三角函数在电工学中的应用

1、2.6 三角函数在电工学中的应用旧课复习： 正弦定理、余弦定理 :a b c . sinA sinB sinc a2 b2 c2 2bc cos A ; b2 c2 a 2 2cacosB ; c2 a 2 b2 2abcosC.新课引入：1. 分析正弦交流电流的变化规律举例我们知道 ,正弦交流电的电流强度 i 随时间 t变化的规律 为i I m sin（ t 0）.其中 I m 电流强度的最大值,称为幅值（或峰值）; 称为 角频率 （ 或圆频率 ）,它表示电流变化的快 慢,其单位是“弧度 /秒” ;0 称为初相位 （或初位相或初相 ）; t 0称为t时刻的相位（或位相 ）, 它是发电机转子的

2、绕组面在 t 时刻所在位置与定 子磁场方向所成的角 （图 2-12）. 这里,i 关于t是正弦型函数 ,因此我们可以利用正弦型函数的图象强度 i 随时间 t 变化在一个周期里的图象 ,其中横坐标表示t.根据图 2-13, 回答下列问题 :(1) i1与i2的幅值各为多少 ?(2) i1与i 2的周期相等吗 ?是多少 ?(3) i1与 i 2哪个先达到最大值 ?解: (1)从图 2-13 中可以看出 , i1的幅值为 30 A,i2的幅值 为 20 A .(2) 图 2-13 中,横轴代表 t ,从图中看出 , t每增加 (减少)i1与i2函数值都不变 .因此 i1与i2的周期相同 ,都等于2（

3、3） 从图 2-13 中看出 ,当 t时,i1 达到最大值 ; 当62t 2 时, i2达到最大值 .因此 i1先达到最大值 .3 2 1从图 2-13 中还可以看出 , i1的初相位是 3 ,i2的初相位是6根据上述分析 ,可以写出 i1与 i 2的解析表达式如下i1 30sin t13i2 20sin t 6 ,（可以确定 的值,这里从略 ） 正弦交流电完成一次周期性变化所需的时间称为 周期 （ 单 位 :秒 ,记 作 s）, 用 T 表 示 ,根 据 正 弦型 函 数 的 周 期 T2性 ,T: 单位时间内交流电完成周期性变化的次数称为频率 （单位 :赫兹 ,记作 Hz）, 用 f 表示

4、 .显然 fT1 ,从而2 f . 两个同频率的交流电的相位角或初相位角之差,称为相位差 .以上电流 i1与 i2是两个同频正弦电流 ,它们的相位差是62我们称 i1比 i2 的相位超前 ,或者说 i2 比 i1 的相位 滞后 .如上1 2 2 2 1 2 所说 , i1比 i2先达到最大值 .例 2 已知正弦交流电流 i (安)与时间 t (秒)的函数关系为30sin 100 t4 (t 0).(1) 试指出它的角频率、频率、周期、幅值及初 相位各是多少 ?(2) 设 t 0秒、t 0.0025秒时电流的瞬时值分别为i0、i1,试比较 i0 与i 1哪个较大 ?(3) 试画出它在一个周期内的

5、简图 ,并指出电流在这个周期内的变化情况 .解:(1) 角频率100 (rad/s),频率 f 100 50(Hz),221周期 T f 0.02(s),幅值 I m 30(A),初相位 0 (rad).4(2) 当 t 0 时 , i 15 2 ( “ - ” 号 表 示 流 向 ),所 以 i0 15 2 (安);当t 0.0025时, i 0,所以 i1 0(安).因此, i0比 i1大.(3) 列表100 t =X402322Xt = 41000.00250.00750.01250.01750.0225i 30sin(100 t )40300300i（安培）从图 2-14 看出 ,在前

6、半个周期内 ,当时间从 0,0025 秒连t(秒)描点画图 （图 2-14）11续变化到 0.0075 秒时 ,电流从 0 安逐渐增大到幅值 30 安;当时间从 0,0075 秒连续变化到 0.0125 秒时 ,电流从 30 安 逐渐减小到幅值 0 安. 在后半个周期内 ,电流的变化规律与前半个周期内的情形相似 ,但流向相反 .例 3 图 2-15 是一个正弦交流电流的图象 ,根据图象求 出它的周期、频率、幅值和初相位，并写出电流 i 关于时间 t 的函数关系式 .解 : 根据图象可知电流的周期 T 所以 频率 f0.25 0.05 0.2 (s).T 0.25(Hz).角频率 2 f 10

7、(rad/s) 由图又知 , 幅值 I m 10(A), 起点 坐 标 为 (-0.05,0). 由 正 弦 型 函 数 起 点 坐 标 的 求 法 , 有 图 2-150100.05于是 , 初相 0 2 (rad)i/A1010因此 ,该正弦交流电的函数关系式为i 10sin (10 t ).正弦交流电的电压 v随时间 t 变化的规律为v Vm sin ( t 0 )， 其中 Vm是电压的最大值 ,称为幅值 (或峰值 ),同样 , 称为角 频率 (或圆频率 ), 0称为初相位 (或初相 ), t0 称为 t时刻的相位 .21类似地 ,正弦电压的周期 T 2 （单位 :s）,频率 f T （

8、单 位 :Hz）,2 f （ 单位 :rad/s）在电工学中 , 正弦交流电的电流和电压都简称为 正弦 量.显然 ,正弦量由幅值、角频率和初相 位唯一确定 .课堂练习：习题 2.6 的 1、2、 3 题（请学生回答）2.求两个同频率的正弦交流电合成举例在电工学里 ,对交流电路的分析过程中 ,经常遇到对 同 频率的正弦量求和的运算 ,称之为 同频率正弦量的合成 .例 如:设有两个同频率的正弦电流 （单位 :A）i1 I1m sin（ t 1）,i2 I 2m sin（ t 2）,把它们合成 ,即i i1 i2 I1m sin（ t 1） I2m sin（ t 2）i 又称为电流 i1与 i 2的

9、总电流 .例 4 求两个同频率的正弦电流 i1 3sin 100 t 与13i2 sin 100 t 相加的总电流 .26解: 设i1与i2的合成电流为 i ,则i i1 i23sin 100 t sin 100 t 363 sin 100 t cos cos100 tsinsin 100 tcos cos100 tsin3 3 6 63cos cos sin 100 t363sin sin cos100 t363 sin100 t 2 cos100 t3sin7100 t2cos100 t7 sin(100 t0 ) ,2其中 0 arctan 3 .因此合成电流 i 也是正弦电流 ,且与

10、i1 、 i2同频率 .由上可见 ,用和角的正弦公式能求出两个同频率的正弦 量的合成结果 ,但计算非常繁琐 .下面将给出一种较简单的 解法.根据 2.3 节讨论的结果可知 ,正弦量除了用正弦型函数或 正弦波形表示之外 ,还可以用旋转向量来表示 .画旋转向量 来表示正弦量 ,是繁琐的 .在电工学中 ,通常只 用初始位置 (t 0) 的向量来表示一个正弦量 , 它的长度等于正弦量的幅值 ,它与横轴正方向间的夹角等于正弦量的初相位.但是我们应该具有这样的概念 :这个向量是以正弦量的角频率作逆 时针方向旋转的 ,它在纵轴上的投影 （纵坐标 ） 表示正弦量的 瞬时值 .在实际问题中我们所涉及的往往是正弦

11、量的有效值.因此为了方便起见 ,常使向量的长度等于正弦量的有效值.显然 ,这时它在纵轴上的投影就不能代表正弦量的瞬时值了 .由电工学可知 ,正弦电流和电压的有效值与幅值的换算关系为:II m V Vm2 ,V2.为了与物理向量 （例如电场力、电场强度等 ）区别 ,表示随时间而变化的正弦量的向量我们称为 相量 ,并在所注文字上方打一“·”. 例如电流和电压的 幅值相量 分别记作 Im和Vm ,它们的 有效值相量 分别记作 I 和V.由于正弦量由幅值、角频率和初相位唯一确定 ,因此对应正弦电流 i I m sin t 0相量 Im （或 I）.对应正弦电压 v Vm sin t 0相量V

12、m （或V） .按照各个同频率的正弦量的幅值 （或有效值 ）和初相位画 出若干个相量的图形称为相量图 . 由 2.3 节讨论亦可知 , 两个同频率的正弦量相加 （ 相同物理量相加 ）, 其结果是一个同 频率的正弦量 ,它们的相量之和 ,就是它们的和的相量 .因此 , 我们可以利用两个同频率的正弦量 （ 相同物理量 ） 的相量图 , 采用平行四边形法则求它们的和相量 , 再通过解三角形便 可求得这两个同频率的正弦量之和的幅值和初相位,从而得出两个同频率的正弦量的合成结果 .例 5 已知两同频率的正弦电流 i1 8sin （ t 60 ）安和 i 2 6sin（ t 30 ）安,求 i i1 i

13、2.解: 先作 i1和i 2的幅值相量 I1m 和I2m,以 该两相量为邻边作一平行四边形 , 平行四边形 的对角线即为两正弦电流之和 i 的幅值相量 ImmxI 2m（图 2-16）.因为 i1和 i 2的相位差恰为 90 ,所以 i的幅值 所以 i 10sin ( t 23 )安.而i 的初相位60 arctan6 60 37 ,8例 6 在图 2-17 的电路中 ,设i1 I1msin( t 1)= 100sin ( t 45 )安,i2 I2msin( t 2)= 60sin ( t 30 )安, 试求总电流 i.解: 根据表示正弦量的几种方法对本题分 别进行计算如下 :因此总电流 i

14、 的幅值为I 1m cos 1I2m cosI1m sinI2m sin电流 i 的初相位为arctanI 1m sin 1I 1m cos 1I2m sin 2I 2m cos 230arctan 70.7 3070.7 52故得i 129 sin ( t 18 20 )安.将本题中的 I1m 100安、 I 2m 60安、 1 45 代入，则得Im70.7 52 用正弦波形求解先作出表示电流 i1和 i2的正弦波形 ,而后将两波形的纵 坐标相加 ,即得总电流 i 的正弦波形 ,从此波形上便可量出 i的幅值和初相位 (图 2-18). 70.7 30 2 122.72 40.72 129 安

15、，arctan 40.7 18 20 .122.7边形 ,其对角线即为总电流 i 的幅值相量 I m , 它的长度即为幅值 ,它与横轴正的夹角即为初相位 （图 2-19 或图 2-18 缩小版 ）.从向量图上可以量出 i 的幅值和初相 .4 用相量图通过解三角形求解 先作出表示电流 i1和i2 的幅值相量 I1m和 I2m ,而后以 I1m 和 I2m 为邻边作一平行四边形 ,其对角线即 为总电流 i 的幅值相量 Im ,它的长度即为幅值 ,它与横轴正方向间的夹角即为初相位 (图 2-19).因为 i1与i2的相位差 1 2 45 (-30 )= 75 所以,由余弦定理得Im222I12m I

16、22m 2 I1m I 2m cos(180 75 )1002 602 2 100 60 cos105 16706,因此, i的幅值 Im16706 129安;又根据正弦定理 ,有sin (30 )=I1m sin105Im100 sin1051290.7488,所以 i 的初相位于是arcsin 0.7488 30 18 29 . i 129sin ( t 18 29 )安.最后指出 ,如果用相量表示正弦交流电 ,则正弦交流电路中的希尔荷夫定律具有相量形式本堂课作业：习题 2.6 的 4 、5 题 本堂课归纳小结： 正弦交流电的电流强度 i 及电压 v对时 间 t 的函数关系分别为 :i I

17、m sin( t 0) (Im 0, 0);v Vm sin ( t 0 ) (Vm0, 0),它们都是正弦型函数 .掌握了正弦型函数图象和性质 ,也 就掌握了正弦交流电随时间变化的在电工学中 , 正弦交流电的电流和电压都简称为正弦 量 , 正弦量可以用相量来表示 .有对应正弦电流 i I m sin t 0 幅值相量 I m （或有效值相量 I） .对应正弦电压 v Vm sin t 0 幅值相量 Vm （或有效值相量 V） .两个同频率的正弦量相加 （相同物理量相加 ）,其结果是一 个同频率的正弦量 ,它们的相量之和 ,就是它们的和的相量 . 因此 ,我们可以利用两个同频率的正弦量 （相同物理量 ）的相 量图 ,采用平行四边形法则求它们的和相量 , 再通过解