大学物理第7章静电场中的导体和电介质课后习题及答案

1、第7章 静电场中的导体和电介质习题及答案1. 半径分别为 R和r的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度 分别为!和2。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证明：1 r。2 R证明：因为两球相距甚远，半径为R的导体球在半径为r的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r的导体球在半径为 R的导体球上产生的电势忽略不计，所以半径为R的导体球的电势为R2iR半径为r的导体球的电势为2r4 o22 r4 n or用细导线连接两球，有 y v2，所以2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相

2、反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。证明：如图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为4(1) 取与平面垂直且底面分别在 A、B内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得1SE dS 0 ( 23)S0故230上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。(2) 在A内部任取一点 P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即2： 01232 0 2 0 2 0又230故143.半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为d 3R处有一点电何+q，试求：金属球上的感应电荷的电量。解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q，

3、金属球接地时电势 V 0由电势叠加原理，球心电势为V 1dqqVo4 n 0 R4 n 03Rqq 04 n 0R4 n3R故q q34半径为R1的导体球，带有电量 q，球外有内外半径分别为R2、R3的同心导体球壳，球壳带有电量Q。(1) 求导体球和球壳的电势 y和V2 ；(2) 如果将球壳接地，求 V*和v2 ；(3) 若导体球接地(设球壳离地面很远)，求V*和V2。 解：(1)应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。半径为R、带电量为q的均匀带电球面产生的电势分布为qV 4R(r R)q 4 or导体球外表面均匀带电 q；导体球壳内表面均匀带电q，外表面均匀带电 q Q，由电势叠

4、加原理知，空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳内表面和外表面电荷在该点产生的电势 的代数和。导体球是等势体，其上任一点电势为V1 亠 2 240 R1 R2球壳是等势体，其上任一点电势为q4 or0,(r R)q Q)R3q4 r(2)球壳接地V2-V2q Q40 R3q Q40 R34 n 0 R3球外表面、球壳内表面电量不变，所以1 )q 1Vi(4 Ri(3)导体球接地V*0 ,面均匀带电qQ，所以1 i解得 qV2R2 R3q Q40R3表明球壳外表面电荷 q Q入地，球壳外表面不带电， 导体R2设导体球表面的感应电荷为q，则球壳内表面均匀带电q、外表q QR3q_0 R1 R2

5、R1R2QR R3 R-i R2(R2 Ri)Q40 ( R2 R3R R3 R1 R2 )5.两个半径分别为 R*和R2 ( R* v R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电(1) 外球壳上的电荷分布及电势大小；(2) 先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势;(3) 再使内球壳接地，此时内球壳上的电量以及外球壳上的电势。 解：(1)内球壳外表面带电球壳上电势为q ；外球壳内表面带电为q,外表面带电为R2E dr+ q，试求:q，且均匀分布，外(2)外球壳接地时，外表面电荷 由内球 q与外球壳内表面 q产生，其电势为J drR2 4 n 0 r4 n 0 R2q入地

6、，外表面不带电，内表面电荷仍为q。所以球壳电势（3）如图所示，设此时内球壳带电量为q ;则外壳内表面带电量为 q，外壳外表面带电量为q q （电荷守恒），此时内球壳电势为零，且Vqqqq0VA4n 0R14 n 0 R24 n0 R2得q EqR2外球壳的电势为/qqqqR1R2 qVb4n 0 R24 n 0 R24 n0R24 n6.设一半径为R的各向同性均匀电介质球体均匀带电，其自由电荷体密度为，球体内的介电常数为1，球体外充满介电常数为2的各向同性均匀电介质。 求球内外任一点的场强大小和电势（设无穷远处为电势零点）。解：电场具有球对称分布，以 r为半径作同心球面为高斯面。由介质中的高斯

7、定理得SDdS D 4 r2qiR时,qi43r，所以3r，Ei球内R时,qi43e3r2，2R3，所以R3r R)电势为Vi E drr笛dr2r球外6r R）电势为-(R21R3 d 2dr r 37.如图所示，一平行板电容器极板面积为V2rE dr3 2rS，两极板相距为d，其中放有一层厚度为 t的介质，相对介电常数为r，介质两边都是空气。设极板上面电荷密度分别为+和 ，求:（1 ）极板间各处的电位移和电场强度大小；（2）两极板间的电势差 U ；（3）电容C。解：（1）取闭合圆柱面（圆柱面与极板垂直，两底面圆与极板平行，左底面圆在极板导体中， 右底面圆在两极板之间）为高斯面，根据介质中的

8、高斯定理，得讥D dS D S S（空气中）（介质内）0 r(2)UEA Bdl(d0t)(3)CSUrd0 rt0 r0 r S(r 1)tr的电介质，设极板面积为8. 如图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为 S，两极板上分别带电荷为Q和 Q，略去边缘效应。试求：（1）在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值;（2）两极板间的电势差 U ；（3）电容C。解：（1）充满电介质部分场强为 E2，真空部分场强为 Ej，有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度分别为2和1。取闭合圆柱面（圆柱面与极板垂直，两底面圆与极板平行，上底面圆在极板导体中，下底面圆在两极板之

9、间）为高斯面，由D dSq得D11， D22E1D11U0 0dE2D22U0 r0 r d由、解得2r1S（2） 由电何守恒定律知，（12 ） Q 2由、解得2QdU（r 1） 0S（3）C QU2d9. 半径为R1的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为R2和R3，当内球带电荷Q时，求：（1）整个电场储存的能量；（2）将导体壳接地时整个电场储存的能量；（3）此电容器的电容值。解：如图所示，内球表面均匀带电Q,外球壳内表面均匀带电Q ,外表面均匀带电 Q（1）由高斯定理得当 r R 和 R2 rR3 时，E 0当Rir R2 时,R3时,E2Ei 44 nQ2Q20r所以,在R

10、14 n rR2区域WiR2 iRi 2 0(4nR2 Q2drRi 8n 0r2Q 222) 4 n dr 0rQ28 n 0i i(-丄)RiR2R3区域W21R3 2(Q )24n2drQ2 i总能量为W1 W24n 0r28 n 0 R3导体壳接地时，只有 R1Q2(i8 n 0RiR-iR2R2时Ei)R3Q2,其它区域E4 n 0r0 ,所以W20(3)电容器电容为2Wc r Q24n。/(丄Ri10. 一个圆柱形电容器，内圆柱面半径为 两圆筒间充有两层相对介电常量分别为 所示。设内、外圆柱面单位长度上带电荷(1) 电容器的电容；(2) 电容器储存的能量。解：(1)电场分布具有轴对

11、称性，由介质中的高斯定理得Ri，外圆柱面半径为 R2， r2的各向同性均匀电介质，ri和(即电荷线密度)分别为 和长为 L ( LR2 Ri),其分界面半径为R，如图，求：取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为I ,底面圆半径为r。SDdSD 2nlqi当 R r R2 时，qi两圆筒间场强大小为20 rir(Rir R)0 r2 r(RrR2)两圆筒间的电势差为R2ERidrdrRi 2 n 0 rirR2drR 2 n 0 r2rriL-lnr1R120 r2 R20 r1 r2 Lr2 ln R/ R1r1 In R2 /R电容器的电容为C丄U(2)电容器储存的能量1 Q2W -2 C11

12、.如图所示，一充电量为2l上电量 Q不变的条件下，平行地插入一厚度为在插入电介质平板的过程中，外力需作多少功0SC。，电容器储存的能量为dQ2d7的解法可得到解：插入电介质平板之前,1 Q2插入电介质平板之后,W0c c2 Co由本章习题20 r S(r 1)d电容器储存的能量为RR2r21n r1 ln R1R4 n 0 r1 r2Q的平行板空气电容器，极板面积为S，间距为d，在保持极板d/2，面积S，相对电容率为r的电介质平板，d/21)d111dF2 C 4 0 rS 由能量守恒定律知，在插入电介质平板的过程中，外力作的功为A W W0Q2d(1r)40 r S12. 一球形电容器，内球壳半径为R1，外球壳半径为 R2，两球壳间充有两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R，相对介电常数分别为r1和r2，如图所示。设在两球壳间加上电势差U12 ,求：(1)电容器的电容；(2)电容器储存的能量。电场具有球对称分布，以r为半径作同心球解：(1 )设球内球壳和外球壳分别带电 面为高斯面。由介质中的高斯定理得qi:D dS D 4 r2S当 R r R2 时，qj Q , D内球壳和外球壳之间场强大小为 Q44内球壳和外球壳之间电势差为Q4