2020中考数学复习分类汇编专题1：二次函数与等腰三角形以及菱形问题(含答案)

1、专题: 二次函数与等腰三角形以及菱形问题111. 如图，抛物线 y3x23x4 与 x 轴交于 A、B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )，与 y 轴交 于点 C，连接 AC、BC.点 P是第四象限内抛物线上的一个动点， 点 P 的横坐标为 m，过点 P 作PM x轴，垂足为点 M，PM交 BC于点 Q，过点 P作PEAC交x轴于点 E，交 BC于 点 F.(1) 求 A、B、C 三点的坐标；(2) 试探究在点 P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以 A、C、Q 为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出此时点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 请用含 m的代数式表示线段

2、QF 的长，并求出 m为何值时 QF有最大值2. 如图，在平面直角坐标系中， 二次函数 yax22xc与 x轴交于 A(1，0)、B(3， 0)两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC.(1) 求抛物线的表达式和点 C 的坐标；(2) 如图，若点 D 为第四象限内抛物线上一动点，点 D 的横坐标为 m， BCD 的面积 为 S.求 S关于 m 的函数关系式，并求出 S的最大值；(3) 抛物线的对称轴上是否存在点 P，使 BCP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所 有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由3. 如图，抛物线与 x轴交于 A， B两点，与 y轴交于点 C(0，2)，点 A 的坐标是 (

3、2， 0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作 PD x轴于点 D，交直线 BC于点 E，抛物线的对称轴是直线 x 1.(1) 求抛物线的函数表达式；1(2) 若点 P在第二象限内，且 PE4OD ，求 PBE 的面积；(3) 在(2)的条件下，若 M 为直线 BC 上一点，在 x轴的上方，是否存在点 M，使 BDM 是以 BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由4. 如图，在平面直角坐标系中， RtABC 的边 BC 在 x 轴上， ABC90 °，以 A 为顶 点的抛物线 yx2bxc经过点 C(3，0)，交 y轴于点 E(0，3)，动点 P 在对称

4、轴上(1) 求抛物线表达式；(2) 若点 P从 A点出发，沿 AB方向以 1个单位 /秒的速度匀速运动到点 B停止，设运 动时间为 t秒，过点 P作PDAB交 AC于点 D，过点 D 平行于 y轴的直线 l交抛物线于点 Q，连接 AQ，CQ，当 t为何值时， ACQ 的面积最大？最大值是多少？(3) 若点 M 是平面内的任意一点，在 x轴上方是否存在点 P，使得以点 P，M，E，C 为 顶点的四边形是菱形， 若存在，请直接写出符合条件的 M点坐标；若不存在， 请说明理由5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y 94x2bxc 经过点 A（ 5，0）和点 B（1，0）.（ 1）求抛物线的解析式及

5、顶点 D 的坐标；（2）点 P 是抛物线上 A、D 之间的一点，过点 P作 PEx 轴于点 E，PGy 轴，交抛 物线于点 G，过点 G作GFx轴于点 F，当矩形 PEFG 的周长最大时，求点 P的横坐标；（3）如图，连接 AD 、BD ，点 M 在线段 AB 上（不与 A、B重合），作 DMN DBA ， MN 交线段 AD 于点 N，是否存在这样点 M ，使得 DMN 为等腰三角形？若存在，求出 AN 的长；若不存在，请说明理由 .56. 如图 1，抛物线 yax2bxc 经过 A（1,0）、B（3, 0）、C（0 ,3）三点，直线 l 是抛物线 的对称轴1）求抛物线的函数关系式；（2）设

6、点 P是直线 l上的一个动点，当 PAC 的周长最小时，求点 P的坐标；（ 3）在直线 l 上是否存在点 M，使 MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合 条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由参考答案111. 解： （1）由 y0，得3x23x40，解得 x1 3， x2 4，点 A、 B 的坐标分别为 A（3，0），B（4，0）由 x 0，得 y 4，点 C 的坐标为 C（0， 4）；（2）存在，5 2 5 2 Q1（ 2 ， 2 4）， Q2（1， 3）【解法提示】 设直线 BC 的表达式为 ykxb，将 B（4，0）、C（0，4）代入 ykx b， 4kb0得，b 4解得k1

7、 b 4直线 BC 的表达式为 y x 4，点 Q 在直线 BC 上，且点 Q 的横坐标等于点 P 的横坐标 m，点 Q 的坐标为 （m，m 4）A 点坐标为 （3，0），C（0，4），AC2OA2OC225，CQ2（m0）2 m4（4）22m2，AQ2m（ 3） 2 （ m 4）2 2m2 2m 25，要使以 A、C、Q 为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论：（）当 ACCQ 时，即 AC2CQ2，252m2，解得 m1 522，m2522，点 Q 在第四象限， m>0， m 4<0. 0<m<4 ，m522， m45224，点 Q1 的坐标为 （522，52

8、24）； （）当 ACAQ 时，即 AC2AQ2， 252m22m 25，解得 m3 0， m4 1，点 Q 在第四象限，当 m0 时，不合题意舍去， m 4 1 4 3，点 Q2 的坐标为 （1， 3）；（）当 AQCQ 时，即 AQ 2 CQ 2， 2m2 2m 25 2m2，25解得 m5 225427925当 m 225时，17m4127，此时点Q 在第一象限，不合题意，舍去524），Q2（1， 3）Q 的坐标为 Q1（522，综上所述，满足使得以 A、C、Q 为顶点的三角形为等腰三角形的点（3）如解图，过点 F 作 FGPQ 于点 G，（9 分） 则 FGx轴， 23，由 B（4，0

9、），C（0，4），得 OBC 为等腰直角三角形， OBC QFG 45°， GQ FG 22FQ.（10 分 ） PEAC， 1 2， 1 3， FGP AOC 90°， FGP AOC ，FG GPFG GP ，即 ，AO OC3 4GP37 （ 3m2 3m） FG34·22FQ23 2 1 2 4FQ.（11分） QPGQGP 22FQ232FQ 762FQ， FQ 3 7 2QP. PM x轴，点 P 的横坐标为 m， MBQ 45°，11 QM MB 4 m，PM 3m23m4，1 1 1 4QPPMQM 3m23m4（4 m） 3m23m.Q

10、F 3 7 2QP72m2 4 7 2m.（12 分）当 m2×（72）2 时，QF 有最大值222. 解： （1）将 A（1，0）、B（3，0）代入抛物线表达式得0a 2 c，09a 6c，解得a1， c 3 ，抛物线的表达式为点 C 的坐标为 （0， 3）；（2）如解图，连接 OD.点 D 的横坐标为 m，点 D 在抛物线上，点 D 的纵坐标为 m2 2m 3. D（m， m2 2m 3）点 D 在第四象限， m>0，m22m3< 0.1 S OCD 2×33m 2m.1SOBD2×3（m22m 3）3 2（ m2 2m 3） 23m2 3m 29

11、.SOBC12×3×329. SBCD SOCD SOBD SOCB3 3 2 9 9 2 m（2m23m2） 23 3 2 9 9 2m 2m2 3m2 23 2 9 2m22m.（0< m< 3）a2<0，当 m2×（ 32）32时，SBCD 最大 ，2784×（ 23）× 0（ 92）2S BCD334×（ 2）（3）存在，点 P 坐标为 P1（1，1），P2（1， 14），P3（1， 14），P4（1，3 17），P5（1， 3 17）【解法提示】 由（1）知，点 B（3，0），C（0， 3），抛物线的对称轴

12、为直线 x1，设点 P 的坐标为 （1，p），要使 BCP 为等腰三角形，可分 BPCP；BPBC；CPBC 三种 情况讨论： 当 BPCP 时， （3 1）2p2（01）2（ 3 p） 2，解得 p1 1，则点 P1（1，1）； 当 BPBC 时， （3 1）2p2（03）2（ 3 0） 2，解得 p2 14 ， p3 14，则点 P2（1， 14）， P3（1， 14）； 当 CP BC 时，01）2（ 3 p）2（03）2（ 3 0） 2，解得 p43 17，p53 17，则 P4（1，3 17）， P5（1， 3 17）；综上所述，抛物线对称轴上存在点P，使 BCP 为等腰三角形，点

13、P 的坐标为 P1（1，1），P2（1， 14），P3（1， 14），P4（1，3 17），P5（1， 3 17）3. 解： （1）抛物线与 x轴交于 A，B 两点，点 A 的坐标为 （2， 0），抛物线的对称轴为直线 x 1，点 B 的坐标为 （4， 0）1设抛物线的表达式为 ya（x 4）（x 2），将点 C（0， 2）代入得 8a 2，解得 a PE4OD，14x2x14x，即41x245x0，解得 x5或 0（舍）5PE4，BD1，4.1 1 1抛物线的表达式为 y14（x 4）（x2）14x212x2；（2）设点 P 的坐标为 （x，14x212x 2），则点 D 的坐标为 （x，

14、0），设 BC 所在直线表达式为 y kxb，将 B（4，0），C（0， 2）代入得，4kb0，解得b2，1b 2.1 BC 所在直线表达式为 y 12x 2.1点 E 坐标为 （x， 21x2）1PE41x2x.1 1 5 5 SPBE 2PE·BD 2× 4×1 8；（3）存在点M 的坐标为 （258，45）或 （4255， 55）【解法提示】当 DM DB 1时，如解图，过点 M作 MF x轴于点 F，第 3 题解图 11设 M（m，2m2），则 MF 2m 2，DF m 5，MD DB 1.MF2DF2DM21 （ 12m 2）2 （m5）21解得 m 2

15、58或 4（舍去）点 M的坐标为 （258，45）；当 BD BM 1时，如解图，过点 M作 x轴的垂线，垂足为 N，DEx 轴，DEMN，BNBD BM BE，BN11BE.E（5，12），DE12，BE 2解： （1）将 C（3，0），E（0，3）代入 yx2bxc中，0 9 3b c， 3 c， BN11 5，解得 BN2 525M 点的横坐标为 4255，将x4255代入 y21x2，得 y 55，即点 M 的坐标为 （ 42 5，55)5 ) 综上所述，点M 的坐标为 （ 28，545）或（4255， 55）解得b2， c 3.抛物线的表达式是 y x2 2x3；（2） y x22x

16、3（x1）24.A（1，4）设直线 AC 的表达式为 y mx n（m 0），将 A（1，4）和 C（3， 0）代入，得4mn，03mn，解得m 2， n 6.直线 AC 的表达式为 y 2x 6.设 P（1，4 t），PDAB， yD 4 t.4t 2x6.x12t.D（12t，4t）ly 轴， xQ12t.t 2 1 2 yQ （121）2444t2.t1 Q（1 2，44t2） SACQ SADQ SCDQ 12QD ·BC12（441t24t）×2 41（t2）21，141<0，0<t<4， 当 t 2 时， S ACQ 最大，最大值是 1；（3）

17、存在点 M 的坐标为 （2，2）或（2， 3 14）或（4， 17）解法提示】 设点 P（1，p）（t>0），以 P，M，E，C 为顶点的四边形是菱形， 当 CE 为对角线时， PC PE，且 PM 与 CE 互相垂直平分，（10）2（p3）2（31）2p2，解得 p1，即点 P 的坐标为 （1，1）， 由菱形中心对称性质可知，点M 的坐标为 （2， 2）； CPCE3 2，即 （3 1）2p23 2，解得 p± 14（负值舍去 ），即点 P 的坐标为 （1， 14），此时点 M 的坐标为 （ 2，3 14）； EP CE3 2，即 （10）2（3p）23 2，解得 p3

18、77; 17（负值舍去 ），此时点 P 的坐标为 （1， 3 17），则点 M 的坐标为 （4， 17）5. 解： （1）将点 A（5，0），B（1，0）代入解析式得，10095b c 0，94bc0，解得169，c20.9.抛物线解析式为 y 94x2 196x290，则顶点 D 的坐标为 （ 2， 4）； （4 分）（2）令点 P 的坐标为 （x， 94x2196x290），又抛物线对称轴为直线 x 2 ，矩形 PEFG 的周长为2（94x2196x290）4（2x）8 2 68 32 8 2 17 8 17 2 259x29x 99（x22x4） 9（x4）22即当 x 4时，矩形 PEFG 周长有最大值，此时点P 的横坐标为17；4；(3)存在，此时 AN 的长为 或 1.理由如下：点 D 为抛物线顶点，故 AD BD，根据 36题意可知， DMN 为等腰三角形时有如下几种情况： 当 DN MN 时， DMN DBA DAB ， ADM DBA， MDA DBA,DM AD. BD AB.根据点 A、B、D 坐标可得 BDAD5，AB 6DM 2656又 NDM DAB ，DN DM. AD AB.25 DN 6 5 6. DN125，则 AN512555；36 36 36 当 DMMN 时，则有 MDN DN