高三C专题(函数的值域5星)

1、专题：函数的值域和最值10一位数学家向一位女孩表白：IIIDarling ,II你是我的值域!II;如果没有你，我不知道该去哪里知识梳理也5 min.1. 函数的值域：.2. 常见函数的值域3. 函数的最小值：函数的最大值：4. 求函数值域（最值）的常用方法:求函数值域（最值）没有通解通法，只能根据函数解析式的结构特征来确定相应的解法。主要通过函数的单调性及基本不等式确定，特别是几个常见函数如二次函数、分式函数及指对数函数等值域的确定方法需要熟练掌握。求函数值域的基本方法:值域的常取求法注：换元法在考试中考察较少、数形结合法对学生的要求较高，以及个别较难的典型题目，均统一放在五星级讲 义中讲解

2、。学科教师可以选讲。典例精讲31mi n.例1.（）求下列函数的值域：（1）y lg x x26x（1 x 2）解：（单调性法）当1 x 2时，y lg x单调递增，y x2 6x单调递减。增函数减去减函数为增函数，故y lg x x2 6x在x 1,2上单调递增，故 y f（1）,f（2）5, lg2 8。（2）y 2x 、2x 1解：（换元法）令 t 2x 10,），贝U 2x t2+1，23y t t 1, t 0,）, 故 y （,4（3）y 2x ,2x 1解:（法一：（换元法）令 t 2x 1 0,），则 2x t2+1,2y t t+1, t 0,）, 故 y 1,）。（法二：（

3、单调性法）x 丄，），y1 2x, y2 U2x2 2故 y f(o),) 1,)(4) y3 sin x2 cosx解：函数视为点(2,3)到单位圆上任意一点形成的直线的斜率的集合,由圆心到直线的距离小于等于半径，得|3 2k|11 k2解得，k 穿3,63，从而,33方法小结:(1)对基本初等函数的和函数，常利用单调性法进行判断。2如 y x cosx, x 0,，在0,上，y2x单调递增,令y cosx单调递减,增函数减去减函数是增函数，故y 在0,上单调递增。(2)对形如yax b cx d(a 0, c 0)的函数，可利用换元法，设t cx d来求函数的值域;注意观察，易发现(2)(

4、 3)两题几乎完全一样，但在(2)中的两个2x的符号相反，而在(3)中两个2x1的正负一致，在区间2,)上同为增函数，故当 a,c的符号一致时，除选用换元法外，还可以选用单调性法。a sin x(3)对形如y的函数，注意到其形如直线的斜率公式b cosxky1 y2，故可利用数形结合法，视y为点x,0(b,a)到单位圆上的点形成的直线的斜率的集合。例2.()如图，矩形 OABC中，AB=1，OA=2，以B为圆心、半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PM OA，垂足为 M，PN OC，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为 .突破口：求解的问题在四边形 OMPN上，而以B为圆心、BA为半径

5、的弧 较特殊，故可从弧上寻找等价条件。BABA为解：令PM x, PN y，不妨假设OMPN的周长为t,由图，圆心到直线的距离小于等于半径,112 2|1。则 2(x y) t ,y x -，是斜率为1的平行直线族。2由图易得，PB (1 x)2(2 y)2 ,22整理得，(x 1) (y 2)1，为以(1,2)为圆心，以1为半径的单位圆。故四边形OMPN周长的最小值问题转化为直线与圆相交所得截距的最值问题。解得 62 2 t 62 2。故，四边形OMPN周长的最小值为6例3.()设函数f(x) ax(k 1)ax(a0且 a1)是定义域为3R的奇函数.若叫，g(x)a2x a 2x2mf (

6、x)在1,)上的最小值为求t的值.突破口:?2 X2xa2 2x 和 2x'与ax a x之间的联系:x故选用换元法。ax 22xa2x2。由g(x)的表达式中同时出现了3解：Tf(1)=,23，即 2a223a2 0,12(舍去).(2x 2 x)2 2m (2xx)2.令t f(x)2x2 x易知f (x)2x 2 x 1 ,3tf(1)2，令 h(t)t22mt 2(t m)22m2(t卄3若m，当2i tm时，h(t)min22 m卄3r3丄17右m，当i t时，h(t)min3m224综上可知m2.2 , m 23)x为增函数2m (2x 22，解得m 至1222xx)- g

7、(x) 22x3，舍去2巩固练习:1. ()求下列函数的值域：(1) y .jn 2x(2) y .jn 2x解：(1)(单调性法、换元法)2,);15(2) (换元法)15,)；8(3) (数形结合法)198,198332. ()如图，矩形 OABC 中，AB=1，OA=2，以 BC 中点 E为圆心、以1为半径在矩形内部作四分之一圆弧CD (其中D为OA中点)，点P是弧CD上一动点，PMBC，垂足为M , PN AB，垂足为N,则四边形PMBN的周长的最大值为 .4 sin x2 cosx解：2 221，四边形OMPN周长的最小值问题转化为直提示：令BM x, MP y，由图易得,EP (x

8、 1)2 y2线与圆相交所得截距的最值问题即可解决。3.(1)()已知函数f(x)(-ab 2时，求f (x)的最小值;0,当a当a 1,设k、c求证：f1(X)f2(X)k2, b4c2解：当a 1, bk(k c)'2 时，f (x)先证:令 t x 2 (xx此时函数g(t)- f (x)min f( 2)对于x(0,(x 1)2 (bxb，则tx(t 1)2f(x)函数g(t)1)22 x (0,)，其中0 ab.(k c)2 时，记 f (x)f1(x);当(k c)2, b(k 2c)2 时，记 f (x)f2(x).(x 2 1)22 时，t 2 2 ,(x 1)22 2

9、，当且仅当x2 2,)上单调递增，36 4 2.f ( ab)2? 1(x 0),屈时取等号，且2晋(x 1)20)，则 t1)2 3 在 t (2 2 1)2 ),f(x)/X b ( a x(t1)21)22 b ,当且仅当x丕1在a '在)上单调递增， f(x)当 ak2, b (k c)2时，f(x)f«x)fk(k c)鴛当 a (k c)2, b (k 2c)2 时，f(x)f2(x)f(k c)(k 2c)1f ( ab)2c2(k c)2显然上述两个等号不同时成立二 fi(x)f2(X)2c22c2k2(k c)24c2k(k c)4.()记函数f(x)在区间

10、D上的最大值与最小值分别为max f (x) | x D 与x 2b, x 1,bmin f (x) | x D .设函数 f(x)( 1 b 3), g(x) f (x) ax, x 1,3,b, x (b,3令 h(a) max g(x) | x 1,3 min g(x) |x 1,3，记 d(b) min h(a) |a R .(1) 若函数g(x)在1,3上单调递减，求a的取值范围;b 1(2) 当a时，求h(a)关于a的表达式；2(3) 试写出h(a)的表达式，并求 max d(b) | b 1,3解：(1) g(x)(a 1)x 2b,x 1,bax b,x (b,3a 1 0由题

11、意a 0当 b 2a 1 时，0 a 1, g(x)(a 1)x 4a 2,x 1,2a 1 ax 2a 1, x (2 a 1,3显然g(x)在1,2a1上单调递减，在2 a 1,3上单调递增,又此时 g(1)g(3) 5a 1，故 maxg(x)|x 1,3g(1) g(3) 5a 1 ,min g(x) |x 1,3 g(2a 1) 2a2 3a 1从而：h(a) = 2a2 2a,a 0,1 .(3)g(x)(a 1)x 2b, x 1,b ax b,x (b,31)当a0 时，max g(x) |x 1,3 =g(1)=a+2b-1, min g(x) | x 1,3 =g(3)=3

12、a+b此时，h(a) 2a b 12)当a1 时，max g(x) | x 1,3 =g(3)=3 a+b, min g(x) |x 1,3 = g(1)= a+2b-1此时，h(a) 2a b 13)当0b 1a时，max g(x) | x 1,3 = g(1)=a+2b-1, min g(x) |x 1,3 = g(b)=ab+b,2此时，h(a) a b ab 1b 14)当 a 1 时，max g(x)|x 1,3 =g(3)=3a+b,min g(x)|x 1,3 = g(b)=ab+b,2此时，h(a) 3aab。2a b1,a0(1 b)ab1,0a故 h(a)b 1(3 b)a

13、,22a b 1,a 1b 1b 1因h(a)在(，上单调递减，在,)单调递增，2 2故 d(b) min h(a) | a R =h( _ )= _,2 21故当 b 2 时，得 max d (b) | b 1,3.2以下题目为备用题1.()定义在R上的函数f(x)，当x ( 1,1时，f(x) x2 x，且对任意的x满足A 、1 3 aB13、aC4414a314a3f (x 2)af(x)(a 0)，则函数f (x)在区间(5,7上的最小值是(解：D解析：当x (5,7时，x 6(1,1， f(x 6)(x 6)2 (x 6)x213x 42f (x 6)min123一，而 f (x 6) af (x 4) a f(x 2) a f (x) 41故 f (x)= 3 f(x 6)， f (x)mina14a32.() 已知关于x的不等式组1 kx22有唯一实数解，则实数k的取值集合是解：1 +寸2 或 2提示：不等式组只能转化为两种情形:2x k23.()已知函数f(x) 2x a,g(x) x 6x 1,对于任意的 人1,1都能找到X 1,1