2020年东北三省三校高考数学二模试卷(有答案解析)

1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2020 年东北三省三校高考数学二模试卷选择题（本大题共 12小题，共 60.0 分）已知集合 ，则（ ）A. A? BB. B? AC. AB=RD. AB=?已知 z-2=（z+2） i（ i 为虚数单位），则复数 z= （）A. 1+2iB. 1-2iC. 2iD. -2i圆 x2-4x+y2=0 与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有（ ）A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“ 2 次正面朝上， 1 次反面朝上”的概率 为（）A. B. C. D.已知 是第三象限角，且 cos（） = ，

2、则 sin2 （= ）A.C.D.已知菱形 ABCD 的边长为 2，DAB =60 °，点 E，F 分别为BC，CD 的中点， 则=（）A. 3B. 1C.四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD ，底面 ABCD 是正方形， 且 PA=AB=2，则直线 PB与平面 PAC 所成角为（）将函数 f（x）=sin（2x+ ）的图象向右平移 （> 0）个单位长度，得到函数 g（x） 的图象，且 g（-x） =-g（ x），则 的一个可能值为（ ）B. C. D.双曲线 C：=1（a> 0，b>0）， F 1，F 2分别为其左，右焦点，其渐近线上一点G 满足 GF1G

3、F2，线段 GF1与另一条渐近线的交点为 H，H 恰好为线段 GF 1的中点， 则双曲线 C 的离心率为（ ）A.B. 2C. 3D. 4已知函数 f（x）=ex-e-x+，若 f（ lgm）=3，则 f（lg ）=（）A. -4B. -3C. -2D. -1已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）D. 812. 定义区间 a，b，（ a，b），（a，b，a，b）的长度为 b-a如果一个函数的所有 单调递增区间的长度之和为 m（其中 m（ 0，e，e为自然对数的底数），那么称 这个函数为“ m 函数”下列四个命题： 函数 f（x） =ex+ln x不是“ m 函数”； 函数 g

4、（x）=lnx-ex是“m 函数”，且 mem=1 ； 函数 h（x）=exlnx是“ m函数”； 函数 （x）= 是“ m函数”，且 mlnm=1 其中正确的命题的个数为（ ）A. 4个B. 3个 C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 函数 f（x）=，则 f（f（-e） =14. 已 x，y 满足约束条件，则 z=3x+y 的最大值为 15. 设ABC的内角 A，BC的对边分别为 a，b，c，且 b=6，c=4，A=2B，则a=16. 以抛物线 y2=2px（p>0）焦点 F为圆心， p为半径作圆交 y轴于 A， B两点，连结 FA交抛物线于点

5、 D（D 在线段 FA上），延长 FA交抛物线的准线于点 C，若|AD |=m， 且 m1，2，则 |FD |?|CD|的最大值为 三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分）17. 已知 Sn是数列 an的前 n项和， Sn=n2+2n，等比数列 bn 的公比为 4，且 a2=5b1 （）求数列 an ，bn 的通项公式；（）求数列 an?bn的前 n 项和 Tn18. 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，点 D 是棱 B1C1的中点， AB=AC= ， BC=BB1=2（ ）求证： AC1平面 A1BD； （）求点 D 到平面 ABC 1的距离19. 一个经销鲜花产品的微店， 为

6、保障售出的百合花品质， 每天从云南鲜花基地空运固 定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜 花供应商处进货今年四月前 10天，微店百合花的售价为每支 2 元，云南空运来 的百合花每支进价 1.6 元，本地供应商处百合花每支进价 1.8元，微店这 10天的订 单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243， 263，241，265，255，244，252（）求今年四月前 10 天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布 直方图；（）预计四月的后 20 天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前 10天相同， 百合花进货价格与售价均不变，

7、请根据（ ）中频率分布直方图判断（同一组中的 需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概 率），微店每天从云南固定空运 250支，还是 255支百合花，四月后 20 天百合花销售总利润会更大？20. 椭圆 C：=1，点 A（2，0），动直线 y=kx+m与椭圆 C交于 M，N两点（ M、N 是异于 A 的两个不同的点），已知直线 AM 的斜率为 k1，直线 AN 的斜率为 k2， 且 k1， k2的乘积为 （ ）若 k=0，求实数 的值；）若 ，求证：直线 MN 过定点21. 已知函数 f（x）=x+xlnx ，g（x）=ax2-2（a-1）x+a-1（ ）求证：曲

8、线 y=f（x）与 y=g（ x）在（ 1， 1）处的切线重合； （）若 f（x）g（ x）对任意 x1，+）恒成立（1）求实数 a 的取值范围；2）求证：ln（n+1）!?n! <（其中 nN*）22. 在直角坐标系 xOy中，直线 l 的参数方程为 （t为参数），以坐标原点 为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22=，直线 l 与曲线 C交于 A，B 两点（）求直线 l 的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；（）求 |AB|23. （）已知 a>0， b>0，且 a+b=2，求证： a4+b42；（）已知 a>0，b>0， c&g

9、t;0，求 a3+b3+c3+（） 3的最小值，并写出取最小值时 a，b，c 的值答案与解析1. 答案： C解析： 解： A= x|x< 0，或 x>2 ，且；AB=R故选： C容易求出集合 A= x|x<0，或 x> 2 ，从而可判断集合 A，B 的关系 考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及并集的概念2. 答案： C 解析： 解： z-2= （z+2 ） i， z（ 1-i）=2+2i， 故 z= 故选： C先将式子化为 z（1-i） =2+2i，再由复数的除法运算即可得出结果 本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型3. 答案： D 解

10、析： 解：根据题意，圆 x2-4x+y2=0，即（ x-1） 2+y2=4，其圆心坐标为（ 2，0）半径为 2；圆 x2+y2+4x+3=0，即圆（ x+2）2+y2=1，其圆心坐标为（ -2， 0）半径为 1； 则两圆的圆心距为 4，两圆半径和为 3，因为 4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4 条故选： D 根据题意，把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较 圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而分析可得答案 本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、 公切线的条数 解决的方法就是利用圆的标 准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心

11、距与两圆半径和差的关系4. 答案： B 解析： 解：将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“ 2 次正面朝上， 1次反面朝上”的概率是 P= = 故选： B 此问题相当于进行 3 次独立重复试验恰好发生 2次正面朝上的概率 本题考查了 n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率5. 答案： A解析： 解： cos（）= ，可得 sin = ， sin2 +co2s =1， 是第三象限角cos -=- ，sin2 =2sin cos =故选： A由诱导公式可以求出角 的正弦值，再由同角的正弦值与余弦值的平方和为1 这一关系，可求出 的余弦值，最后运用二倍角正弦公式求出 sin2 本题考查了三角函数的

12、诱导公式、同角正弦函数与余弦函数的关系、二倍角公式解析： 【分析】 本题考查了向量的数量积运算、属于中档题 先确定一组基底，然后进行数量积计算【解答】解：因为点 E 为 BC 的中点，6. 答案： D 向量的加法运算、 菱形的几何性质， 考查化简运算能力， 利用向量加法运算法则， 用这对基底把 ， 表示出来，= + = + ； 因为点 F 为 CD 的中点， 所以 = + = +22，= - | |+ | |， 因为菱形 ABCD 的边长为 2，所以 | |=| |=2， 又因为 DAB=60°，可得 = = 2 2 cos60 °= 4 = 故选： D 7. 答案： A

13、解析： 解：连接 AC交 BD于点 O，因为 PA平面 ABCD ，BD 平面 ABCD ，底面 ABCD 是正方形，所以 BDAC，BDPA，PA AC =A，因此 BD平面 PAC；故 BO平面 PAC ；连接 OP，则BPO即是直线 PB与平面 PAC 所成角， 又因 PA=AB=2 ，所以 PB=2 ， BO= 所以 sinBPO= = ，所以 BPO= 连接 AC交BD于点O，连接 OP，证明 BO平面 PAC，进而可得到 BPO即是直线 PB 与平面 PAC 所成角，根据题中数据即可求出结果 本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型8. 答案： A 解

14、析： 【分析】 本题主要考查三角函数的图象变换， 以及三角函数的性质， 熟记正弦型函数的性质即可， 属于常考题型先由题意写出 g（x）解析式，根据 g（ -x） =- g（ x），可知 g（ x）为奇函数，进而可求 出 【解答】解：将函数 f（x）=sin（2x+ ）的图象向右平移 （> 0）个单位长度，得到函数 g（x）=sin（2x-2+）的图象，又 g（ -x） =-g（x），所以 g（ x）为奇函数，-2+=k，kZ，可取 =，故选： A9. 答案： B解析： 解：由题意得双曲线 C：=1（a>0， b>0），的渐近线方程为，焦点坐标为 F1（-c，0），F2（c，0

15、）；不妨令 G在渐近线 上，则 H在 y=- x 上， 设 G（ x， x），由 GF1GF2，得，即 ，解得 x=a，所以 G（a，b），又 H 恰好为线段 GF1 的中点，所以 H（ ， ），因 H 在 y=- x 上，所以 ，因此 c=2a，故离心率为 2故选： B根据题意得到双曲线的渐近线方程为 ，焦点坐标为 F1（-c，0）， F 2（ c， 0）；不妨令 G在渐近线上，则H在y=- x上，设G（x， x），根据题意求出 G点坐标，再得到 H 的坐标，将 H 坐标代入直线 y=- ，即可得出结果 本题主要考查双曲线的斜率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型 10.答案： C解析： 解

16、：根据题意，f（x） =ex-e-x+，则 f（ -x）=e-x-ex+，则 f（ x）+f（-x）=1，若 f（lgm）=3，则 f（lg ）=f（-lgm）=1-f（lgm）=1-3=-2 ； 故选： C根据题意，由函数的解析式分析可得f（ x）+f（-x）=1，又由 f（lgm） =3，则 f（lg ） =f（-lgm）=1-f（lgm），计算可得答案 本题考查函数值的计算，涉及对数的运算性质，属于基础题11.答案： C解析： 解： 根据三视图，在长方体中还原该三棱 锥为 P-ABC，且长方体的底面边长为 2，高为 ； 取 AB 中点为 D ，上底面中心为 E ，连接 DE ， EP，则

17、 DE= ， EP=1， 因为三角形 ABC 为直角三角形，所以 D 点为三 角形 ABC 的外接圆圆心， 因此三棱锥的外接球球心，必在线段 DE 上，记 球心为 O，设球的半径为 R，则 OB=OP=R， 所以有 OE= = ，OD= = ， 因此 ，解得 ， 所以该三棱锥的外接球表面积为 4R2= 故选： C 先在长方体中还原该三棱锥为 P-ABC，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位 置，设球的半径为 R，列出方程即可求出结果本题主要考查几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算， 熟记公式即可， 属于常考 题型12.答案： B解析： 解：命题： f（x） 定义域为（ 0， +），在定

18、义域上 f（x）是单调递增，显然 这个区间没有长度，因此函数f（x）不是“ m 函数”，故命题是真命题命题： g（ x）的定义域为（ 0， +）， g（ x） = -ex=当 g（ x）> 0 时，函数 g（ x）是增函数，x> 0， 1-xex> 0 得 >ex，构造两个函数， v（x） = 和 u（x）=ex，图象如下图所示：通过图象可知当 x（ 0，m）， u（ x）> v（x）而 v（1）=e>u（1）=1，即 m（ 0，1）， u（m）=v（m），所以当 x（ 0， m），时，函数 g（ x）是增函数，增区间的长度为 m， 又因为 m（0， 1），

19、显然有 m（0，e），成立，所以函数 g（x）是“ m函数”， u（m）=v（m）， =em即 mem=1成立，故命题是真命题命题：函数 h（x）=exlnx 定义域为（ 0， +）， h（ x） =ex（ lnx+ ）显然 x> 1时， h（ x）> 0，此时函数 h（x）是单调递增函数，增区间为（1，+），而区间（ 1， +）没有长度，故函数 h（x）=exlnx不是“ m函数”，故命题是假命题命题：函数 （x）= 定义域（ 0， +）， （ x）=当 （ x）> 0时， （ x）是增函数，故只需 1-xlnx > 0成立， （x）是增函数，也就是 > lnx

20、成立， （ x）是增函数，构造两个函数， u（x）= ，w（x）=lnx如下图所通过图象可知：当 x（ 0， m）时， u（x）> w（ x），而 u（e）= <w（e）=1，所以 m< e从而有 x（ 0， m）时， >lnx 时，函数 （ x）是增函数，显然区间（ 0，m）， 长度为 m，而 m< e所以函数 （x）= 是“ m函数”，又 u（m）=w（m），即 mlnm=1 故命题是真命 题综上所述：正确的命题的个数为 3 个，故选： B利用导数、函数的图象，结合“ m 函数”的定义，对四个命题逐一判断即可得到结论本题考查命题的真假关系， 考查了利用函数的导

21、数、 函数的图象找函数增区间的数学能 力重点考查了学生阅读能力、知识的迁移能力、数形结合的数学思想综合性较强， 有一定的难度13.答案： e解析： 【分析】 本题考查求函数值，分段函数中的求函数值问题是比较常见的一种题型，属于基础题 根据题意，由函数的解析式求出f（-e）的值，进而又由 f（ f（ -e） =f（1），计算可得答案【解答】解：根据题意， f（x） =，则 f（ - e） =ln e=1 ，则 f（f（-e） =f（1）=e1=e； 故答案为： e14.答案： 3 解析： 解：根据约束条件可以画出可行域，如下图所示：由 z=3x+y，可知直线 y=-3x+z 过 A（ 1，0）时

22、， z 有最大值为 3×1+0=3 故答案为： 3先根据约束条件画出可行域，求出各直线的交点，通过分析能求出目标函数的最大值 本题考查了线性归划问题 解决此类问题的关键是画出可行域， 然后根据目标函数的几 何意义求出最值15.答案： 2解析： 解：根据题意，在 ABC中， b=6，c=4，A=2B；由正弦定理可得 = ，即，变形可得 cosB= ，又由余弦定理可得 cosB= = 则有 = ， 解可得 a=2 ，故答案为： 2根据题意，由正弦定理可得，变形可得 cosB= ，又由余弦定理可得 cosB= = ，联立可得 = ，解可得 a 的值，即可得答案本题主要考查解三角形，熟记正弦

23、定理和余弦定理即可，属于基础题型16. 答案： 32 解析： 解：由题意可得抛物线 y2=2px（ p>0）的焦点为 F（ ， 0），准线方程为 x=- ，所以以 F 为圆心， p 为半径的圆的方程为+y2=p2，因为 A，B 两点为圆+y2=p2与 y 轴的两个交点，不妨令A为 y轴正半轴上的点，由 x=0 得， A（ 0，所以直线 AF 的斜率为 kAF= =- ，因此直线 AF 的方程为y=得 C（ - ， p）；=所以 |FD|，|CD|AD|又 |AD|=m，且 m1，2，所以 p1 ，2 ，即 p3，6， 因此 |PD|?|CD |= p2 32，当且仅当 p=6 时，取等号

24、 故答案为： 32由题意得到以 F为圆心， P为半径的圆的方程，再令 A为 y轴正半轴上的点，从而求出 A 点坐标，得到直线 AF 的方程， 分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出C 、D两点坐标，即可用 p表示出|FD |?|CD|，再由|AD|=m，且 m1，2，求出 p的范围，即 可得出结果本题主要考查抛物线的性质，通常需要联立直线与抛物线方程等求解，是中档题17. 答案： 解：（ I） Sn= n2+2n， n2，Sn-1=（n-1） 2+2（n-1）， an=2n+1n=1 时， a1=S1=3 ，对于上式也成立an=2n+1a2=5 b15b1=a2=5 ，解得 b1=1bn=

25、4n-1（ II ）an?bn=（ 2n+1）?4n-1 Tn=3+5×4+7×42+ +（2n+1）?4n-1 4Tn=3×4+5×42+7×43+ +（2n-1）?4n-1+（2n+1）?4n-3Tn=3+2（4+42+ +4n-1）-（2n+1）?4n=3+2×-（ 2n+1）?4n，Tn=- +?4 解析： （I）由 Sn=n2+2n，n2，Sn-1=（n-1）2+2（n-1），可得 ann=1 时， a1=S1，可得 an a2=5 b1解得 b1可得 bn（ II ）an?bn=（ 2n+1）?4n-1利用错位相减法即可得

26、出 本题考查了数列递推关系、等差数列等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题18. 答案： （ ）证明：连接 AB1，交 A1B于点 O，则 O为 AB1 的中点， 连接 OD，又 D 是 B1C1的中点， OD AC1， OD?平面A1BD，AC1?平面 A1BD， AC 1平面 A1BD （ ）解：取 BC 的中点 H ， AB=AC，BCAH， BB1平面 ABC ，AH ? 平面 ABC ，BB1AH， BCBB1=B， AH 平面 BCC1B1又 AB=AC= ，BC=2，ABAC， AH= BC=1，BB1C1D，S= C1D ?BB1=1，V

27、=V = S ?AH = = ABAC，ABAA1，ACAA1=A，AB平面 AA1C1A， ABAC1，AC 1= ，S= = ，设 D 到平面 ABC1 的距离为 h，则 V= = ， 解得 h= 点 D 到平面 ABC1 的距离为 解析： （）连接 AB1，交 A1B于点 O，则 O 为 AB1的中点，连接 OD，则 OD AC1， 故而 AC1平面 A1BD ；（ ）根据 V=V 计算点 D 到平面 ABC1 的距离本题考查了线面平行的证法，一般有二种方法：一种是证明线线平行；一种是证明面面 平行同时本题也重点考查了点到面的距离的求解，如果直接法困难时，往往采用等积 法来求解19. 答

28、案： 解：（ ）四月前 10 天订单中百合需求量众数为 255，平均数 = （231+241+243+244+251+252+255+255+263+265 ）=250 频率分布直方图补充如下：a 可能取值为 235，245， 255，265，相应频率分别为 0.1，0.3， 0.4，0.2， 20天中 a=235，245，255，265相应的天数为 2天，6 天，8天，4天 若空运 250 支，a=235，当日利润为235 ×2-250 ×1.6=70，a=245，当日利润为245 ×2-250 ×1.6=90，a=255，当日利润为255 ×

29、;2-250 ×1.6-15 1×.8=101，a=265，当日利润为265 ×2-250 ×1.6-15 1×.8=103，20天总利润为： 70×2+90 ×6+101 ×8+103 ×4=1900 元若空运 255 支a=235，当日利润为235 ×2-255 ×1.6=62，a=245，当日利润为245 ×2-255 ×1.6=82，a=255，当日利润为255×2-255 ×1.6=102 ，a=265，当日利润为265 ×2

30、-255 ×1.6-10 1×.8=104， 20天总利润为： 62×2+82 ×6+102 ×8+104 ×4=1848 元 1900>1848，每天空运 250 支百合花四月后 20天总利润更大解析：（ ）根据众数的定义直接可求出众为 255利用平均数的公式可以求出平均数 根 据给定的分组，通过计算完成频率分布直方图（ ）设订单中百合花需求量为 a（支），由（ ）中频率分布直方图，可以求出 a可 能取值、 a 每个可能取值相应频率， a 每个可能取值相应的天数分别求出空运250支，255 支百合花时，销售总利润的大小，进行比

31、较，得出结论本题考查众数、平均数、频率分布直方图；重点考查了学生通过阅读，提取有用信息， 用数学知识解决实际生活问题的能力，考查运算求解能力，是基础题20. 答案： （ ）解：不妨设 M（-2，m）， N（2，m），k1=， k2=，k 1k2=-= ，=（ ）证明：联立 ， 得（ 1+4k2） x2+8kmx+4m2-4=0，=16（ 4k2+1- m2）> 0，设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），=- ，4（kx1+m）（kx2+m）+3（x1-2）（ x2-2）=0，（4k2+3）x1x2+（ 4km-6）（ x1+x2）+4m2+12=0，22（4k2+3）?+（4

32、km-6）（ -）+4m2+12=0，222k2+m2+3km=0，m=-k 或 m=-2k，均符合 >0若 m=-2k，直线 MN： y=k（ x-2）过 A（2，0），与已知矛盾m=-k，直线 MN ：y=k（x-1）过定点（ 1，0）解析： 本题主要考查直线与椭圆的位置关系， 以及椭圆中直线过定点的问题，属于中档 题（）先由 k=0，设 M（-2，m）， N（2，m），表示出 k1， k2，进而可求出结果；（ ）联立直线与椭圆方程，设 M（x1，y1）， N（ x2， y2），根据韦达定理得到 k，m 的关系式，进而可得出直线所过的定点21. 答案： 解：（ ）证明： f（ x） =2+ln x， f（ 1）=2，f（1）=1 y=f（x）在（ 1，2）处的切线方程为 y=2x-1g（ x）=2a-2（a-1）， g（ 1）=2，g（1）=1y=g（ x）在（ 1， 1）处的切线方程为 y=2x-1所以切线重合（ ）（ 1）令 F（x） =g（x） -f（x）=ax2-2（a-1）x+a-1-x-xlnx （ x1），则 F（ x）=2a（x-1）-lnx，当 a0时， F （ x） 0当且仅当 x=1时，取等号，F（x）在 1，+）递减， F（x）F（1）=0，f（x）g（x）不成立当 a>0 时，（i）当 0<a