2021年广东省河源市中考数学一模测试卷

1、2021年广东省河源市中考数学一模测试卷一. 选择题（共10小题，满分27分）1. 下列各对数中，互为相反数的是（）A. 一2与 3B. 一（+3）与 +（-3） C. 4与 YD. 5 与52. （3分）某同学在今年的中考体冇测试中选考跳绳.考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247, 253, 247, 255, 263.这五次成绩的平均数和中位数分别是（）A. 253, 253B. 255, 253C. 253, 247D. 255, 2473（3分）在平而直角坐标系中，点A（-3-2）关于y轴的对称点在（4.5.A.第一象限B.第二象限（3分）一个多边形每个外角都等于3

2、6。,A. 7B. 8（3分）要使仃有意义，则“的值是（C.第三彖限则这个多边形是几边形（C9D.D.第四象限10B a>0C a<0A.保持不变8. （3分）若关于兀的不等式组、2a + 7>4x+1x-k<2的解集为x<3,则k的取值范国为（B kvlC6.（3分）如图，任四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点0是边BC上的左点，连接AP，PQ, E, F分别是AP, PQ的中点，连接£F点P在由C到D运动过程中,B.逐渐变小D.逐渐变大C.先变大，再变小7. （3分）抛物线y =（A-l）2+3关于兀轴对称的抛物线的解析式是（）A. y = -

3、(x-l)2+3 B y = (x + l)'+3C y = (x-l)2-3 D y = -(x-l)2-3第页（共25贞）9. （3分）如图：将边长为6的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在加边中点E处，点C 落在点Q处，折痕为FH ,则线段AF的长是（）第5页（共25页）9QA. 2B.匕C. 3D.匕10. （3分）二次函数y = ax2+bx + c（a0）的图象如图所示，下列结论:-4ac > 0 :"加 <0;4+ /? = 0 ;4</ 2Z? + c>0 其中正确结论的个数是（）C. 2D1二. 填空题（共7小题，满分28分，每小题4分

4、）11 （4 分）彳匕简:ci + + a（a +1） + a（a +1）2 +. + a（a +1）99 =12. （4分）单项式3严丫与*小严是同类项，则m-n=_.13. （4 分）若 石+1 方一 21=0,则（a+b）2020 的值为.14（4分）已知a + b = 2, ab = ,求a-2ab + b的值为15. （4分）如图，菱形ABCQ的边长为4, ZA = 45°,分别以点A和点3为圆心，大于丄AB 2的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点连接CE,则CE的长A16.（4 分）如图，AB , AC , BC 是 的三条弦，OD 丄 AB . OE

5、 丄 BC,OF 丄 AC,且OD = OE = OF,贝IJ弧从?=弧=弧, ZABC=。，A4BC是三角形.17. （4 分）如图，在RL1ABC中，ZACB = 90°, BC = 49 AC = 10,点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O,连接BD交圆O于点E,则AE的最小值为三. 解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）18. （6 分）先化简，再求值：（2x-yY -4（x + y）（x-y） + 5a ,其中x = 6, y = -2.19. （6分）校医院调査在校七年级学生的体重，对七年级30名男生进行了调査，平均体重 为48畑，你觉得这个可以作为七年级学生平

6、均体重的估il吗？为什么？20. （6分）如图，已知AB = AC. AD = AE, 3D和CE相交于点O（1）求证：AABD = A4CE；（2）判断ABOC的形状,并说明理由.BC四. 解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）21. （8分）阅读理解，并回答问题：若 "是方程ax2+bx + c = 0的两个实数根，则有ax2+bx + c = a（x-xx）（x-x2）.即ax2 +bx + c = ax2 -a(x +x2)x + axx2 ,于是h =+x2) > c = axx2 由此可得一元二次方程的根与系数关系：x=-这就是我们众所周知的韦达左理. aa（1

7、）已知川，“是方程工-X-100 = 0的两个实数根，不解方程求+/Z2的值；（2）若齐，x2, X3,是关于x的方程x（x-2）z =t的三个实数根，且A）< , < X,:（D x2 4- x2xy + X3X1的值：求七一召的最大值.22. （8分）如图，在OO中，点C为AB的中点，ZACB = 120°, OC的延长线与交于点 D，且 =（1）求证：AD与OO相切：（2）若CE = 4,求眩加的长.23. （8分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A, 3两种健身器材若干件，经 了解，3种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍,用7200元购买A种健身器材比

8、用5400 元购买种健身器材多10件.（1）A, 3两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A , 3两种健身器材 共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？五. 解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）24. （10分）在如图平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点的坐标为（4.2）, OA、OC分 別落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线.将AOAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴 上，得到'ODE, OD与CB相交于点F,反比例函数y = £（x>0）的图象经过点F,交AB（1）求斤

9、的值和点G的坐标；（2）连接FG,则图中是否存在与ABFG相似的三角形？若存在，请把它们一一找岀来,并选其中一种进行证明：若不存在，请说明理由：（3）在线段OA上存在这样的点P,使得APFG是等腰三角形请直接写出点P的坐标.25. （10分）如图，抛物线y =-丄疋+丄卄2与兀轴交于点A，点3,与y轴交于点C,点D与点C关于A轴对称，点P是X轴上的一个动点，设点P的坐标为（加,0）,过点p作.¥轴 的垂线/交抛物线于点Q.（1）求点A、点、点C的坐标：（2）当点P在线段OB上运动时，直线/交直线3D于点M,试探究加为何值时，四边形 CQWD是平行四边形：（3）点P在线段初上运动过程中

10、，是否存在点Q,使得以点“、Q、M为顶点的三角形 与ABOD相似？若存在，求出点0的坐标；若不存在，请说明理由.2021年广东省河源市中考数学一模测试卷参考答案与试題解析选择题（共10小题，满分27分）1. 下列各对数中，互为相反数的是（ ）A. 一2与 3B. 一（+3）与 +（-3）C. 4与 YD. 5 与5【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.【解答】解：A、只有符号不同的两个数互为相反数，故A错误：B、都是-3,故3错误：C、只有符号不同的两个数互为相反数，故C正确；D、互为倒数，故D错误：故选：C.【点评】本题考査了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.

11、2. （3分）某同学在今年的中考体冇测试中选考跳绳.考前一周，他记录了自己五次跳绳的 成绩（次数/分钟）：247, 253, 247, 255, 263.这五次成绩的平均数和中位数分别是（ ）A. 253, 253B. 255, 253C. 253, 247D. 255, 247【分析】根据中位数、众数的计算方法，分别求岀结果即可.【解答】解：元= （247 + 253 + 247 + 255 + 263）-5 = 253,这5个数从小到大，处在中间位苣的一个数是253,因此中位数是253：故选：A.【点评】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，掌握中位数、众数的计算方法是正确计算的前提.3.

12、 （3分）在平而直角坐标系中，点4（-3,-2）关于y轴的对称点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三彖限D.第四象限【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根 据各象限内点的坐标特点解答.【解答】解：.点4（-3-2）关于y轴的对称点是（3-2）,.- A（-3,-2）关于y轴的对称点在第四象限.故选：D.【点评】此题主要考査了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律:（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数.（2）关于y轴对称点 的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变.4. （3分）一个多边形每个外角都等于36。

13、，则这个多边形是几边形（）A. 7B. 8C. 9D. 10【分析】多边形的外角和是360。，又有多边形的每个外角都等于36。，所以可以求出多边形 外角的个数，进而得到多边形的边数.【解答】解：这个多边形的边数是： = 10.故答案是D.36°【点评】本题考查多边形的外角和，以及多边形外角的个数与英边数之间的相等关系.5. （3分）要使有意义，则a的值是（）A.B. 6/>0C. <0D a = 0【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可.【解答】解：由题意得，, 解得“ = 0.故选：D.【点评】本题考査了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否

14、则二 次根式无意义.6. （3分）如图，任四边形中，点P是边CD上的动点，点0是边BC上的左点，连 接AP，PQ，E, F分别是AP, P0的中点，连接点P在由C到D运动过程中， 线段EF的长度（）A.保持不变B.逐渐变小C.先变大，再变小D.逐渐变大【分析】连接A0，根据三角形中位线左理解答即可.第9页（共25页）【解答】解：连接AQ,.点0是边BC上的左点，：.AQ的大小不变，. E, F分别是AP, PQ的中点,.efJaq,线段必的长度保持不变，故选：A .S 0C【点评】本题考査的是三角形中位线泄理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第 三边的一半是解题的关键.7. (3分)抛

15、物线y = a-l)2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是()A. y = -(x-1)2+3 B. y = (x + l)2+3 C. y =(A-l)2-3 D. y = -(x-l)2-3【分析】抛物线y = U-l)24-3的顶点坐标为(1,3),关于x轴对称的抛物线顶点坐标为 (1,-3).且开口向下，将二次项系数变为原抛物线二次项系数的相反数，用顶点式写出新抛 物线的解析式即可.【解答】解:vy = (x-l)2+3的顶点坐标为(1,3),关于x轴对称的抛物线顶点坐标为(1,-3),且开口向下， 所求抛物线解析式为：y = -(x-1)2-3.故选：D.【点评】本题考查了二次函数图象

16、的轴对称与解析式的关系.关键是明确顶点的对称及抛物 线开口方向的变化对解析式的影响.8. (3分)若关于x的不等式组、的解集为x<3,则£的取值范国为(A. >1B. R<1【分析】不等式整理后，由已知解集确左出&的范围即可. 第8页(共25页)x <, 3 【解答】解：不等式整理得：,x<k + 2»由不等式组的解集为x<3,得到k的范围是故选：C.【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.9. （3分）如图：将边长为6的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在加边中点£处，点C落在点。处，折痕为

17、FH ,则线段廿的长是（）99A. 2B_C3D_45【分析】设EF = FD = x,在RtAAEF中利用勾股定理即可解决问题.四边形ABCQ是正方形.AB = BC = CD = AD = 69AE = EB = 3, EF = FD、EF = DF = x 贝 iAF = 6-x,在 RtAAEF 中，-AE2+AF2=EF2 ,.32+(6-a)2=x2,15.X 9AF = 6- =-故选：B.【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股左理等知识，解题的关键是设未知数利用 勾股左理列出方程解决问题.10. （3分）二次函数y = ax2+bx + c（a0）的图象如图所示，下列结论

18、：，一4心>0 :“处 <0：4+ Z? = 0 :4</ 2Z?+c>0 其中正确结论的个数是（）【分析】先由抛物线与x轴交点个数判断出结论，利用抛物线的对称轴为*2,判断出 结论，先由抛物线的开口方向判断岀“<0,进而判断出b>0,再用抛物线与y轴的交点 的位苣判断出c>0,判断出结论，最后用x = 2时，抛物线在x轴下方，判断岀结论, 即可得出结论.【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，.-方程2+bx + c = 0有两个不相等的实数根，/. b2 -4ac > 0 ,故正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为a=2,.-.- = 2

19、,加.滋+ b = 0,由图象知，抛物线开口方向向下，/." v 0,.4d + b = 0,:.b > 0 ,而抛物线与y轴的交点在V轴的正半轴上，.c>0 >."cvO,故正确，由图象知，当x = -2时，>-<0,皿-2/+<0,故错误，即正确的结论有3个，故选：B第13页（共25页）【点评】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称 轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键.二. 填空题(共7小题，满分28分，每小题4分)11 (4 分)fL简:"+ 1 + "(" + 1)

20、+ “(" + 1)+ + "(“+ 1) '=_(" + 1)“ _【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果.【解答】解：原式=(“ +1川 + " +1) +1)，+ + a(a + 1尸=(a +1)21 + u + a(a +1) + ci(a +1)' + + ci(ci +1)9 =(ci +1)31 + “ + "(" +1) + a(a +1)2 + + a(a +1)96=(a + 1)HX,.故答案为：(“ + 1严.【点评】此题考査了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.1

21、2. (4分)单项式3丫与丄十)严是同类项，则加一 =12 '【分析】根据同类项的槪念列式求出川、“，计算即可.【解答】解：由题意得，“+ 1 = 2,加+ 1=3，解得，“ =1，? = 2，则 m = 1 ,故答案为：1.【点评】本题考查的是同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的 项叫做同类项.13. (4 分)若 JTT万+1 方一21=0,则(</+)2020 的值为 1.【分析】首先根据非负数的性质可求出“、的值，进而可求出“、的和.【解答】解：. /万+“一2l=o,." + 3 = 0, Z? 2 = 0，则（a + b）2MO=（-

22、l）2O2O = l.故答案为：1.【点评】此题主要考査了非负数的性质，关键是掌握初中阶段有三种类型的非负数：（）绝 对值：（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）.当它们相加和为0时，必须满足其中的 每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类题目.14. （4 分）已知 “ + b = 2, ab = ,求 a-2cib+b 的值为 0 .【分析】整体代入即可求岀结果.【解答】解:va+Z> = 2> ab = lt:.a 2cib+b = a+b 2iih = 2 2 = 0 故答案为：0.【点评】考查代数式求值，整体代入是求值常用的方法.15. （4分）如图，菱形ABCQ的边

23、长为4, ZA=45°>分别以点A和点3为圆心，大于丄的长为半径作弧，两弧相交于N两点，直线M/V交血于点连接CE,则CE的长为_2岳_【分析】如图，连接伪.证明是等腰直角三角形，利用勾股左理求岀AE, EB, EC即可.【解答】解：如图，连接由作图可知，MN垂直平分线段加,:EA = EB,第12贞（共25页）：Z4 = Z£K4 = 45。，:.ZAEB = 90°,.初=4,:.EA = EB = 2 近,.四边形MCD是菱形，:.ADI/BC,二 Z£BC = Z4£B = 90。，EC = y/EB2 + BC2 = J（2近f

24、 +42 =,故答案为2点.【点评】本题考査作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.16.（4分）如图，AB , AC , BC是Oo的三条弦，OD丄AB, OE丄BC,OF丄AC,且OD = OE = OF,贝I弧人0 =弧_力3_=弧, ZABC=°, A4BC【分析】由垂径定理得BE = EC, BD = AD；若连接OB、OC、OA ,则可证 得OCE = OBE = OBD,再得MBC是等边三角形，然后运用圆周角定理 可解.【解答】解：连接OB, OC, OA：OD丄AB, OE1BC,由垂径

25、定理知，BE = EC, BD = AD,.OB = OC,:.OCE = OBE = OBD,BE = EC = BD = AD,第久3贞（共25页）同理，AD = AF = CF = CE,.ab=bc=ac,即AABC是等边三角形,/.ZABC = 60° , AC = AB = BC.【点评】本题利用了垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理求解.17. （4 分）如图，在 RL1ABC 中，ZACB = 90°, BC = 4, AC = 10 ,点 D 是 AC 上的一个动点，以CD为直径作圆O,连接BD交圆O于点E,则AE的最小值为_2购-2_【分析】连接

26、CE ,取BC的中点F ,作直径为BC的0 F ,连接EF, AF,证明ZCEB = 90° , 说明£点始终在OF上，再由在整个变化过程中，AE0F - EF ,当A、£、F三点共线 时，AE最最小值，求出此时的值便可.【解答】解：连接CE,取BC的中点F,作直径为BC的OF ,连接EF, AF，vBC = 4,.CF = 2,ZAC6 = 90。，AC = 10, AF = >jAC2+CF2 =7TO4 = 2a/26.CD是GX?的直径，ZCED = ZCEB = W二E点在OF上，.在D的运动过程中，AEAF _ EF ,且A、E、F三点共线时等号

27、成立，第14贞（共25页当A、E、F三点共线时，AE取最小值为AF-EF = 2 2故答案为：2>/26-2【点评】本题主要考查了圆的基本性质，圆周角龙理，勾股左理，三角形的三边关系，关键 是确泄AE取最小值的位置.三. 解答题(共3小题，满分18分，每小题6分)18. (6 分)先化简,再求值：(2xy)2 -4(x+y)(x y) + 5.y，其中 a =6 , y =-2.【分析】先按照完全平方公式、平方差公式及合并同类项的方法将原式化简，再将a=6,y = -2代入求值即可.【解答】解：原式= 4x2-4xy< + y2-4(x2-y2) + 5xy<=4x2 _ A

28、xy + y2 _ 4x2 + 4y2 + 5xy= 5y2 +xy .当 x = 6, y = -2 时，原式= 5(-2)2+6x(-2)= 20-12=8【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握整式乘法的相关运算法则是解题 的关键.19. (6分)校医院调査在校七年级学生的体重，对七年级30名男生进行了调查，平均体重 为48畑，你觉得这个可以作为七年级学生平均体重的估计吗？为什么？【分析】根据样本估讣总体思想求解可得.【解答】解：这个不能作为七年级学生平均体重的估计，因为调查的样本，即30名男生的体重相对于女生的体重要高，用30名男生的体重来估计全体七年级学生的体重不具有代表

29、性，所以这个不能作为七年级学生平均体重的估计.【点评】本题考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、 容量越大，这时对总体的估计也就越精确.20. （6分）如图，已知AB = AC，AD = AE，和CE相交于点O.（1）求证：=（2）判断MOC的形状，并说明理由.【分析】（1）由“ SAS ”可证AABDsAACE；（2）由全等三角形的性质可得=由等腰三角形的性质可得ZABC = ZACB,可求ZOBC = ZOCB，可得BO = CO,即可得结论.【解答】证明：（1）.AB = AC，ZBAD = ZCAE, AD = AE,:.ABD = AACE（SAS）；（

30、2） MOC是等腰三角形，理由如下：. MBD = AACE ,ZABD = ZACE,. ZABC = ZACB,：.ZABC-ZABD = ZACB-ZACE.乙OBC = ZOCB，:BO=CO>s.SBOC是等腰三角形.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判泄和性质，灵活运用全等三 角形的性质是本题的关键.四. 解答题(共3小题，满分24分，每小题8分)21. (8分)阅读理解，并回答问题：若舛，吃是方程ax2 + bx + c = 0的两个实数根，则有ax2 + hx + c = a(x-)(x-x2).即 ax' + hx + c = ax2 -a(

31、x + x2)x + axx2 ,于是Z? = -4(舛 + 疋)，c = ax".由此可得一元二次方 程的根与系数关系：xl+x.=-，x=-这就是我们众所周知的韦达泄理.a a(1) 已知川，“是方程a2-x-100 = 0的两个实数根，不解方程求m2 +n2的值；(2) 若X, x2,心，是关于X的方程x(x-l)2 =t的三个实数根，且A)< , < x3 ： 兀兀+兀2兀3 +兀石的值：求的最大值.【分析】(1)由根与系数的关系先得出m + n = , /m = -100,再利用完全平方公式的变形 可得答案：(2) 由题意得：x(x-2)2-t = (x-xl)

32、(x-x2)(x-x3),将等式两边分别整理，再比较对应 项的系数可得答案； 先由得岀的结论求得斗+入)=4 一xx3x( =4 一 (西4-x3)x2 , x3x=,然后由X2(“-和2=(“+和2_4“召及配方法得出a3-A-,)2的最大值，再开平方，求其算术平方根即 可.【解答】解：(1) ，“是方程x2-x-100 = 0的两个实数根/. m + n = ,眺=一100/. nr + n2 = (m + n)2 一 2nui= l2-2x(-100)= 201：(2)由题意得：x(x-2)2-t = (x-x)(x-x2)(x-x3)/. x5 _4x2 +4x-t = x3 _(x,

33、 + x2 + x3)x2 + (x,x2 + x2x5 + x3x)x_xxx2x3 “I + £ + £ = 4 , xxx2 + x2xy + x3a, = 4 > xxx2xy = t第21贞(共25页)/. XAX2 + x2x3 + XyXx 的值为 4：入+£ + £ =4.+ x2x3 + x5Xj = 4第18页（共25页）兀2 （x3 -X|尸=（Xj + A,）2 一4x3x （x3 -A；）2 =（4一兀2）' 44一（州 +x3）x2=-3x? + 8无23334当兀=-时，忑-召的最大值为:3二兀-召的最大值为土

34、工 【点评】本题考查了根与系数的关系在整式求值中的应用，明确根与系数的关系并熟练运用 完全平方公式及配方法是解题的关键.22. （8分）如图，在OO中，点C为的中点，ZACB = 120°, OC的延长线与AQ交于点D,且ZD = 4（1）求证：AQ与OO相切：（2）若CE = 4求弦AB的长.【分析】（1）连接OA,由C4 = CB,得CA = CB,根据题意可得岀ZO = 60% 从而得出Z6HD = 90°,则 AD 与 0O 相切;（2）由题意得OC丄AB, RtABCE中，由三角函数得BE = 4书,即可得出的长.【解答】（1）证明：如图，连接04, CA = C

35、B ,：.CA = CB,又ZACB = 12O°9/.ZB = 30°,.ZO = 2ZB = 60%VZD = ZB = 3O%.ZOAD = 180°-（ZO + ZD） = 90° ,.AQ与OO相切；（2）ZO = 60°, OA = OC,：.OAC是等边三角形，.ZACO = 60。，.ZACB = 120。， .ZACB = 2ZACO, AC = BC ,.OC丄AB, AB = 2BE,vC£ = 4, ZB = 30°,.BC = 2CE = ,:.BE = JBC? -CE，=届-42 =4®

36、;.AB = 2BE = £*、.弦AB的长为8 V【点评】本题考查了切线的判左和性质，垂径左理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定和 性质是解题的关键.23. （8分）倡导健康生活推进全民健身.某社区去年购进A, 两种健身器材若干件，经 第均页（共25贞）了解，3种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍,用7200元购买A种健身器材比用5400 元购买种健身器材多10件.（1）A, 两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A , 3两种健身器材 共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？【分析】（1）

37、设A种型号健身器材的单价为x元/套，3种型号健身器材的单价为1.5x元/套， 根据"B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400 元购买3种健身器材多10件”，即可得出关于x, y的分式方程，解之即可得出结论：（2）设购买A种型号健身器材加套，则购买种型号的健身器材（50-加）套，根据总价=单 价x数量结合这次购买两种健身器材的总费用不超过21000元，即可得出关于加的一元一次 不等式，解之取其最小值即可得出结论.【解答】解：（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，3种型号健身器材的单价为1.5x 元/套，中白餉心 -r如 72005400根

38、据题意，可得：= 10,x .5x解得：x = 360 经检验a = 360是原方程的根，1.5 x 360 = 540 （元），因此，A, 3两种健身器材的单价分别是360元，540元：（2）设购买A种型号健身器材川套，则购买3种型号的健身器材（50-/n）套，根据题意，可得：360加+ 540（50-加）冬21000,解得：，心33丄，3因此，A种型号健身器材至少购买34套.【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准 等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等 式.五. 解答题（共2小题，满分20分，每小题10

39、分）24. （10分）在如图平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点的坐标为（4,2），OA、OC分 别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线.将AOAB绕点O逆时针旋转，使点3落在y轴上，得到ODE, OD与CB相交于点F,反比例函数y = -（x>0）的图象经过点F,交AB x于点G .（1）求R的值和点G的坐标；（2）连接FG,则图中是否存在与ABFG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选英中一种进行证明：若不存在，请说明理由：（3）在线段OA上存在这样的点P,使得APFG是等腰三角形.请宜接写出点P的坐标.【分析】(1)证明COFsAAOB，则,求得：点F的坐标为(1,2),即

40、可求解： AB OA(2 ) SCOFABFG : SAOBABFG : AODESBFG ; ACBOSBFG 证AOAB-abFG: = -, 4 = 1 = 即可求解BF 3 BG 332(3)分GF = PF、PF = PG、GF = PG三种情况，分别求解即可.【解答】解：(1)四边形为矩形，点3的坐标为(4,2),/.ZOCB = ZOAB = ZABC = 90°, OC = AB = 2, OA = BC = 4,'ODE 是 AQW 旋转得到的，即：SODE = SOAB,.ZCOF = ZAOB, . .COFsAAOB， CF _OC . CF_2 ,

41、f 1 AB OA 24.点F的坐标为(1,2),vy = -(x>0)的图象经过点F,x/. 2 = -J-» 得 R = 2 ,.点G在肋上，点G的横坐标为4,对于y = J当x = 4,得=丄，x'2点G的坐标为（4.1）:2（2 ） «OFs鱼FG; MOBsBFG ; SODEBFG:鱼FG 下面对HOABsBFG进行证明:点G的坐标为（4丄），.AG =丄，2 2.BC = ai = 4, CF = AB = 2,.BF = BC-CF = 3,3BG = AB-AG = 2AO_4 /W _ 2 _ 4BF " 3 '丽一3一§2.AO _ ABbf=bg'vZOt4B = ZFfiG = 90% OABs 空BG （3）设点 P（/n,O）,而点 F（l,2）、点G（4丄）,29 45i贝 ljFG2=9 + -=> Ph =（加一 i）2+4, pg2=（/-4）2+-,4 44当GF = PF时,即i5 = （w-l）2+4,解得：心