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1、一元一次方程解应 用 ) 全( 法解和路思 的题 一元一次方程解应用题的思路和解法 一元一次方程应用题是初一数学学习的重点,也是一个难点。 主要困难体现在两个方面: 一是难以从实际问题中找出相等关系, 列 出相应的方程;二是对数量关系稍复杂的方程, 常常理不清楚基本量, 也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系, 导 致解题时无从下手。事实上,方程就是一个含未知数的等式。列方程解应用题,就是要将 实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出 来。而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义, 它们分别表 示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。 由此,解方程应用

2、题 的关键就是要“抓住基本量,找出相等关系” 。 所以,我认为解题关键为: 先找出等量关系,根据基本量设未知数 。 一般是问什么设什么, 但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设 一些中间量为未知数。初中一年级涉及到的一元一次方程应用题主要有以下几类:(1)行程问题;(2)工程问题;(3)溶液配比问题;(4)销售问题;(5)数字问题;(6)比例问题;)设中间变量的问题。 7 (不管是什么问题, 关键是要了解各个具体问题所具有的基本量, 并了 解各个问题所本身隐含的等量关系, 结合具体的问题, 根据等量关系 列出方程。下面针对以上七项分别进行讲解。1 行程问题 行程问题中有三个基本量:路程、时间

3、、速度。等量关系为:路程 =速度×时间;=;速度。= 时间 特殊情况是航行问题,其是行程问题中的一种特殊情况, 其速度在不同的条件下会发生变化。顺水(风)速度 =静水(无风)速度 + 水流速度(风速);逆水(风)速度 =静水(无风)速度水流速度(风速) 。 由此可得到航行问题中一个重要等量关系: 顺水(风)速度水流速度 (风速)逆水(风) 速度+水流速度(风 速)静水(无风)速度。例 1:一列火车从甲地开往乙地,每小时行 90 千米,行到一半时耽 误了 12 分钟,当着列火车每小时加快 10 千米后,恰好按时到了乙地, 求甲、乙两站距离?此题的等量关系是:列车改变速度以后所用的总时间

4、 =原计划的 时间。)x/90 则可设甲乙之间距离为 x 千米,那么原计划的时间为 ( 小时。 走了一半的路程所用 90 实际所用时间分三段, 第一段用原速度 分钟 (转换成小时为 12 时间()小时,第二段是耽误停留的)小时) ,第 三段为加速后走另一半路程所用的时间 12/60( ()小时,所以可 以列方程为:解得: x=360 千米。 地,两人都匀地到 AB:甲骑车从 A 地到地,乙 骑车从 B例 2 时,两人相距 108时同时出发, 到上午速前进。 已知两 人在上午 AB两地路程。 36千米,到中午 12 时,两人又相距千米。 求 36 小时候相距两地两人匀速相向而行, 2 本题可以简

5、化为: A 、 B 距离。而两人各自的 B 千米,求 A、3636千米,4 小时候后仍相距速 度是多少,是不是相等这些均没有交代。为了有助于我们找到等 量 关系,我们可以借助草图。 B DCA乙 甲小时后假设 2出发去 A,相向而行, BA 甲从出发去 B,乙从 千米。又过了两小时后 36之间的距离为,乙到 CD,此时 CD 甲到千 米。我们根本不知 36之间的距离仍是 CD,此时 C,乙到 D 甲到 道甲乙的速度,但是我们知道一个等量关系就是甲乙的速度始终不变。 那么设 A、B 之间的距离为 x 千米,那么 2 小时后,甲乙一共走的路 程是( x-36)千米,用时 2 小时,那么甲乙的速度和

6、是:4小时候后,甲乙仍相距 36 千米,此时他们共走的路程是( x+36) 千米,用时 4 小时,那么甲乙的速度和是:所以可以列方程为:解得: x=108 千米。例 3:某队伍 450米长,以每分钟 90 米速度前进,某人从排尾到排 头取东西后,立即返回排尾,速度为 3米/ 秒。问往返共需多少时间?这一问题实际上分为两个过程: 从排尾到排头的过程是一个追及过程, 相当于最后一个人追上最前 面的人;从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程, 相当于从排头走到与排 尾的人相遇。在第一个过程追及问题中, 等量关系是:此人行进的路程 -队伍 ,则:x 设此段此人行进的时间为 队伍长度。 =行进的路程解得

7、x=300s在第二个过程相遇问题中,等量关系是: 此人行进的路程 +队伍行进的路程=队伍长度。 设此段此人行进的时间为 y,则:解得: y=100s。所以往返共用时间为 x+y=400s。例 4:一艘轮船在甲、乙两地之间行驶,顺流航行需 6 小时,逆流航 行需 8 小时,已知水流速度每小时 2 km。求甲、 乙两地之间的距离。 顺水速度 =静水速度 +水流速度; 逆水速度 =静水速度水流速度。此题的等量关系是: 静水速度顺水速度水流速度逆水速度 +水 流速度。设两地之间距离为 x 千米,则解得 x=96 千米。巩固练习:1、某队伍 450 米长,以每分钟 90米速度前进,某人从排尾到排头取 东

8、西后,立即返回排尾,速度为 3 米 / 秒。问往返共需多少时 间?2、一列火车从甲地开往乙地,每小时行 90 千米,行到一半时耽误了 12 分钟,当着列火车每小时加快 10千米后,恰好按时到了乙地,求 甲、乙两站距离?3、小明到外婆家去,若每小时行 5 千米,正好按预定时间到达,他 走了全程的五分之一时,搭上了一辆每小时行 40 千米的汽车,因此 比预定时间提前 1 小时 24 分钟到达,求小明与他外婆家的距离是多 少千米?4、甲乙两人分别从相距 60 千米的 AB两地骑摩托车出发去某地,甲 在乙后面,甲每小时骑 80 千米,乙每小时骑 45千米,若甲比乙早30 分出发,问甲出发经过多长时间可

9、以追上乙?5 、某飞机原定以每小时 495千米的速度飞往目的地,后因任务 紧急,飞行速度提高到每小时 660千米,结果提前 1 小时到达,问总 的航程是多少千米?6、一列货车和一列客车同时同地背向而行,当货车行 5 小时,客车 行 6 小时后,两车相距 568 千米。已知货车每小时比客车快 8 千米。 客车每小时行多少千米?7、李欣骑自行车, 刘强骑摩托车,同时从相距 60 千米的两地出发相 向而行。途中相遇后继续前进背向而行。在出发后 6 小时,他们相距 240千米。已知李欣每小时行 18 千米,求刘强每小时行多少千米?8、甲、乙两人相距 22.5 千米,并分别以 2.5 千米/时与 5千米

10、时的 速度/千米 7.5 时的速度同时相向而行,同时甲所带的小狗以 / 奔向乙,小狗遇乙后立即回头奔向甲,遇甲后又奔向乙直到甲、 乙两人相遇,求小狗所走的路程。9 、一辆汽车以每小时 60千米的速度由甲地驶往乙地 ,当车行驶 了 4小时 30分后,遇雨路滑,车不能开快 ,这样将速度每小时减少 20 千米,结果比预计时间晚 45分钟到达乙地 ,求甲,乙两地的距离。 10、小刚和小明骑自行车去郊外游玩, 事先决定早晨 8 时从家里出发, 预计每时骑 7.5 千米,上午 10 时可到目的地。出发前他们又决定上 午 9 时到达目的地。那么每小时骑多少千米?2 工程问题 工程问题的基本量有:工作量、工作

11、效率、工作时间。关系式为:工作量 =工作效率×工作时间;=; 工作时间。工作效率 =工程问题中,一般常将全部工作量看作整体 1,如果完成全部,则工作效率为 t。常见的相等关系有两种:如果工作的时间为以 工作量作相等关系,部分工作量之和 =总工作量。如果以时间作相 等关系,则完成同一工作的时间差 =多用的时间。在工程问题中,还要注意有些问题中工作量给出了明确的数 ,此时 工作效率也即工作速度。 1 量,这时不能看作整体例 1:加工某种工件,甲单独作要 20 天完成,乙只要 10 就能完成任 务,现在要求二人在 12 天内完成任务。问乙需工作几天后甲再继续 加工才可正好按期完成任务?解析

12、:将全部工作看做整体 1,由甲、乙单独完成的时间可,乙的工作效率为。问题是乙需要单独工作知,甲的工作效率为几 天后甲再工作正好完成任务, 可知整个工程分成了两部分, 第一部分 由乙单独工作,第二部分由甲单独工作,两部分的和是整个工作。所 以可知等量关系为: 乙工作的工程量 +甲工作的工程量 =1。 可设乙加工 x 天,那么因为要 12 天内完成任务,则甲工作的天,则乙的工程量为)天。因为乙的效率为数为( 12-x ;甲的工作 , 则甲的工程量为,所以可列方程为: 效率为解得: x=8 天。亩,预计若干小时割完。收割:收割一块麦地,每 小时割 4例 2 倍。因此比 1.5 了后,改用新式农具收割

13、,工作效率提 高到原来的 小时完工。求这块麦地有多少亩?预计时间提前 1 老式 收割与新式收割混合的作业时 解析:本题的等量关系为: 单独老式 收割的作业时间 =1。间 -/亩亩,那么在改用新式农具之前的工作效率 是可设麦地有 x4 。改用新式工具亩,此作业时间为小时,按照此效 率收割了 亩,此作业时间为小时,工作任务为 /亩 4=6×1.5 后,工作 效率为 ,所以老式收割与新式收割混合的作业时间为: ,而单 独老 式收割的作业时间为,所以根据等量关系可列方程为:解得 x=36 亩。例 3:一水池装有甲、乙、丙三个水管,加、乙是进水管,丙是排水 管,甲单独开需 10小时注满一池水,

14、乙单独开需 6 小时注满一池水, 丙单独开 15 小时放完一池水。现在三管齐开,需多少时间注满水池? 解析:可知三个水管的工作效率如下:甲水管的注水效率为; 乙水管的注水效率为; 丙水管的放水效率为。那么当三个水管同时开时, 可知其等量关系为: 一定时间内甲乙的注水工作量 -丙的排水工作量 =工程整体 1。 小时,则甲的注水工作量为 x,乙的注水则可设注水时间为 ,丙的 排水工作量为,则可列方程为:工作量为解得 x=5 小时。巩固练习:1、一件工作,甲单独做 20小时完成,乙单独做 12小时完成。 ? 甲乙合做,需几小时完成这件工作小时完成。 12 2、一件工作,甲单独做 20小时完成,乙单独

15、做 ? 小时,剩下的部分由甲、乙合做,还需几小时完成若甲先单独做 4 小 时完成, 3、一件工作,甲单独做 20小时完成,乙单独做 12 小时, 然后由甲、乙合丙单独做 15 小时完成,若先由甲、丙合做 5? 做,问还需几天完成小时完成。现在计划先 4、整理一批数据,、由 一人做需要 80,怎小时,完成这项工作的 3/45人做 8由一些人做 2 小时,再增加 样安排参与整理数据的具体人数? 26 小时生产一批零 件,后因每小时多生产 55 件,、某工厂计划用 24小时,不但完成了 任务,而且还比原计划多生产了 60 件,问原计划生产多少零件? 3 溶液配比问题 行程问题中有四个基本量:溶质(纯

16、净物) 、溶剂(杂质)、溶液(混 合物)、浓度(含量)。其关系式为:溶液=溶质+溶剂(混合物 =纯净物 +杂质);浓度=×100 =× 100;×100=×100。 纯度(含量) =由可得到: 溶质 =浓度×溶 液 =浓度×(溶质 +溶剂)。例 1:把 1000 克浓度为 80的酒精配成浓度为 60的酒精,应加入浓度为 20的酒精多少克?解析:等量关系是: 溶质质量相等。配比前的溶质质量分两部分, 第一部分为 80%浓度的酒精的溶质质量, 第二部分为浓度为 20%浓度的酒精的溶质质量。 配比后的溶质质量为 60%浓度的酒精的溶质质量。

17、则设加入溶度为 20%的酒精 x 克,可以列式为:计算得: x=2000 克。例 2:现有浓度为 10%及浓度为 20%的两种氯化钠溶液,问各取多少 可配制成浓度为 14%的溶液 100 克?解析:本题跟上题等量关系一样。可设需 10%浓度的氯化钠溶液 x克,那么需 20%的氯化钠溶液(100-x) 克,可列方程为:解得: x=60 克,则需要 20%浓度的 100-60=40克。巩固练习:1、有含盐 8%的盐水 40Kg,要使盐水含盐 20%,如果加盐,需加 盐多少千克?如果蒸发掉水分,需蒸发掉多少千克的水?2、有两种合金, 第一种含铜 90%,第二种含铜 80%,现要熔 千克, 则两种合金

18、应各取多少千克? 240 的合金 82.5%炼一种含铜3、从每千克 0.8 元的苹果中取出一部分, 又从每千克 0.5 元的苹果中 取出一部分混合后共 15千克,每千克要卖 0.6 元,问需从两种苹果 中各取出多少千克?4、在全国足球甲级 A 组的前 11 场比赛中,某队保持连续不败,共 积 23 分,按照比赛规则,胜一场得 3 分,平一场得 1 分,那么该队 共胜利了多少场?5、小明在学校的篮球比赛中他一人得了 23分,如果他投进的 2 分球 比 3 分球多 4 个,那么他投进的 2 分球是多少个?6、某同学要把 450 克浓度为 60%的盐溶液配成浓度为 40%的溶液, 但他未经考虑便加入

19、了 300 克水。请通过计算说明该同学加进的水 是超量的。这时需加进盐多少克?配成 40%浓度的盐溶液多少克?4 销售问题与生活、生产实际相关的销售类应用题, 是近年中考数学创新题中的 一个突出类型。销售类问题主要体现为三大类:销售利润问题、 优惠(促销)问题、存贷问题。这三类问题的基本量各不相同,在 寻找相等关系时, 一定要联系实际生活情景去思考, 才能更好地理解 问题的本质,正确列出方程。(1)销售利润问题。 利润问题中有四个基本量:成本(进价) 、销售价(收入)、利润、利 润率。基本关系式有: 利润 =销售价(收入)成本(进价) ; 成本(进价) =销售价(收入)利润;=; 利润率利润

20、=成本(进价)×利润率。在有折扣的销售问题中, 实际销售价 =标价×折扣率。 打折问题中常 以进价不变作相等关系。(2)优惠(促销)问题。 日常生活中有很多促销活动,不同的购物(消费)方式可以得到不同 的优惠。这类问题中,一般从“什么情况下效果一样分析起” 。并以 求得的数值为基准,取一个比它大的数及一个比它小的数进行检验, 预测其变化趋势。(3)存贷问题。存贷问题与日常生活密切相关,也是中考命题时最 好选取的问题情景之一。 存贷问题中有本金、利息、利息税三个基本 量,还有与之相关的利率、本息和、税率等量。其关系式有:利息 =本金×利率×期数;利息税 =

21、利息×税率; 本息和(本利) =本金 +利息利息税。例 1:某商店先在广州以每件 15 元的价格购进某种商品 10 件,后来 又到深圳以每件 12.5 元的价格购进同样商品 40 件。如果商店销售这 种商品时,要获利 12,那么这种商品的销售价应定多 少? 解析:设销售价每件 x 元,销售收入则为( 10+40) x 元,而成本(进价) 为(5× 10+40×12.5)元,利润率为 12,则利润为(5× 10+40×12.5) ×12。则可列方程为:(10+40)x(5×10+40×12.5)=(5×10

22、+40×12.5)×12 解得 x=14.56 元。例 2:某种商品因换季准备打折出售,如果按定价七五折出售,则赔 25元,而按定价的九折出售将赚 20 元。问这种商品的定价是多少? 解析:设定价为 x 元,七五折售价为 75x 元,因为赔 25 元则利润为 25 元,进价则为 75x( 25)=75x+25;九折销售售价为 90x, 利润为 20 元,进价为 90 x 20。根据等量关系进价一定,克列方程为:75x+25=90x20解得 x = 300 元。例 3:小明假期打工收入了一笔工资, 他立即存入银行, 存期为半年。整存整取,年利息为 2.16 。取款时扣除 20

23、利息税。小明共得到 本利 504.32 元。问半年前小明共存入多少元?解析: 本题中要求的未知数是本金,可设存入的本金为 x 元,由年利率为 2.16,期数为 0.5 年,则利息为 0.5×2.16x,利息税为 20× 0.5 ×2.16x,则可列方程为:x +0.5×2.16x20× 0.5×2.16x=504.32 解得 x = 500 元。例 4:某服装商店出售一种优惠购物卡,花 200 元买这种卡后,凭卡 可在这家商店 8 折购物,什么情况下买卡购物合算?解析: 购物优惠先考虑“什么情况下情况一样” 。设购物 x 元买卡与不买

24、卡效果一样,买卡花费金额为( 200+80x) 元,不买卡花费金额为 x 元,故有:200+80 x = x解得: x = 1000 元。当 x >1000时,如 x=2000 买卡消费的花费为: 200+80× 2000=1800 (元)。不买卡花费为: 2000(元 ) 此时买卡购物合算。当 x <1000 时,如 x=800 买卡消费的花费为: 200+80× 800=840 (元)。不买卡花费为: 800(元) 此时买卡不合算巩固练习:1、某单位准备要去某地方旅行 该单位正在准备联系旅行社旅 B 折付费 8 旅行社表明全部打 300 A 旅行社每位的费用

25、都是 B、A 请问当该单位的人数为多少人去折付费 行社表明一人免费 其余按 9 两个旅行社的费用总额一样?旅行时 销,2、现在对某商品降价百分之十促销 ,为了使销售总金额不变 ? 售量要比按原价销售时增加百分之几吨,若在市场上直接销售鲜奶, 每 93、某牛奶加工厂现有鲜奶元;制成奶吨可获取 500 元;制成酸 奶销售,每吨可获取利润 1200 元。该工厂的生产能力是:制成酸片 销售,每吨可获取利润 2000吨。受人员限制, 3 吨;制成奶片,每 天可加工 1 奶,每天可加工天内全部销售或加工完毕。 为此设计两种 可行方这批牛奶必须在 4 案: 方案一:尽可能多的制成奶片,其 余的直接销售鲜奶。

26、 4 方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销 售,并且恰好 问:你认为选择哪种方案获利多?为什么? 天完成。, 然后再在广告中写上 “大酬、某商场将彩电先按原价提高 30% 4 元, 求每台彩电的宾、 八折优惠”,结果每台彩电比原价多赚了 112 原价 应是多少元?5、小明把压岁钱按定期一年存入银行。当时一年期存款的年利率为 1.98 ,利息税的税率为 20. 到期支取时,扣除利息税后小明实得 本利和为 507.92 元。问小明存入银行的压岁钱有多少元?6、在市场上常听到小贩与顾客的讨价还价: “10 元的玩具赛车打八 折”“能不能再便宜 2元?”如果小贩真的让利 2 元卖了, ,这种玩 具

27、的进价是多少元? 20%他还能获利7、老张把 5000 元按一年期的定期储蓄存入银行。到期支取时,扣去 利息税后实得本利和为 5080 元。已知利息税税率为 20,问当时一 年期定期储蓄的年利率为多少?8、某商品的进价是 2000 元,标价是 3000 元,若商店要求以利润率 不低于 5的售价打折出售,则售货员最低可以打几折出售此商品?9、某商店把一种货品按标价的 9 折出售,可获利 20%,若其进价为 每件 21 元,求每件标价多少元?10、某年二年期定期储蓄的年利率为 2.25 ,所得利息需交纳 20 的利息税。已知某储户到期后实得利息 450 元,问该储户存入本金多 少元?5 数字问题一

28、元一次方程应用题中的数字问题多是整数, 要注意数位、 数位上的 数字、数值三者间的关系:任何数 =(数位上的数字×位权)如两位数 ab=10a+b;三位数 abc=100a+10b+c。在求解数字问题时要 注意整体设元思想的运用。例 1 :一个三位数, 三个数位上的和是 17,百位上的数比十位上的数 大 7,个位上的数是十位上的数的 3 倍。求这个数。解析:设这个数十位上的数字为 x,则个位上的数字为 3x,百位上的 。 +10x+3x)x+7( 100),这个三位数则为 x+7 数字为(依题意可列方程为:(x+7)+x+3x=17 解得: x=2。所以这个三位数为: 100( x+

29、7) +10x+3x=900+20+6=926。例 2:一个六位数的最高位上的数字是 1 ,如果把这个数字移到个位 数的右边,那么所得的数等于原数的 3 倍,求原数。解析:这个六位数最高位上的数移到个位后, 后五位数则相应整体前移 1 位, 即每个数位上的数字被扩大 10 倍,可将后五位数看成一个整体设未 知数。设除去最高位上数字 1 后的 5 位数为 x,则原数为 +x ,移动后 的数为 10x+1,依题意可列方程为:10x+1=+x解得 x = 42857。则原数为。巩固练习:1、三个连续奇数的和是 63,求这三个奇数。2、三个连续偶数的和是 18,求它们的积。3、在日历上任意画一个含有

30、9个数字的方框( 33),然后把方框中 的 9 个数字加起来,结果等于 90,试求出这 9 个数字正中间的那个 数。4、一个三位数,三个数位上的数的和是 17,百位上的数比十 倍, 求这三个数。 3,个位上的数是十位上数的 7 位上的数大5、已知三个连续奇数的和比它们相邻的两个偶数的和多15,求三个连续奇数。8、将 55 分成四个数,如果第一个数加 1,第二个数减去 1,第三个 数乘以 2,第四个数除以 3,所得的数都相同,求这四个数分别是多 少?10、小华参加日语培训,为期 8 天,这 8 天的和为 100,问小华几号 结束培训?11、小明今年的生日的前一天,当天和后一天的日期之和是78,小

31、明今年几号过生日?12、王老师要参加三天培训, 这三天恰好在日历的一竖排上且三个数 字相连,并且这三个日子的数字之和是 36,你知道王老师都要在几 号参加培训吗?13、小明和小红作游戏,小明拿出一张日历说; “我用笔圈出了 2 2 的一个正方形,它们数字的和是 76,你知道我圈出的是哪几个数字 吗?”你能帮小红解决吗?14、三个连续偶数的和是 36,求它们的积。15、一个两位数,个位数字是十位数字的 4 倍,如果把个位数字与十 位数字对调,那么得到的新数比原数大 54,求原来的两位数。,求这三个数。 75、三个连续奇数的和是 1617、一个两位数, 十位数字是 a,个位数字是 b,把这个两位数

32、的十位数 字与个位数字对调,所得的数减去原数,差为 72,求这个两位数。18、用一个正方形在某个月的日历上圈出 22 个数的和为 64,这 4 天分别是几号?19、如果用一个正方形在某个月的日历上圈出 33 个数的和为 126, 则这 9 天分别是几号?20、若今天是星期一,请问 2004 天之后是星期几?22、有一个两位数,十位数字比个位数字的 2 倍多 1,将两个数字对 调后,所得的数比原数小 36,求原数。23、一个数的七分之一与 5 的差等于最小的正整数, 这个数是多少?24、一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小 1,十位与个位上 的数字之和是这个两位数的五分之一,求这个两位数。2

33、5、某中学初一学生小刚今年 13 岁,属羊,非常巧合的是,小刚的 爷爷也是属羊的,而且两个人的年龄的和是 86,你能算出小刚爷爷 的年龄吗?26、三个连续偶数的和比其中最大的一个数大 10,这三个连续偶数 是什么?它们的和是多少?6 比例问题 比例问题在生活中比较常见,比如合理安排工人生产,按比例 选取 工程材料,调剂人数或货物等。 比例问题中主要考虑总量与部分量之间的关系, 或是量与量之间的比 例关系。调配问题也属于比例问题, 其关键是要认识清楚 部分量、总量以及两 者之间的关系 。在调配问题中主要考虑 “总量不变”。例 1:甲、乙两书架各有若干本书, 如果从乙架拿 100本放到 甲架上,

34、那么甲架上的书比乙架上所剩的书多 5 倍,如果从甲架上 拿 100 本书 放到乙架上,两架所有书相等。问原来每架上各有多少 书?解析:在调配问题中, 调配后数量相等, 即将原来多的一方多出的数量进行 平分。由题设中“从甲书架拿 100本书到乙书架,两架书相等” ,可 知甲书架原有的书比乙书架上原有的书多 200本。故设乙架原有 x 本 书,则甲架原有( x+200)本书。从乙架拿 100 本放到甲架上,乙架 剩下的书为( x 100)本,甲架书变为( x+200)+100 本。又甲架的 书比乙架多 5 倍,即是乙架的六倍,可列方程为:(x+200)+100=6(x100)解得 x=380,即乙

35、书架原有 380 本书,则甲书架原有 380+200=580本 书。例 2:某车间 22 名工人参加生产一种螺母和螺丝。每人每天平均生 产螺丝 120 个或螺母 200个,一个螺丝要配两个螺母, 应分配多少名 工人生产螺丝,多少名工人生产螺母,才能使每天生产的产 品刚好 配套? 解析:产品配套(工人调配)问题,要根据产品的配套关系(比例关系)正 确地找到它们间得数量关系,并依此作相等关系列出方程。 本题中,设有 x 名工人生产螺母,生产螺母的个数为 200x 个,则有 ( 22 x)人生产螺丝,生产螺丝的个数为 120(22x)个。由 “一 个螺丝要配两个螺母”即“螺母的个数是螺丝个数的 2

36、倍”,可列方 程为:200x=2×120(22x)解得 x=10。例 3:地板砖厂的坯料由白土、沙土、石膏、水按 25 216 的比 例配制搅拌而成。现已将前三种料称好,公 5600 千克,应加多少千 克的水搅拌?前三种料各称了多少千克?解析:解决比例问题的一般方法是: 按比例设未知数, 并根据题设中的相等 关系列出方程进行求解。本题中,由四种坯料比例 252 16,设 四种坯料分别为 25x、2x、x、6x千克,由前三种坯料共 5600 千克, 则可列方程为:25x+2x+x=5600所以 x=200;25x=5000; 2x=400;6x=1200。例 4 :教室内共有灯管和吊扇

37、总数为 13 个。已知每条拉线管 3 个灯管或 2 个吊扇,共有这样的拉线 5 条,求室内灯管有多少个?解析:这是一道对开关拉线的分配问题。)个,灯管拉线为 13条,吊扇设灯管有 x 支,则吊扇有( 拉线 为条,依题意“共有条拉线” ,则可列方程为:解得 x=9。例 5:出口 1 吨猪肉可以换 5 吨钢材, 7 吨猪肉价格与 4 吨砂糖的价 格相等,现有 288 吨砂糖,把这些砂糖出口,可换回多少吨钢材?解析:本题可转换成一个比例问题。 由猪肉钢材 =1 5,猪肉砂糖 =74, 得猪肉钢材砂糖 =7354。则设可换回钢材 x 吨,可列方程为:x 288=35 4。x=2620 解得巩固练习:1

38、、苹果若干个分给小朋友,每人 m 个余 14个,每人 9个,则最后 一人得 6 个。问小朋友有几人?2、在甲处劳动的有 27人,在乙处劳动有 19 人,现另外调 20人去支 援,使在甲处工作的人数是乙处的 2 倍,问往甲、乙处各调多少人?、某工厂第一车间比第二车间人数的少 303 人,如果从第二车 人到 第一车间去,则第一车间人数是第二车间人数的 10,间调出这两个 车间原来各有多少人?4、某车间有两个小组,甲组是乙组人数的 2倍,若从甲组调 12 人到 乙组,使甲组人数比乙组人数的一半还多 3 人,求原来甲、乙两组人 数?5、甲厂有工人 57名,乙厂有工人 75名,现需从二个厂中抽调 42

39、名 去支援别的工厂, 且要使抽调后甲厂人数是乙厂人数的二分之一, 问从甲、乙两厂中各调多少人?6、两个水池共存水 40吨,甲池注进水 4 吨,乙池放出水 8吨,甲池 中水吨数与乙池中水吨数相等,两个水池原来各有水多少吨?7、甲、乙、丙三个粮仓共存粮 80 吨,已知甲、乙两仓存粮数之比是 1: 2;乙、丙两仓存粮数这比是 1:2.5,求甲、乙、丙三仓 各存粮 多少吨?8、某种三色冰淇淋 50 克,咖啡色、红色和白色配料的比是 2:3:5,这种三色冰淇淋中咖 啡色、红色和白色配料分别是多少克?9、足球表面是由若干个黑色五边形和六边形皮块围成的,黑、白皮 块数目比为 3:5,一个 足球表面一共有 3

40、2 个皮块,黑色皮块和白 色皮块各有多少?10、甲、乙二人去商店买东西,他们所带钱数的比是 7:6,甲用掉 50元,乙用掉 60 元,则二人余下的钱数比为 3:2,求二人余下的钱 数分别是多少?7 设中间变量的问题一些应用题中, 设直接未知数很难列出方程求解, 而根据题中条件设 间接未知数,却较容易列出方程,再通过中间未知数求出结果。例 1:甲、乙、丙、丁四个数的和是 43,甲数的 2 倍加 8,乙数的 3 倍,丙数的 4 倍,丁数的 5 倍减去 4,得到的 4个数却相等。求甲、 乙、丙、丁四个数。解析:本题中要求 4 个量,在后面可用方程组求解。 若用一元一次方程求解, 如果设某个数为未知数,其余的数用未知数表示很麻烦。这里由甲、 乙、丙、丁变化后得到的数相等, 故设这个相等的数为 ,丁数为, 由四个数的和是 x,则甲数为,乙

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