2020-2021重庆备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题

1、2020-2021重庆备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题一、旋转1. (1)发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且 BC= a, AB= b.填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 (用含a, b的式子表示)应用：点A为线段BC外一动点，且 BC= 4, AB= 1，如图2所示，分别以AB, AC为 边，作等边三角形 ABD和等边三角形 ACE连接CD, BE.请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值.(3)拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2, 0),点B的坐标为(6, 0)，点P为线段AB外一动点，且 PA= 2, PM

2、 = PB, / BPM = 90°请直接写出线段 AM长的最大值及此时点P的坐标.帥【答案】(1)CB的延长线上，a+b ； (2)CD= BE,理由见解析;BE长的最大值为5; (3)满足条件的点P坐标(2 - . 2，-、2 )或(2 -2 ,2), AM的最大值为22+4.【解析】【分析】(1) 根据点A位于CB的延长线上时，线段 AC的长取得最大值，即可得到结论；(2)根据已知条件易证 CADA EAB,根据全等三角形的性质即可得CD= BE;由于线段BE长的最大值=线段 CD的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果；(3)连接BM, 将厶APM绕着点P顺时针旋转90

3、76;得到 PBN,连接AN,得到 APN是等腰直角三角形， 根据全等三角形的性质得到PN= PA= 2, BN= AM,根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2、. 2+4;如图2,过P作PE± x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点 P的坐标.如图3中，根据对称性可知当点 P在第四象限时也满 足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标.【详解】(1) 点A为线段BC外一动点，且 BC- a, AB= b,当点A位于CB的延长线上时，线段 AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB= a+b,故答案为CB的延长线上，a+b；CD= BE,理由：/ A

4、BD与厶ACE是等边三角形， AD= AB, AC= AE, / BAD= Z CAE= 60； Z BAD+Z BAC= Z CAEZ BAC,即 Z CAD= Z EAB,AD AB在厶CAD与厶EAB中，CAD EAB ,AC AE CADA EA&SAS, CD= BE；线段BE长的最大值=线段 CD的最大值，由知，当线段CD的长取得最大值时，点 D在CB的延长线上,最大值为 BD+BC= AB+BC= 5；如图1 ,.VHl将 APM绕着点P顺时针旋转90得到 PBN,连接AN, 则厶APN是等腰直角三角形，PN= PA= 2, BN= AM, A的坐标为(2, 0)，点B的

5、坐标为(6, 0), OA= 2, OB= 6,AB= 4, 线段AM长的最大值=线段 BN长的最大值，当N在线段BA的延长线时，线段 BN取得最大值， 最大值=AB+AN,AN = , 2 AP= 2 2 ,最大值为2 . 2 +4;如图2,T* /k AfL-V/JA J0I 2过P作PE± x轴于E,/ APN是等腰直角三角形， PE= AE=、2 , OE= BO- AB - AE= 6 -4 - , 2 = 2 -、一 2 ,P(2 ： 2，弋2 )-如图3中，根据对称性可知当点 P在第四象限时,P(2 -、2， . 2 )时，也满足条件.综上所述，满足条件的点P坐标(2

6、- 2 , . 2 )或(2 - , 22 ), AM的最大值为 2、2 +4.【点睛】 本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的 性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.2.平面上，RtA ABC与直径为CE的半圆0如图1摆放，/ B= 90 ° AC= 2CE= m , BC=n，半圆O交BC边于点D,将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点 D随半圆O旋转且/ ECD始终等于/ ACB,旋转角记为 a ( 0 ° <a<)180(1 )当 a= 0°时，连接 DE,则/ CDE=°, CD=;B

7、D(2) 试判断：旋转过程中 BD的大小有无变化？请仅就图 2的情形给出证明；AE(3) 若m= 10, n = 8,当a= Z ACB时，求线段 BD的长；(4) 若m= 6, n= 4、. 2，当半圆O旋转至与 ABC的边相切时，直接写出线段 BD的 长.【答案】(1) 90° - ;( 2)无变化;2【解析】(3) ;( 4) BD=2、诃或.53试题分析:CD1)根据直径的性质，由 DE/ AB得-CB CA即可解决问题.求出BD、AE即可解决问题.(2) 只要证明 AC0A BCD即可.(3) 求出AB AE,利用 AC0A BCD即可解决问题.(4) 分类讨论：如图5中，

8、当a =90时，半圆与AC相切，如图6中，当a =90 °AACB时，半圆与 BC相切，分别求出 BD即可. 试题解析：(1)解：如图1中，当a =0时，连接DE,则/ CDE=90 : / / CDE=Z B=90 ； / DE/ AB,CEACCD 11=.t BC=n,CD= n .故答CB 221案为90时，n.2如图 2 中，当 a =180时，BD=BC+CD=3 n, AE=AC+CE=3 m , BD = .故答案为 22AE mnCD BC nCE AC mm(2) 如图 3 中，/ Z ACB=Z DCE / ACE=Z BCD.BD BC n ACE BCD,

9、AE AC m(3)如图 4 中，当 a=Z ACB时.在 RtA ABC中，/ AC=10, BC=8,BD BCAE AC AB=、AC2 BC2 =6.在 RtA ABE 中，/ AB=6, BE=BC- CE=3,- AE= .= .6232 =3 '、5，由(2)可知 ACEA BCD BD =1, BD=虫1 .故答案为 苣.351055(4) / m=6, n=4、2，二 CE=3, CD=2 2 , AB= . CA? BC? =2，如图 5 中，当 a =90时，半圆与 AC相切.在 RtA DBC中, BD= . bc2 CD2 = (4 2)2 (2t2)2 =2

10、10 .如图6中，当a =90时+ACB时，半圆与BC相切，作EM丄AB于M . / Z M=Z CBM=Z BCE=90 时四边形 BCEM是矩形， BM EC 3, ME 4丘， - AM =5, AE= , AM 2 ME 2 = - 57，由(2)可知 =_ , BD= 2_114 .AE 33故答案为2. 10或2 114 .3点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出 图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题.3.(探索发现)如图， ABC是等边三角形，点 D为BC边上一个动点，将 ACD绕点A逆时针旋转60得到

11、 AEF，连接CE.小明在探索这个问题时发现四边形ABCE是菱形.小明是这样想的：衿边三角船sc I> 朋-= AC- 6 I :、衿边X.4CE L >AC AE I> AB - BC CE I > 賀刑 4HCE：(1)请参考小明的思路写出证明过程;(2)直接写出线段 CD , CF , AC之间的数量关系： ；(理解运用)如图，在 ABC中，AD BC于点D .将 ABD绕点A逆时针旋转90得到 AEF，延 长FE与BC ,交于点G.(3) 判断四边形 ADGF的形状，并说明理由；(拓展迁移)(4) 在(3)的前提下，如图，将 AFE沿AE折叠得到 AME，连接M

12、B，若AD 6 , BD 2，求 MB 的长.2.13【解析】【分析】(1) 根据旋转得： ACE是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE则四边形 ABCE是菱形;(2) 先证明 C、F、E在同一直线上，再证明 BADBACAF (SAS，贝U / ADB=Z AFC,BD=CF 可得 AC=CF+CD(3)先根据/ ADC=Z DAF=Z F=90°,证明得四边形 ADGF是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF是正方形；(4)证明 BAMBA EAD( SAS，根据BM=DE及勾股定理可得结论.【详解】(1) 证明：/ ABC是等边三角形， AB BC AC./ ACD绕点A逆时针

13、旋转60得到 AEF , CAE 60 , AC AE. ACE是等边三角形 AC AE CE. AB BC CE AE.四边形ABCE是菱形(2) 线段DC , CF , AC之间的数量关系： CD CF AC.(3) 四边形 ADGF是正方形理由如下： Rt ABD绕点A逆时针旋转90得到 AEF , AF AD , DAF 90 AD BC , ADC DAF F 90 .四边形ADGF是矩形AF AD ,四边形ADGF是正方形(4) 如图，连接DE .if Di “四边形ADGF是正方形，二 DG FG AD AF 6./ ABD绕点A逆时针旋转90得到AEF ,BAD EAF , B

14、D EF 2，二 EG FG EF 6 24.将 AFE沿AE折叠得到 AME ,MAEFAE ,AF AM .BADEAM .BADDAMEAMDAM，即 BAMDAE AF AD ,二 AM AD.AMAD在BAM和EAD中，BAMDAE ,ABAE二 BAMEADSAS .二 BM DE . EG2 DG2 . 42 62 213.【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形 的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边 三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解.4.已知 ABC是边长为4的等边三角形

15、，边 AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线0M 上的动点，当点 D不与点A重合时，将 ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到 BCE连接 DE.(1) 如图1,猜想： CDE的形状是 三角形.(2) 请证明(1)中的猜想(3) 设 OD=m, 当6 v m v 10时， BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出 BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由. 是否存在m的值，使 DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.O DXf图三【答案】(1)等边；(2)详见解析；(3)2 、3 +4;当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.【解析】【分

16、析】(1) 由旋转的性质猜想结论；即可得到结论；BE=AD,于是得到DE=CD,由垂线段最短得到当(2) 由旋转的性质得到 / DCE=60° DC=EC,(3) 当6 v m v 10时，由旋转的性质得到3dbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到CD丄AB时， BDE的周长最小，于是得到结论； 存在，分四种情况讨论：a)当点D与点B重合时，D, B, E不能构成三角形；b) 当0v 6时，由旋转的性质得到 / ABE=60 ° / BDEv 60 °求得/ BED=90 °根据等边三角形的性质得到 / DEB=60

17、76; ,求得/ CEB=30° ,求得 OD=OA- DA=6 - 4=2=m；c) 当6 v m v 10时，此时不存在；d) 当m > 10时，由旋转的性质得到 / DBE=60 °求得/ BDE> 60 °于是得到 m=14.【详解】(1) 等边；(2) 将 ACD绕点 C逆时针方向旋转 60°得到 BCEDCE=60° , DC=EC, / CDE 是等边三角形.(3) 存在，当6v t v 10时，由旋转的性质得：BE=AD, Ca dbE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE ,由(1) 知 , CDE 是等边三角形

18、,/ DE=CD, Cadbe=CD+4 ,由垂线段最短可知，当 CD丄AB时， BDE的周长最小，此时， CD=2、3 , BDE 的最小周长=CD+4=.3+4；存在，分四种情况讨论：a) ：当点D与点B重合时，D , B , E不能构成三角形，当点D与点B重合时，不符合 题意；b）当 0 v 6 时，由旋转可知， / ABE=60 ° / BDEv 60 °BED=90 ° 由（1）可知, CDE是等边三角形, / DEB=60 ° / CEB=30 °/ / CEB=Z CDA, / CDA=30 °/CAB=60 °

19、; / ACD=Z ADC=30 ° DA=CA=4, OD=OA DA=6 - 4=2, m=2；.Vc)当6 v m v 10时，由/ DBE=120 ° 90 °二此时不存在；d )当m > 10时，由旋转的性质可知，/ DBE=60 °又由(1)知/ CDE=60 °/BDE=Z CDEnZ BDC=60 +Z BDC,而/BDC> 0 ° / Z BDE> 60 ° 二只能/BDE=90 ；从 而/ BCD=30° , BD=BC=4 , 0D=14 , m=14.综上所述：当 m=2或

20、14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.【点睛】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判 定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.5.如图1,在RtAADE中，Z DAE=90°, C是边AE上任意一点(点 C与点A、E不重 合)，以AC为一直角边在 RtA ADE的外部作RtAABC, Z BAC=90 ,连接BE、CD.(1) 在图1中，若AC=AB, AE=AD,现将图1中的RtA ADE绕着点A顺时针旋转锐角 a, 得到图2，那么线段BE CD之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由；(2) 在图1中，若CA=3, AB=5, AE=

21、10, AD=6,将图1中的RtA ADE绕着点A顺时针旋 转锐角a,得到图3,连接BD CE.计算：BD2+C呂的值.【答案】1) BE=CD BEX CD,理由见角; 求证： ABEA ACD；2) 证明见解析；BD2+C自170.【解析】【分析】(1)结论:BE=CD, BEX CD;只要证明 BAE CAD,即可解决问题;(2) 根据两边成比例夹角相等即可证明 ABEAACD. 由 得到Z AEB=Z CDA.再根据等量代换得到 Z DGE=90 °即DG丄BE,根据勾股定理 得到bd2+cE2=cb? + ed2,即可根据勾股定理计算.【详解】(1) 结论：BE=CD, B

22、EX CD.理由：设BE与AC的交点为点F, BE与CD的交点为点G,如图2 ./ / CAB=Z EAD=90 ； / / CAD=Z BAE.ABAC在 CAD和 BAE中, /BAEAECAD , CADA BAE, CD=BE,AD【点睛】图/ ACD= / ABE / CFG/ ACD=90 ° / CGF=90 ° BEX CD./ BFA=Z CFG / BFA+Z ABF=90BE与DC的延长线交于点 G,如图3./ / CABB=Z EAD=90 ° / CAD=/ BAE.AE AD/ CA=3, AB=5, AD=6, AE=10, =2,

23、ABE ACD;AB AC/ ABEA ACD, / AEB=Z CDA./ / AFD=/ EFG / AFD+/ CDA=90 ； / EFGZ AEB=90 ° / DGE=90 ° DG丄 BE, / AGD=/ BGD=90 ° cEC+EG2 , BD2=BG2+DG2 , BD2+cE?=cG?+EG2+BG2+DG2 ./ CG2+BG2=CB2 , EG2+DG2=ED2 , BD2+cE?=CB2+ED2=CA2+AB2+AD2+AD2=170.本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相 似三角形的判定与性质

24、、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题 的关键.6.如图，正方形 ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接 AE,将线段AE绕点A逆时 针旋转90°得到AF,连接EF,交对角线BD于点G,连接AG.(1) 根据题意补全图形；(2) 判定AG与EF的位置关系并证明；(3) 当AB=3, BE=2时，求线段 BG的长.【答案】 见解析；(2)见解析;(3) 口 .2【解析】【分析】(1) 根据题意补全图形即可；(2) 先判断出 ADFBAABE,进而判断出点 C, D, F共线，即可判断出 DFG HEG, 得出FG=EG即可得出结论；(3) 先求出正方形的对角线

25、BD,再求出BH,进而求出 DH,即可得出HG,求和即可得出 结论.【详解】(1)补全图形如图所示,n.月B(2)连接DF,由旋转知，AE=AF, / EAF=90 ,四边形ABCD是正方形， AB / CD, AD=AB, / ABC=Z ADC=BAD=90 , / DAF=Z BAE, ADF ABE ( SAS , DF=BE / ADF=Z ABC=90 ,° / ADF+Z ADC=180 ,°点C, D, F共线， CF/ AB,过点E作EH/ BC交BD于H, / BEH=Z BCD=90 , DF/ EH, / DFG=Z HEG,/ BD是正方形 ABC

26、D的对角线， / CBD=45 ,° BE=EH/ / DGF=Z HGE, DFG HEG (AAS), FG=EG AE=AF AG 丄 EF;(3)/ BD是正方形的对角线， BD= 2 AB=3 2 ,由(2)知，在 RtA BEH 中，BH=2BE=22 , DG=BD-BH= 2由(2)知， DF3A HEG, DG=HG,1 HG= DH=2 BG=BH+HG=2 2+ .2=5.22 2【点睛】 此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性 质，勾股定理，作出辅助线是解本题的关键.7.如图 1.在 ABC中，/ ACB= 90 

27、6; 点 PABC内一点.(1) 连接PB PC,将厶BCP沿射线CA方向平移，得到 DAE,点B、C P的对应点分别 为点D、A、E,连接CE 依题意，请在图2中补全图形； 如果 BP丄CE, AB+ BP= 9, CE= 33，求 AB 的长.(2) 如图3，以点A为旋转中心，将 ABP顺时针旋转60。得到 AMN，连接PA PB【答案】见解析，AB = 6;47 .【解析】分析：(1)根据题意补全图形即可；连接BD、CD.根据平移的性质和 / ACB= 90 °得到四边形 BCAD是矩形，从而有CD=AB,设 CD= AB= X，则 PB= DE=(2)当C P、M、N四点共线

28、时， 可.详解：(1)补全图形如图所示；9 x ,由勾股定理求解即可；PA+ PB+ PC最小.由旋转的性质和勾股定理求解即CD. BCP沿射线CA方向平移，得到 BC/ AD且 BC= AD, PB= DE./ / ACB= 90 °四边形BCAD是矩形， CD= AB, DAE,CD= AB= X，贝U PB= 9 X ,DE= BP= 9 X ,/ BP丄 CE BP/ DE, DE丄 CE,，二 3 巧 2二 CE2 DE2 CD2 x 6，即 AB= 6；(2)如图，当C、P、M、N四点共线时，PA+ PB+ PC最小.易得 APM、 ABN都是等边三角形， PA= PM

29、, PA+ PB+ PC= PM + MN + PC= CN,BN= AB= 8, / BNA= 60； / PAM= 60； / CAN= / CAB+ / BAN= 60 °+ 60 = 120 ； / CBN= 90 ；在 RtAABC中，易得：BC=. AB2 AC2 、82 42 4、3,在 RtA BCN中，CN BC2 BN2, 48一64 4 J -点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性 质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和 全等三角形，依据图形的性质进行计算求解.&在正方形AB

30、CD中，连接BD.(1) 如图1, AE丄BD于E直接写出/ BAE的度数.(2) 如图1,在(1)的条件下，将 AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到 AB' E'AB'与BD交于M , AE'的延长线与 BD交于N. 依题意补全图1 ; 用等式表示线段 BM、DN和MN之间的数量关系，并证明.AE、AF(3)如图2, E、F是边BC CD上的点， CEF周长是正方形 ABCD周长的一半，分别与BD交于M、N,写出判断线段 BM、DN、MN之间数量关系的思路.(不必写出完BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2，证明见解析；(

31、3)答案见解析.【解析】(1) 利用等腰直角三角形的性质即可；(2 )依题意画出如图1所示的图形，根据性质和正方形的性质，判断线段的关系，再利用勾股定理得到FB2+BM2=FM2,再判断出FM=MN即可；(3) 利用 CEF周长是正方形 ABCD周长的一半，判断出 EF=EQ再利用(2)证明即可. 解:( 1) / BD 是正方形 ABCD 的对角线， / ABD=Z ADB=45 ,/ AE丄 BD, / ABE=Z BAE=45 ,BM、DN和MN之间的数量关系是 BM2+MD2=MN2 , 将厶AND绕点D顺时针旋转90°得到 AFB, / ADB=/ FBA, / BAF=/

32、 DAN, DN=BF, AF=AN,在正方形 ABCD 中，AE1 BD, / ADB=Z ABD=45 ,° / FBM=Z FBA+Z ABD=Z ADB+Z ABD=90 °在RtA BFM中，根据勾股定理得，FB2+BM2=FM2,旋转 ANE 得到 ABiEi, Z EABi=45° Z BABi+Z DAN=90° - 45 °45 ° / Z BAF=DAN Z BAB + Z BAF=45° Z FAM=45°， Z FAM=Z E1AB1 , / AM=AM , AF=AN,AFM ANM ,

33、FM=MN , fb2+bm2=fm2 , DN2+BM2=MN2 ,(3)如图2 ,丿 1)1/GH EiC将厶ADF绕点A顺时针旋转 90°得到 ABG , DF=GB正方形 ABCD的周长为4AB , CEF周长为EF+EC+CF/ CEF周长是正方形 ABCD周长的一半, 4AB=2 (EF+EC+CF , - 2AB=EF+EC+CF/ EC=AB- BE, CF=AB- DF, 2AB=EF+AB- BE+AB- DF , EF=DF+B E/ DF=GB, EF=GB+BE=GE 由旋转得到 AD=AG=AB/ AM=AM , AEG AEF Z EAG=Z EAF=4

34、5 , °和(2)的一样，得到 dn2+bm2=mn2.点睛”此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质，三角形的全等，判断出( AFNA ANM ,得到FM=MM ),是解题的关键9.在厶ABC中，AB=AC, Z A=30° ,将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD,再将线 段BD平移到EF,使点E在AB上,点F在AC上.(1) 如图1,直接写出Z ABD和Z CFE的度数；(2) 在图1中证明：AE=CF(3) 如图2,连接CE,判断 CEF的形状并加以证明.【答案】(1) 15° 45° ( 2)证明见解析；(3) C

35、EF是等腰直角三角形，证明见解析.【解析】试题分析：(1)根据等腰三角形的性质得到 / ABC的度数，由旋转的性质得到 / DBC的度 数，从而得到/ ABD的度数；根据三角形外角性质即可求得/ CFE的度数.(2) 连接CD DF,证明 BCD是等边三角形，得到 CD=BD,由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形，从而 AB/ FD,证明 AEF FCD即可得AE=CF(3) 过点E作EG丄CF于G,根据含30度直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质即 可证明 CEF是等腰直角三角形.(1) 在 ABC 中，AB=AC, / A=30°, / Z ABC=75将线段BC绕点B

36、逆时针旋转60°得到线段BD,即Z DBC=6. / ABD= 15. Z CFE=/ A+Z ABD=45 ,°(2) 如图，连接CD、DF.线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD, BD=BC Z CBD=6C°° BCD是等边三 角形. CD=BD.线段 BD 平移到 EF, EF/ BD, EF=BD四边形BDFE是平行四边形，EF= CD/ AB=AC, Z A=30°, Z ABC=Z ACB=78. Z ABD=Z ACD=15 .四边形BDFE是平行四边形， AB / FD. Z A=Z CFD. AEFA FCD( AAS)

37、. AE=CF(3) CEF是等腰直角三角形，证明如下: 如图，过点E作EG丄CF于G,/ / CFE =45,FEG=45. ° EG=FG1/ A=30°,/ AGE=90 ,严=严AE=CF, EG = IcF1FG = -CF. G为CF的中点. EG为CF的垂直平分线 EF=EC / CEF=/ FEG=90 .° CEF是等腰直角三角形.考点：1旋转和平移问题；2等腰三角形的性质；3 三角形外角性质；4等边三角形的 判定和性质；5平行四边形的判定和性质；6全等三角形的判定和性质；7 .含30度直角三角形的性质；&垂直平分线的判定和性质；9.等腰

38、直角三角形的判定10.已知：一次函数.一-'-的图象与x轴、y轴的交点分别为 A、B,以B为旋转中 BCD （其中O与C A与D是对应的顶点)(2)当/ BAD=45时，求D点的坐标;(3)当点C在线段AB上时，求直线BD的关系式7【答案】(1) 5；( 2) D (4, 7)或(-4, 1 )；( 3)【解析】试题分析：(1)先分别求得一次函数'-的图象与x轴、y轴的交点坐标，再根据勾股定理求解即可；(2) 根据旋转的性质结合 BOA的特征求解即可；(3) 先根据点C在线段AB上判断出点D的坐标，再根据待定系数法列方程组求解即可(1) 在 -时，当 一时，；一，当：|时，.了

39、 3,.三-/ ;(2) 由题意得 D (4, 7)或(-4, 1);(2)由题意得D点坐标为(4, 一)6设直线BD的关系式为.-匕.- 图象过点 B (0, 4), D (4,.)05=44十聖，解得r7y=24x + 46直线BD的关系式为考点：动点的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典 型.11.如图所示，在 ABC中，D、E分别是AB AC上的点，DE/ BC,如图，然后将 ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图 ，然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM= BD, EN= CE,得到图，请解答下列问题：(1) 若AB= AC,请探究下

40、列数量关系： 在图 中，BD与CE的数量关系是 ; 在图中，猜想AM与AN的数量关系、/ MAN与/ BAC的数量关系，并证明你的猜 想；若AB= kAC(k> 1),按上述操作方法，得到图 ，请继续探究：AM与AN的数量关 系、/ MAN与/ BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.ABA【答案】(1)BD=CE; AM=AN , / MAN= / BAC理由如下：在图 中，DE/BC, AB=AC AD="AE."AR = AC,= £.CAEf.AD AE在厶 ABD 与厶 ACE 中 ABDA ACE. BD=CE / ACE=/ ABD.在厶

41、DAM与厶EAN中,1 11/ / AEN=/ ACE+/ CAE,DM=，BD, EN=CE, BD=CE DM=EN,/ ADM= / ABD+/ BAD, / AEN=/ ADM.又 AE=AD,ADMAEN<-AM=AN , / DAM=/ EAN<- / MAN= / DAE=/ BAC. AM=AN , / MAN= / BAC.(2) AM=kAN , / MAN= / BAC.【解析】(1) 根据题意和旋转的性质可知 AECAADB,所以BD=CE 根据题意可知 / CAE=BAD AB=AC, AD=AE所以得到 BAD 。人巳在 ABM和 ACN 中，11DM=

42、£BD, EN= CE,可证 ABMACN，所以 AM=AN，即/ MAN= / BAC.丄厶(2)直接类比(1)中结果可知 AM=k?AN , / MAN= / BAC.12. (1)观察猜想如图 ，在 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC点D是BC的中点.以点 D为顶点作正方形DEFG使点A , C分别在DG和DE上，连接AE, BG ,则线段BG和AE的数量关系是(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°小于或等于 360 °，如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请 说明理由 解决

43、问题若BC=DE=2在(2)的旋转过程中，当 AE为最大值时，直接写出 AF的值【答案】(1) BG= AE.(2) 成立.如图,连接AD. ABC是等腰三直角角形，/ BAC= 90°点D是BC的中点. / ADB= 90 ；且 BD= AD./ / BDG= / ADB- / ADG= 90 °- / ADG= / ADE, DG= DE. BDGAADE, BG= AE. 7分(3) 由(2)知，BG= AE,故当BG最大时，AE也最大.正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转 270°时，BG最大，如图.若 BC= DE= 2AD= 1 , EF= 2.在 Rt

44、AAEF中，AF2= AE2 + EF2= (AD+ DE)2 + EF2= (1 + 2)2+ 22= 13.二 AF=-'【解析】解：(1) BG= AE.(2) 成立.如图，连接ad. ABC是等腰三直角角形，/ BAC= 90 °点D是BC的中点. / ADB= 90 ° 且 BD= AD./ / BDG= / ADB- / ADG= 90 °- / ADG= / ADE, DG= DE. BDGA ADE, BG= AE.(3) 由(2)知，BG= AE,故当BG最大时，AE也最大.Z+X+X+K因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的

45、图形是以点 D为圆心，DG为半径的 圆，故当正方形 DEFG旋转到G点位于BC的延长线上(即正方形 DEFG绕点D逆时针方向 旋转270°)时，BG最大，如图 .若 BC= DE= 2，贝V AD= 1，EF= 2.在 RtAAEF中，A= AE2 + EF= (AD+ DE)2 + EF= (1 + 2)2+ 22= 13. AF=.即在正方形DEFG旋转过程中，当 AE为最大值时，AF= 立.13.如图，在 RtA ABC中，/ ACB=90 ° / A=30 °点O为AB中点，点 P为直线BC上的动 点(不与点B、点C重合)，连接 OC OP，将线段OP绕点

46、P顺时针旋转60°得到线段 PQ,连接BQ.(1) 如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段 BQ与CP的数量关系.(2) 如图2,当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若 不成立，请说明理由；(3) 如图3,当点P在BC延长线上时，若 / BPO=15°，BP=4,请求出BQ的长.【答案】（1） BQ=CP （ 2）成立：PC=BQ;（ 3） 4.3 4 .【解析】试题分析：（1）结论：BQ=CP.如图1中，作PH/ AB交CO于H,可得APCH是等边三角 形，只要证明 POHA QPB即可；（2） 成立：PC=BQ.作PH / AB交CO

47、的延长线于 H.证明方法类似（1）;（3）如图3中，作CE丄OP于E,在PE上取一点F,使得FP=FC连接CF.设CE=CO=a, 则FC=FP=2a, EF=、_§a，在RtAPCE中，表示出PC,根据PC+CB=4，可得方程I、6. 2） a '.2a 4，求出a即可解决问题；试题解析：解：（1）结论：BQ=CP.理由：如图1中，作PH/ AB交CO于H.在 RtA ABC 中，/ Z ACB=90° / A=30° 点 O 为 AB 中点，/ CO=AO=BO, / CBO=60° , CBO是等边三角形， Z CHP=Z COB=60 &

48、#176; Z CPH=Z CBO=60 ° / Z CHP=Z CPH=60 ° CPH是等边三角形， PC=PH=CH, OH=PB,/ Z OPB=Z OPQ+Z QPB=Z OC申Z COP / Z OPQ=Z OCP=60 ° Z POH=Z QPB,/ PO=PQ ,POHA QPB, PH=QB, PC=BQ.（2）成立：PC=BQ.理由：作 PH/ AB交CO的延长线于 H.在 RtA ABC 中，/ Z ACB=90° , Z A=30° ,点 O 为 AB 中点， CO=AO=BO, Z CBO=60° , CBO

49、是等边三角形， Z CHP=Z COB=60 ° Z CPH=Z CBO=60 ° Z CHP=Z CPH=60 ° CPH是等边三角形， PC=PH=CH, OH=PB, / Z POH=60 +Z CPO,Z QPO=60 +Z CPQ Z POH=Z QPB, / PO=PQ, POHA QPB, PH=QB , PC=BQ.（3）如图3中，作CE丄OP于E,在PE上取一点F ,使得FP=FC,连接CF./ Z OPC=15 ° Z OCB=Z OCF+Z POC Z POC=45 ° CE=EO,设 CE=CO=a ,贝UFC=FP=2

50、a , EF= .3a ,在 RtAPCE中，PC=PE2 CE2 =; （2a 、3a）2 a2= （、6 2） a , T PGCB=4, （、.6 . 2） a -2a 4 ,解得 a=4、& 2二， PC=4 '、3 4 ,由（2）可知 BQ=PC, BQ=4'、3 4 .图点睛：此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定 和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全 等三角形解决问题，属于中考压轴题.14. 小明合作学习小组在探究旋转、平移变换.如图 ABC, DEF均为等腰直角三角形,各顶点坐标

51、分别为A (1,1), B (2, 2),C (2, 1), D (2，0), E( 2 2，0),(1) 他们将 ABC绕C点按顺时针方向旋转标，并判断 A1C和DF的位置关系；(2) 他们将 ABC绕原点按顺时针方向旋转45°得到 A1B1C.请你写出点 A1, B1的坐45°，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y 2 2x2 bx c上.请你求出符合条件的抛物线解析式;(3) 他们继续探究，发现将 ABC绕某个点旋转45,若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y x2上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标请你直接写出点 P的222【答案】解：(1) _2

52、、2322A1C和DF的位置关系是平行.(2) / ABC绕原点按顺时针方向旋转 45°后的三角形即为 DEF,当抛物线经过点 D、E时，根据题意可得:2 2 _2.2，解得0b 12c &2， y 2、2x2 12x8、,2. 当抛物线经过点 D、F时，根据题意可得:b 11c 7 2 y 22x2 11x7 2 . 当抛物线经过点 E、F时，根据题意可得:2.25 2.2b c 02.23.22 3心b c-，解得222222.222、, 2b c0 _2.23,222 3.2b c2-，解得2b 13c 10、丁 y 2.2x2 13x10、2.(3)在旋转过程中，可能有以下情形：顺时针旋转45 :点A、B落在抛物线上，如答图1所示, 易求得点P坐标为(0，2).2顺时针旋转45 °点B、C落在抛物线上，如答图 2所示,设点B', C'的横坐标分别为X1, X2, 易知此时B'与一、三象限角平分线平行,联立 y=x2 与 y=x+b 得：x2=x+b，即 X