , - ), PI44接下来直线BQ的解析式，P点的坐标都可迎刃而解。三、四点共圆与轨迹问题结合的应用举例例5、（2013鄂尔多斯）如图6,直线y=-+4与两坐标轴交A、B两点，点P 为线段OA上的动点，连接BP,过点A作AM垂直于直线BP,垂足为M,当点P 从点0运动到点A时，则点M运动的长为.下面赏析四点共圆方法：解：TAM垂直于直线BP ZAoB二 ZAMB二90°A、M、0、B四点共圆M

13、点运动轨迹是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的弧0A, 连结0N,直线y=-+4与两坐标轴交于AB两点，OA=OB=4.0N 丄 OB ZONA=90°VAB= OA2+OB2 =42AON= 22M点运动轨迹长为 22 = 2180例6 （2011浙江湖州）如图1.已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分 别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P （0, m）是线段OC上一动点（C点除外）, 直线PM交AB的延长线于点D.（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当AAPD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M> B三点的抛物线与X轴正半轴交于点E,过点

14、0作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）.当点P从点0向点C运动时，点H也随之运动.请 直接写出点H所经过的路径长.（不必写解答过程）解：（1） （2）略下面赏析四点共圆方法解（3）：V ZOCB=90°OH 丄 EM无论P在何处，四边形OCMH对角互补0、C、M、H四点共圆，且该圆就是ACMO的外接圆随着P点的运动，H点的运动轨迹是弧，且弧的起点和终点关键看P的起 占和敘占VP （0, In）是线段OC上的一动点（C点除外），0 m < 2当0与P重合时,H点才开始运动,此时过OMB三点的抛物线为y = -F+3x此时ME的解析式为y二-x+3,则ZMEO = 45°,T OH 丄 EMOHE为等腰直角三角形 ZCOH=450OM= 5VP与C无限幕近时H也将与C无限靠近H点运动的路径终点与C无限幕近H点运动的弧长二空 = 18024纵观近年各地中考试题，虽然四点共圆问题在中考卷中的考查，直接意图 并不是很明显。就如上述儿道试题颇有难度，用我们经常提及的基本图形、基本 思想、基本技能也能解决，但较为繁琐，而构造四点共圆将所求各类问题转化为 圆的常见问题，并用圆的基本性质将问题进行解决，一切都变得顺风顺水，有助 于学生初步形成“模型思想”、积累数学活动经验。波利亚曾经说过：“解题是一 种实践性的技能，就好像游泳一样。在学习解题时，你必须观察和模仿别