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文档简介
1、2020-2021重庆备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题一、旋转1. (1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且 BC= a, AB= b.填空:当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为 (用含a, b的式子表示)应用:点A为线段BC外一动点,且 BC= 4, AB= 1,如图2所示,分别以AB, AC为 边,作等边三角形 ABD和等边三角形 ACE连接CD, BE.请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;直接写出线段BE长的最大值.(3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2, 0),点B的坐标为(6, 0),点P为线段AB外一动点,且 PA= 2, PM
2、 = PB, / BPM = 90°请直接写出线段 AM长的最大值及此时点P的坐标.帥【答案】(1)CB的延长线上,a+b ; (2)CD= BE,理由见解析;BE长的最大值为5; (3)满足条件的点P坐标(2 - . 2,-、2 )或(2 -2 ,2), AM的最大值为22+4.【解析】【分析】(1) 根据点A位于CB的延长线上时,线段 AC的长取得最大值,即可得到结论;(2)根据已知条件易证 CADA EAB,根据全等三角形的性质即可得CD= BE;由于线段BE长的最大值=线段 CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM, 将厶APM绕着点P顺时针旋转90
3、76;得到 PBN,连接AN,得到 APN是等腰直角三角形, 根据全等三角形的性质得到PN= PA= 2, BN= AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2、. 2+4;如图2,过P作PE± x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点 P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点 P在第四象限时也满 足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标.【详解】(1) 点A为线段BC外一动点,且 BC- a, AB= b,当点A位于CB的延长线上时,线段 AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB= a+b,故答案为CB的延长线上,a+b;CD= BE,理由:/ A
4、BD与厶ACE是等边三角形, AD= AB, AC= AE, / BAD= Z CAE= 60; Z BAD+Z BAC= Z CAEZ BAC,即 Z CAD= Z EAB,AD AB在厶CAD与厶EAB中,CAD EAB ,AC AE CADA EA&SAS, CD= BE;线段BE长的最大值=线段 CD的最大值,由知,当线段CD的长取得最大值时,点 D在CB的延长线上,最大值为 BD+BC= AB+BC= 5;如图1 ,.VHl将 APM绕着点P顺时针旋转90得到 PBN,连接AN, 则厶APN是等腰直角三角形,PN= PA= 2, BN= AM, A的坐标为(2, 0),点B的
5、坐标为(6, 0), OA= 2, OB= 6,AB= 4, 线段AM长的最大值=线段 BN长的最大值,当N在线段BA的延长线时,线段 BN取得最大值, 最大值=AB+AN,AN = , 2 AP= 2 2 ,最大值为2 . 2 +4;如图2,T* /k AfL-V/JA J0I 2过P作PE± x轴于E,/ APN是等腰直角三角形, PE= AE=、2 , OE= BO- AB - AE= 6 -4 - , 2 = 2 -、一 2 ,P(2 : 2,弋2 )-如图3中,根据对称性可知当点 P在第四象限时,P(2 -、2, . 2 )时,也满足条件.综上所述,满足条件的点P坐标(2
6、- 2 , . 2 )或(2 - , 22 ), AM的最大值为 2、2 +4.【点睛】 本题综合考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,最大值问题,旋转的 性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.2.平面上,RtA ABC与直径为CE的半圆0如图1摆放,/ B= 90 ° AC= 2CE= m , BC=n,半圆O交BC边于点D,将半圆O绕点C按逆时针方向旋转,点 D随半圆O旋转且/ ECD始终等于/ ACB,旋转角记为 a ( 0 ° <a<)180(1 )当 a= 0°时,连接 DE,则/ CDE=°, CD=;B
7、D(2) 试判断:旋转过程中 BD的大小有无变化?请仅就图 2的情形给出证明;AE(3) 若m= 10, n = 8,当a= Z ACB时,求线段 BD的长;(4) 若m= 6, n= 4、. 2,当半圆O旋转至与 ABC的边相切时,直接写出线段 BD的 长.【答案】(1) 90° - ;( 2)无变化;2【解析】(3) ;( 4) BD=2、诃或.53试题分析:CD1)根据直径的性质,由 DE/ AB得-CB CA即可解决问题.求出BD、AE即可解决问题.(2) 只要证明 AC0A BCD即可.(3) 求出AB AE,利用 AC0A BCD即可解决问题.(4) 分类讨论:如图5中,
8、当a =90时,半圆与AC相切,如图6中,当a =90 °AACB时,半圆与 BC相切,分别求出 BD即可. 试题解析:(1)解:如图1中,当a =0时,连接DE,则/ CDE=90 : / / CDE=Z B=90 ; / DE/ AB,CEACCD 11=.t BC=n,CD= n .故答CB 221案为90时,n.2如图 2 中,当 a =180时,BD=BC+CD=3 n, AE=AC+CE=3 m , BD = .故答案为 22AE mnCD BC nCE AC mm(2) 如图 3 中,/ Z ACB=Z DCE / ACE=Z BCD.BD BC n ACE BCD,
9、AE AC m(3)如图 4 中,当 a=Z ACB时.在 RtA ABC中,/ AC=10, BC=8,BD BCAE AC AB=、AC2 BC2 =6.在 RtA ABE 中,/ AB=6, BE=BC- CE=3,- AE= .= .6232 =3 '、5,由(2)可知 ACEA BCD BD =1, BD=虫1 .故答案为 苣.351055(4) / m=6, n=4、2,二 CE=3, CD=2 2 , AB= . CA? BC? =2,如图 5 中,当 a =90时,半圆与 AC相切.在 RtA DBC中, BD= . bc2 CD2 = (4 2)2 (2t2)2 =2
10、10 .如图6中,当a =90时+ACB时,半圆与BC相切,作EM丄AB于M . / Z M=Z CBM=Z BCE=90 时四边形 BCEM是矩形, BM EC 3, ME 4丘, - AM =5, AE= , AM 2 ME 2 = - 57,由(2)可知 =_ , BD= 2_114 .AE 33故答案为2. 10或2 114 .3点睛:本题考查了圆的有关知识,相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,正确画出 图形是解决问题的关键,学会分类讨论的思想,本题综合性比较强,属于中考压轴题.3.(探索发现)如图, ABC是等边三角形,点 D为BC边上一个动点,将 ACD绕点A逆时针旋转60得到
11、 AEF,连接CE.小明在探索这个问题时发现四边形ABCE是菱形.小明是这样想的:衿边三角船sc I> 朋-= AC- 6 I :、衿边X.4CE L >AC AE I> AB - BC CE I > 賀刑 4HCE:(1)请参考小明的思路写出证明过程;(2)直接写出线段 CD , CF , AC之间的数量关系: ;(理解运用)如图,在 ABC中,AD BC于点D .将 ABD绕点A逆时针旋转90得到 AEF,延 长FE与BC ,交于点G.(3) 判断四边形 ADGF的形状,并说明理由;(拓展迁移)(4) 在(3)的前提下,如图,将 AFE沿AE折叠得到 AME,连接M
12、B,若AD 6 , BD 2,求 MB 的长.2.13【解析】【分析】(1) 根据旋转得: ACE是等边三角形,可得:AB=BC=CE=AE则四边形 ABCE是菱形;(2) 先证明 C、F、E在同一直线上,再证明 BADBACAF (SAS,贝U / ADB=Z AFC,BD=CF 可得 AC=CF+CD(3)先根据/ ADC=Z DAF=Z F=90°,证明得四边形 ADGF是矩形,由邻边相等可得四边形ADGF是正方形;(4)证明 BAMBA EAD( SAS,根据BM=DE及勾股定理可得结论.【详解】(1) 证明:/ ABC是等边三角形, AB BC AC./ ACD绕点A逆时针
13、旋转60得到 AEF , CAE 60 , AC AE. ACE是等边三角形 AC AE CE. AB BC CE AE.四边形ABCE是菱形(2) 线段DC , CF , AC之间的数量关系: CD CF AC.(3) 四边形 ADGF是正方形理由如下: Rt ABD绕点A逆时针旋转90得到 AEF , AF AD , DAF 90 AD BC , ADC DAF F 90 .四边形ADGF是矩形AF AD ,四边形ADGF是正方形(4) 如图,连接DE .if Di “四边形ADGF是正方形,二 DG FG AD AF 6./ ABD绕点A逆时针旋转90得到AEF ,BAD EAF , B
14、D EF 2,二 EG FG EF 6 24.将 AFE沿AE折叠得到 AME ,MAEFAE ,AF AM .BADEAM .BADDAMEAMDAM,即 BAMDAE AF AD ,二 AM AD.AMAD在BAM和EAD中,BAMDAE ,ABAE二 BAMEADSAS .二 BM DE . EG2 DG2 . 42 62 213.【点睛】本题属于四边形综合题,主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形 的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用,解决问题的关键是熟练掌握等边 三角形和全等三角形的性质,依据图形的性质进行计算求解.4.已知 ABC是边长为4的等边三角形
15、,边 AB在射线OM上,且OA=6,点D是射线0M 上的动点,当点 D不与点A重合时,将 ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到 BCE连接 DE.(1) 如图1,猜想: CDE的形状是 三角形.(2) 请证明(1)中的猜想(3) 设 OD=m, 当6 v m v 10时, BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出 BDE周长的最小值;若不存在,请说明理由. 是否存在m的值,使 DEB是直角三角形,若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.O DXf图三【答案】(1)等边;(2)详见解析;(3)2 、3 +4;当m=2或14时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.【解析】【分
16、析】(1) 由旋转的性质猜想结论;即可得到结论;BE=AD,于是得到DE=CD,由垂线段最短得到当(2) 由旋转的性质得到 / DCE=60° DC=EC,(3) 当6 v m v 10时,由旋转的性质得到3dbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到CD丄AB时, BDE的周长最小,于是得到结论; 存在,分四种情况讨论:a)当点D与点B重合时,D, B, E不能构成三角形;b) 当0v 6时,由旋转的性质得到 / ABE=60 ° / BDEv 60 °求得/ BED=90 °根据等边三角形的性质得到 / DEB=60
17、76; ,求得/ CEB=30° ,求得 OD=OA- DA=6 - 4=2=m;c) 当6 v m v 10时,此时不存在;d) 当m > 10时,由旋转的性质得到 / DBE=60 °求得/ BDE> 60 °于是得到 m=14.【详解】(1) 等边;(2) 将 ACD绕点 C逆时针方向旋转 60°得到 BCEDCE=60° , DC=EC, / CDE 是等边三角形.(3) 存在,当6v t v 10时,由旋转的性质得:BE=AD, Ca dbE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE ,由(1) 知 , CDE 是等边三角形
18、,/ DE=CD, Cadbe=CD+4 ,由垂线段最短可知,当 CD丄AB时, BDE的周长最小,此时, CD=2、3 , BDE 的最小周长=CD+4=.3+4;存在,分四种情况讨论:a) :当点D与点B重合时,D , B , E不能构成三角形,当点D与点B重合时,不符合 题意;b)当 0 v 6 时,由旋转可知, / ABE=60 ° / BDEv 60 °BED=90 ° 由(1)可知, CDE是等边三角形, / DEB=60 ° / CEB=30 °/ / CEB=Z CDA, / CDA=30 °/CAB=60 °
19、; / ACD=Z ADC=30 ° DA=CA=4, OD=OA DA=6 - 4=2, m=2;.Vc)当6 v m v 10时,由/ DBE=120 ° 90 °二此时不存在;d )当m > 10时,由旋转的性质可知,/ DBE=60 °又由(1)知/ CDE=60 °/BDE=Z CDEnZ BDC=60 +Z BDC,而/BDC> 0 ° / Z BDE> 60 ° 二只能/BDE=90 ;从 而/ BCD=30° , BD=BC=4 , 0D=14 , m=14.综上所述:当 m=2或
20、14时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.【点睛】 本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定和性质,三角形周长的计算,直角三角形的判 定,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.5.如图1,在RtAADE中,Z DAE=90°, C是边AE上任意一点(点 C与点A、E不重 合),以AC为一直角边在 RtA ADE的外部作RtAABC, Z BAC=90 ,连接BE、CD.(1) 在图1中,若AC=AB, AE=AD,现将图1中的RtA ADE绕着点A顺时针旋转锐角 a, 得到图2,那么线段BE CD之间有怎样的关系,写出结论,并说明理由;(2) 在图1中,若CA=3, AB=5, AE=
21、10, AD=6,将图1中的RtA ADE绕着点A顺时针旋 转锐角a,得到图3,连接BD CE.计算:BD2+C呂的值.【答案】1) BE=CD BEX CD,理由见角; 求证: ABEA ACD;2) 证明见解析;BD2+C自170.【解析】【分析】(1)结论:BE=CD, BEX CD;只要证明 BAE CAD,即可解决问题;(2) 根据两边成比例夹角相等即可证明 ABEAACD. 由 得到Z AEB=Z CDA.再根据等量代换得到 Z DGE=90 °即DG丄BE,根据勾股定理 得到bd2+cE2=cb? + ed2,即可根据勾股定理计算.【详解】(1) 结论:BE=CD, B
22、EX CD.理由:设BE与AC的交点为点F, BE与CD的交点为点G,如图2 ./ / CAB=Z EAD=90 ; / / CAD=Z BAE.ABAC在 CAD和 BAE中, /BAEAECAD , CADA BAE, CD=BE,AD【点睛】图/ ACD= / ABE / CFG/ ACD=90 ° / CGF=90 ° BEX CD./ BFA=Z CFG / BFA+Z ABF=90BE与DC的延长线交于点 G,如图3./ / CABB=Z EAD=90 ° / CAD=/ BAE.AE AD/ CA=3, AB=5, AD=6, AE=10, =2,
23、ABE ACD;AB AC/ ABEA ACD, / AEB=Z CDA./ / AFD=/ EFG / AFD+/ CDA=90 ; / EFGZ AEB=90 ° / DGE=90 ° DG丄 BE, / AGD=/ BGD=90 ° cEC+EG2 , BD2=BG2+DG2 , BD2+cE?=cG?+EG2+BG2+DG2 ./ CG2+BG2=CB2 , EG2+DG2=ED2 , BD2+cE?=CB2+ED2=CA2+AB2+AD2+AD2=170.本题是几何综合变换综合题,主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相 似三角形的判定与性质
24、、勾股定理的综合运用,运用类比,在变化中发现规律是解决问题 的关键.6.如图,正方形 ABCD中,点E是BC边上的一个动点,连接 AE,将线段AE绕点A逆时 针旋转90°得到AF,连接EF,交对角线BD于点G,连接AG.(1) 根据题意补全图形;(2) 判定AG与EF的位置关系并证明;(3) 当AB=3, BE=2时,求线段 BG的长.【答案】 见解析;(2)见解析;(3) 口 .2【解析】【分析】(1) 根据题意补全图形即可;(2) 先判断出 ADFBAABE,进而判断出点 C, D, F共线,即可判断出 DFG HEG, 得出FG=EG即可得出结论;(3) 先求出正方形的对角线
25、BD,再求出BH,进而求出 DH,即可得出HG,求和即可得出 结论.【详解】(1)补全图形如图所示,n.月B(2)连接DF,由旋转知,AE=AF, / EAF=90 ,四边形ABCD是正方形, AB / CD, AD=AB, / ABC=Z ADC=BAD=90 , / DAF=Z BAE, ADF ABE ( SAS , DF=BE / ADF=Z ABC=90 ,° / ADF+Z ADC=180 ,°点C, D, F共线, CF/ AB,过点E作EH/ BC交BD于H, / BEH=Z BCD=90 , DF/ EH, / DFG=Z HEG,/ BD是正方形 ABC
26、D的对角线, / CBD=45 ,° BE=EH/ / DGF=Z HGE, DFG HEG (AAS), FG=EG AE=AF AG 丄 EF;(3)/ BD是正方形的对角线, BD= 2 AB=3 2 ,由(2)知,在 RtA BEH 中,BH=2BE=22 , DG=BD-BH= 2由(2)知, DF3A HEG, DG=HG,1 HG= DH=2 BG=BH+HG=2 2+ .2=5.22 2【点睛】 此题是四边形综合题,主要考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,正方形的性 质,勾股定理,作出辅助线是解本题的关键.7.如图 1.在 ABC中,/ ACB= 90
27、6; 点 PABC内一点.(1) 连接PB PC,将厶BCP沿射线CA方向平移,得到 DAE,点B、C P的对应点分别 为点D、A、E,连接CE 依题意,请在图2中补全图形; 如果 BP丄CE, AB+ BP= 9, CE= 33,求 AB 的长.(2) 如图3,以点A为旋转中心,将 ABP顺时针旋转60。得到 AMN,连接PA PB【答案】见解析,AB = 6;47 .【解析】分析:(1)根据题意补全图形即可;连接BD、CD.根据平移的性质和 / ACB= 90 °得到四边形 BCAD是矩形,从而有CD=AB,设 CD= AB= X,则 PB= DE=(2)当C P、M、N四点共线
28、时, 可.详解:(1)补全图形如图所示;9 x ,由勾股定理求解即可;PA+ PB+ PC最小.由旋转的性质和勾股定理求解即CD. BCP沿射线CA方向平移,得到 BC/ AD且 BC= AD, PB= DE./ / ACB= 90 °四边形BCAD是矩形, CD= AB, DAE,CD= AB= X,贝U PB= 9 X ,DE= BP= 9 X ,/ BP丄 CE BP/ DE, DE丄 CE,,二 3 巧 2二 CE2 DE2 CD2 x 6,即 AB= 6;(2)如图,当C、P、M、N四点共线时,PA+ PB+ PC最小.易得 APM、 ABN都是等边三角形, PA= PM
29、, PA+ PB+ PC= PM + MN + PC= CN,BN= AB= 8, / BNA= 60; / PAM= 60; / CAN= / CAB+ / BAN= 60 °+ 60 = 120 ; / CBN= 90 ;在 RtAABC中,易得:BC=. AB2 AC2 、82 42 4、3,在 RtA BCN中,CN BC2 BN2, 48一64 4 J -点睛:本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性 质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和 全等三角形,依据图形的性质进行计算求解.&在正方形AB
30、CD中,连接BD.(1) 如图1, AE丄BD于E直接写出/ BAE的度数.(2) 如图1,在(1)的条件下,将 AEB以A旋转中心,沿逆时针方向旋转30°后得到 AB' E'AB'与BD交于M , AE'的延长线与 BD交于N. 依题意补全图1 ; 用等式表示线段 BM、DN和MN之间的数量关系,并证明.AE、AF(3)如图2, E、F是边BC CD上的点, CEF周长是正方形 ABCD周长的一半,分别与BD交于M、N,写出判断线段 BM、DN、MN之间数量关系的思路.(不必写出完BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2,证明见解析;(
31、3)答案见解析.【解析】(1) 利用等腰直角三角形的性质即可;(2 )依题意画出如图1所示的图形,根据性质和正方形的性质,判断线段的关系,再利用勾股定理得到FB2+BM2=FM2,再判断出FM=MN即可;(3) 利用 CEF周长是正方形 ABCD周长的一半,判断出 EF=EQ再利用(2)证明即可. 解:( 1) / BD 是正方形 ABCD 的对角线, / ABD=Z ADB=45 ,/ AE丄 BD, / ABE=Z BAE=45 ,BM、DN和MN之间的数量关系是 BM2+MD2=MN2 , 将厶AND绕点D顺时针旋转90°得到 AFB, / ADB=/ FBA, / BAF=/
32、 DAN, DN=BF, AF=AN,在正方形 ABCD 中,AE1 BD, / ADB=Z ABD=45 ,° / FBM=Z FBA+Z ABD=Z ADB+Z ABD=90 °在RtA BFM中,根据勾股定理得,FB2+BM2=FM2,旋转 ANE 得到 ABiEi, Z EABi=45° Z BABi+Z DAN=90° - 45 °45 ° / Z BAF=DAN Z BAB + Z BAF=45° Z FAM=45°, Z FAM=Z E1AB1 , / AM=AM , AF=AN,AFM ANM ,
33、FM=MN , fb2+bm2=fm2 , DN2+BM2=MN2 ,(3)如图2 ,丿 1)1/GH EiC将厶ADF绕点A顺时针旋转 90°得到 ABG , DF=GB正方形 ABCD的周长为4AB , CEF周长为EF+EC+CF/ CEF周长是正方形 ABCD周长的一半, 4AB=2 (EF+EC+CF , - 2AB=EF+EC+CF/ EC=AB- BE, CF=AB- DF, 2AB=EF+AB- BE+AB- DF , EF=DF+B E/ DF=GB, EF=GB+BE=GE 由旋转得到 AD=AG=AB/ AM=AM , AEG AEF Z EAG=Z EAF=4
34、5 , °和(2)的一样,得到 dn2+bm2=mn2.点睛”此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质、旋转的性质,三角形的全等,判断出( AFNA ANM ,得到FM=MM ),是解题的关键9.在厶ABC中,AB=AC, Z A=30° ,将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD,再将线 段BD平移到EF,使点E在AB上,点F在AC上.(1) 如图1,直接写出Z ABD和Z CFE的度数;(2) 在图1中证明:AE=CF(3) 如图2,连接CE,判断 CEF的形状并加以证明.【答案】(1) 15° 45° ( 2)证明见解析;(3) C
35、EF是等腰直角三角形,证明见解析.【解析】试题分析:(1)根据等腰三角形的性质得到 / ABC的度数,由旋转的性质得到 / DBC的度 数,从而得到/ ABD的度数;根据三角形外角性质即可求得/ CFE的度数.(2) 连接CD DF,证明 BCD是等边三角形,得到 CD=BD,由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形,从而 AB/ FD,证明 AEF FCD即可得AE=CF(3) 过点E作EG丄CF于G,根据含30度直角三角形的性质,垂直平分线的判定和性质即 可证明 CEF是等腰直角三角形.(1) 在 ABC 中,AB=AC, / A=30°, / Z ABC=75将线段BC绕点B
36、逆时针旋转60°得到线段BD,即Z DBC=6. / ABD= 15. Z CFE=/ A+Z ABD=45 ,°(2) 如图,连接CD、DF.线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD, BD=BC Z CBD=6C°° BCD是等边三 角形. CD=BD.线段 BD 平移到 EF, EF/ BD, EF=BD四边形BDFE是平行四边形,EF= CD/ AB=AC, Z A=30°, Z ABC=Z ACB=78. Z ABD=Z ACD=15 .四边形BDFE是平行四边形, AB / FD. Z A=Z CFD. AEFA FCD( AAS)
37、. AE=CF(3) CEF是等腰直角三角形,证明如下: 如图,过点E作EG丄CF于G,/ / CFE =45,FEG=45. ° EG=FG1/ A=30°,/ AGE=90 ,严=严AE=CF, EG = IcF1FG = -CF. G为CF的中点. EG为CF的垂直平分线 EF=EC / CEF=/ FEG=90 .° CEF是等腰直角三角形.考点:1旋转和平移问题;2等腰三角形的性质;3 三角形外角性质;4等边三角形的 判定和性质;5平行四边形的判定和性质;6全等三角形的判定和性质;7 .含30度直角三角形的性质;&垂直平分线的判定和性质;9.等腰
38、直角三角形的判定10.已知:一次函数.一-'-的图象与x轴、y轴的交点分别为 A、B,以B为旋转中 BCD (其中O与C A与D是对应的顶点)(2)当/ BAD=45时,求D点的坐标;(3)当点C在线段AB上时,求直线BD的关系式7【答案】(1) 5;( 2) D (4, 7)或(-4, 1 );( 3)【解析】试题分析:(1)先分别求得一次函数'-的图象与x轴、y轴的交点坐标,再根据勾股定理求解即可;(2) 根据旋转的性质结合 BOA的特征求解即可;(3) 先根据点C在线段AB上判断出点D的坐标,再根据待定系数法列方程组求解即可(1) 在 -时,当 一时,;一,当:|时,.了
39、 3,.三-/ ;(2) 由题意得 D (4, 7)或(-4, 1);(2)由题意得D点坐标为(4, 一)6设直线BD的关系式为.-匕.- 图象过点 B (0, 4), D (4,.)05=44十聖,解得r7y=24x + 46直线BD的关系式为考点:动点的综合题点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典 型.11.如图所示,在 ABC中,D、E分别是AB AC上的点,DE/ BC,如图,然后将 ADE绕A点顺时针旋转一定角度,得到图 ,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM= BD, EN= CE,得到图,请解答下列问题:(1) 若AB= AC,请探究下
40、列数量关系: 在图 中,BD与CE的数量关系是 ; 在图中,猜想AM与AN的数量关系、/ MAN与/ BAC的数量关系,并证明你的猜 想;若AB= kAC(k> 1),按上述操作方法,得到图 ,请继续探究:AM与AN的数量关 系、/ MAN与/ BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.ABA【答案】(1)BD=CE; AM=AN , / MAN= / BAC理由如下:在图 中,DE/BC, AB=AC AD="AE."AR = AC,= £.CAEf.AD AE在厶 ABD 与厶 ACE 中 ABDA ACE. BD=CE / ACE=/ ABD.在厶
41、DAM与厶EAN中,1 11/ / AEN=/ ACE+/ CAE,DM=,BD, EN=CE, BD=CE DM=EN,/ ADM= / ABD+/ BAD, / AEN=/ ADM.又 AE=AD,ADMAEN<-AM=AN , / DAM=/ EAN<- / MAN= / DAE=/ BAC. AM=AN , / MAN= / BAC.(2) AM=kAN , / MAN= / BAC.【解析】(1) 根据题意和旋转的性质可知 AECAADB,所以BD=CE 根据题意可知 / CAE=BAD AB=AC, AD=AE所以得到 BAD 。人巳在 ABM和 ACN 中,11DM=
42、£BD, EN= CE,可证 ABMACN,所以 AM=AN,即/ MAN= / BAC.丄厶(2)直接类比(1)中结果可知 AM=k?AN , / MAN= / BAC.12. (1)观察猜想如图 ,在 ABC中,/ BAC=90 , AB=AC点D是BC的中点.以点 D为顶点作正方形DEFG使点A , C分别在DG和DE上,连接AE, BG ,则线段BG和AE的数量关系是(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°小于或等于 360 °,如图2,则(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请 说明理由 解决
43、问题若BC=DE=2在(2)的旋转过程中,当 AE为最大值时,直接写出 AF的值【答案】(1) BG= AE.(2) 成立.如图,连接AD. ABC是等腰三直角角形,/ BAC= 90°点D是BC的中点. / ADB= 90 ;且 BD= AD./ / BDG= / ADB- / ADG= 90 °- / ADG= / ADE, DG= DE. BDGAADE, BG= AE. 7分(3) 由(2)知,BG= AE,故当BG最大时,AE也最大.正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转 270°时,BG最大,如图.若 BC= DE= 2AD= 1 , EF= 2.在 Rt
44、AAEF中,AF2= AE2 + EF2= (AD+ DE)2 + EF2= (1 + 2)2+ 22= 13.二 AF=-'【解析】解:(1) BG= AE.(2) 成立.如图,连接ad. ABC是等腰三直角角形,/ BAC= 90 °点D是BC的中点. / ADB= 90 ° 且 BD= AD./ / BDG= / ADB- / ADG= 90 °- / ADG= / ADE, DG= DE. BDGA ADE, BG= AE.(3) 由(2)知,BG= AE,故当BG最大时,AE也最大.Z+X+X+K因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中,G点运动的
45、图形是以点 D为圆心,DG为半径的 圆,故当正方形 DEFG旋转到G点位于BC的延长线上(即正方形 DEFG绕点D逆时针方向 旋转270°)时,BG最大,如图 .若 BC= DE= 2,贝V AD= 1,EF= 2.在 RtAAEF中,A= AE2 + EF= (AD+ DE)2 + EF= (1 + 2)2+ 22= 13. AF=.即在正方形DEFG旋转过程中,当 AE为最大值时,AF= 立.13.如图,在 RtA ABC中,/ ACB=90 ° / A=30 °点O为AB中点,点 P为直线BC上的动 点(不与点B、点C重合),连接 OC OP,将线段OP绕点
46、P顺时针旋转60°得到线段 PQ,连接BQ.(1) 如图1,当点P在线段BC上时,请直接写出线段 BQ与CP的数量关系.(2) 如图2,当点P在CB延长线上时,(1)中结论是否成立?若成立,请加以证明;若 不成立,请说明理由;(3) 如图3,当点P在BC延长线上时,若 / BPO=15°,BP=4,请求出BQ的长.【答案】(1) BQ=CP ( 2)成立:PC=BQ;( 3) 4.3 4 .【解析】试题分析:(1)结论:BQ=CP.如图1中,作PH/ AB交CO于H,可得APCH是等边三角 形,只要证明 POHA QPB即可;(2) 成立:PC=BQ.作PH / AB交CO
47、的延长线于 H.证明方法类似(1);(3)如图3中,作CE丄OP于E,在PE上取一点F,使得FP=FC连接CF.设CE=CO=a, 则FC=FP=2a, EF=、_§a,在RtAPCE中,表示出PC,根据PC+CB=4,可得方程I、6. 2) a '.2a 4,求出a即可解决问题;试题解析:解:(1)结论:BQ=CP.理由:如图1中,作PH/ AB交CO于H.在 RtA ABC 中,/ Z ACB=90° / A=30° 点 O 为 AB 中点,/ CO=AO=BO, / CBO=60° , CBO是等边三角形, Z CHP=Z COB=60 &
48、#176; Z CPH=Z CBO=60 ° / Z CHP=Z CPH=60 ° CPH是等边三角形, PC=PH=CH, OH=PB,/ Z OPB=Z OPQ+Z QPB=Z OC申Z COP / Z OPQ=Z OCP=60 ° Z POH=Z QPB,/ PO=PQ ,POHA QPB, PH=QB, PC=BQ.(2)成立:PC=BQ.理由:作 PH/ AB交CO的延长线于 H.在 RtA ABC 中,/ Z ACB=90° , Z A=30° ,点 O 为 AB 中点, CO=AO=BO, Z CBO=60° , CBO
49、是等边三角形, Z CHP=Z COB=60 ° Z CPH=Z CBO=60 ° Z CHP=Z CPH=60 ° CPH是等边三角形, PC=PH=CH, OH=PB, / Z POH=60 +Z CPO,Z QPO=60 +Z CPQ Z POH=Z QPB, / PO=PQ, POHA QPB, PH=QB , PC=BQ.(3)如图3中,作CE丄OP于E,在PE上取一点F ,使得FP=FC,连接CF./ Z OPC=15 ° Z OCB=Z OCF+Z POC Z POC=45 ° CE=EO,设 CE=CO=a ,贝UFC=FP=2
50、a , EF= .3a ,在 RtAPCE中,PC=PE2 CE2 =; (2a 、3a)2 a2= (、6 2) a , T PGCB=4, (、.6 . 2) a -2a 4 ,解得 a=4、& 2二, PC=4 '、3 4 ,由(2)可知 BQ=PC, BQ=4'、3 4 .图点睛:此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定 和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造全 等三角形解决问题,属于中考压轴题.14. 小明合作学习小组在探究旋转、平移变换.如图 ABC, DEF均为等腰直角三角形,各顶点坐标
51、分别为A (1,1), B (2, 2),C (2, 1), D (2,0), E( 2 2,0),(1) 他们将 ABC绕C点按顺时针方向旋转标,并判断 A1C和DF的位置关系;(2) 他们将 ABC绕原点按顺时针方向旋转45°得到 A1B1C.请你写出点 A1, B1的坐45°,发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y 2 2x2 bx c上.请你求出符合条件的抛物线解析式;(3) 他们继续探究,发现将 ABC绕某个点旋转45,若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y x2上,则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标请你直接写出点 P的222【答案】解:(1) _2
52、、2322A1C和DF的位置关系是平行.(2) / ABC绕原点按顺时针方向旋转 45°后的三角形即为 DEF,当抛物线经过点 D、E时,根据题意可得:2 2 _2.2,解得0b 12c &2, y 2、2x2 12x8、,2. 当抛物线经过点 D、F时,根据题意可得:b 11c 7 2 y 22x2 11x7 2 . 当抛物线经过点 E、F时,根据题意可得:2.25 2.2b c 02.23.22 3心b c-,解得222222.222、, 2b c0 _2.23,222 3.2b c2-,解得2b 13c 10、丁 y 2.2x2 13x10、2.(3)在旋转过程中,可能有以下情形:顺时针旋转45 :点A、B落在抛物线上,如答图1所示, 易求得点P坐标为(0,2).2顺时针旋转45 °点B、C落在抛物线上,如答图 2所示,设点B', C'的横坐标分别为X1, X2, 易知此时B'与一、三象限角平分线平行,联立 y=x2 与 y=x+b 得:x2=x+b,即 X
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