《概率论与数理统计》习题及答案第八章(20210226024534)

1、概率论与数理统计习题及答案第八章1.设X1,X2,.,X,是从总体X中抽岀的样本，假设X服从参数为/1的 指数分布，/1未知，给定人)> O和显着性水平(0vvl),试求假设 Ho :的力$检验统计量及否泄域.解 H0 .选统计量 Z2 =2/IO Xi = 2nX则Z2-Z2(2n)>对于给左的显着性水平Q，查*分布表求出临界值加?)， 使P2XaW) = a因 z2 > Z2» 所 W (z2 zj(2) U2 zj(2n),从而a = P2 (2n) P2 加(2)可见H. -.X)的否定域为Z2 Z"(2n).2.某种零件的尺寸方差为2=1.21,

2、对一批这类零件检查6件得尺寸数 据(亳米)：，。设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认 为是亳米( = 0.05).解 问题是在j已知的条件下检验假设/7。：“ = 32.50Ho的否定域为I “ l IIafl.025 = 1.96 ,因lzI= 6.77 >1.96,所以否即不能认为平均尺寸是亳米<33.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为b = 100,今抽了一个容 戢为26的样本，计算平均值1580,问在显着性水平Q = O.05下，能否认为这批 产品的指标的期望值“不低于1600。解 问题是在j已知的条件下检验假设/7or16OOHO的否定域为U <

3、 -uaf2 ,其中X-16 r 1580-1600 C I H =26 =×5.1 = -1.02.100 100-wo.o5 = -1 64.因为 =-1.02>-1.64 =-Moo5,所以接受，即可以认为这批产品的指 标的期望值“不低于1600.4. 一种元件，要求其使用寿命不低于IoOo小时，现在从这批元件中任取 25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为 = l(X)小 时的正态分布，问这批元件是否合格(a = 0.05)解 设元件寿命为X ,则X-N(JL1, IOO2),问题是检验假设 HolOOO. Ho的否定域为心-5,其中X-10 r

4、 950-1000 LH =25 =×5 = -2.5100wo,o5 = 1 64因为H = -2.5 < -1.64 = z005所以否定Ho,即元件不合格.5. 某批矿砂的5个样品中镰含量经测左为X(%)：3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的银含量为3.25(<z = 0.01)解 问题是在j未知的条件下检验假设70 :/ = 3.25HO的否定域为ll> G _ 1 5 _X =3.252, S2=-(Y X1- -5xf2) = oO17, S=O. 0134幺Fo.oo5 =4.6041X-3

5、.25 Z7 3.252-3.25 nzict =5 =× 2.24 = 0.345S0.013因为I H= 0.345 <4.6041 = Z0005 (4)所以接受即可以认为这批矿砂的線含量为.6. 糖厂用自动打包机打包，每包标准重蜀为IOO公斤，每天开工后要检验 一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量（单位：公斤）如下：99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102丄 100.5问该日打包机工作是否正常（ = 0.05;已知包重服从正态分布）_19解 X = 99.98, Sl=（Yt（Xi -X）2） = 1.47

6、, S = I.21,问题是检验假设H0 :/ = 100HO的否定域为I心“其中_Z=X-IOo99.98-IOOX3 = _oo5S1.21丘= 2.306因为Irl=O.05 <2.306 = r0025 （8）所以接受即该日打包机工作正常.7. 按照规左，每100克罐头番茄汁中，维生素C的含量不得少于21亳克, 现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C的含量（单位：亳克）如 下22, 21, 20, 23, 21, 19, 15, 13, 16,23, 17, 20, 29, 1 & 22, 16, 25.已知维生素C的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量

7、是否合格。 （a = 0.025）解 设X为维生素C的含虽：，则XX =20, 52 =419.625,S = 20.485 , n = 17 问题是检验假设HOi /21.（1）H0 21.（2）选垂统计：7并计算其值：X-21 厂 20 21/77 CCCt =n =17 = -0.20S20.485（3）对于给定的 = 0.025査f分布表求出临界值（）=bo”（16） = 2.2.（4）因为TOOw（16） =-2.20<0.20 = 4所以接受H。,即认为维生素含 量合格.8. 某种合金弦的抗拉强度X N0 2）,由过去的经验知/ 10560（公斤/厘米2）,今用新工艺生产了一

8、批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如 下：10776,10670.10512, 10623, 10668, 10554, 10707, 10557, 1058L 10666,问这批弦学的抗拉强度是否提高了（ = 0.05）解 X =10631.4, S?= 6558.89, 5=80.99, z = 10问题是检验假设HQ : / 10560(1) Ho :“ 10560.(2) 选统计量并计算其值X-10560 L t =nS=2.77210631.4-1056080.99（3）对于 = 0.05,查f分布表，得临界值r（9） =血= 1.833.（4）因仏= l833v2.772 =

9、 f,故否左HO即认为抗拉强度提髙了。9. 从一批轴料中取15件测量英椭圆度，计算得S = O.025.问该批轴料椭 圆度的总体方差与规立的2 = 0.0004有无显着差别（ = 0.05,椭圆度服从正态分布)。解 S =0.025, S2 =0.00065, H = I5,问题是检验假设 /0: 2 = 0.0004.(1) H0 : 2 = (J=O.04.(2) 选统il z2并计算英值.(z-1)5214x0.00065UX =；= 22.75j0.04(3) 对于给左的 = 0.05,查/2分布表得临界值加忍=ZJoz5(M) = 26.119, z1iz2(14) = J.975(

10、14) = 5.629.(4) 因为加975 = 5629 < 22.75 = 2< 025 = 26.1 19 所以接受 Ho ,即总 体方差与规定的2 = 0.0004无显着差异。10. 从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为42, 65, 75, 78, 71, 59, 57, 68, 54, 55.问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80 （Cr = O.05.熔化时间服 从正态分）.解 X = 62.4 , S2 = 121.82, n = 10,问题是检验假设7o28O.（1） H0 : 2 80 = J;（2）选统计量*并计算英值b：80（3）对于给左

11、的Cr = 0.05,查/2分布表得临界值Z（-I） = ZoO5 （9） = 16.919.因Z2 =13.705<16.919 = ZJov故接受H（即可以认为方差不大于11. 对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下第一种 138, 127, 134, 125：第二种 134, 137, 135, 140, 130, 134.问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分 布。（ = 0.05）解 设第一、二种织品的强度分别为X和丫，则XTV（",b2）,YNgb冷X = 131, Sj = 36.667, nx =4F = 135, S = 35.

12、2, n2 =6问题是检验假设H0 : /1 =2 HO : Al =A2（2）选统计量T并计算其值.= -1.295（3）对于给定的a = 0.05 ,査/分布表得临界值ta,2（nl +n2-2） =仏5 =2.3069 （4）因为IfI=I .295 <2.3069 = GO25（8），所以接受假设，即不能说一种羊 毛较另一种好。12.在20块条件相同的上地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块上地, 其产量（公斤）分别为旧品种，新品种设这两个样本相互独立，并都来自正态总体(方差相等)，问新品种的产量是否 高于旧品种(<z = 0.01)解 设X为新品种产量，丫为旧品种产量；X

13、N(",b2),Y Ng 2),问题是检验假设HO : “ “2X = 79.43, 512 = 2.2246, n =10选统ItfiT并计算其值:X-F叽】+小一2)厲+ «2Y = 76.23 , S£=3.3245, w2 =10T I=4.2956J(q - I)Sj +他 - I)SI79.43-76.23一 J(2.2246 + 3.3245)x9对给定的 = 0.0b査f分布表得临界值G(18) = t(18) = 2.5524.因为T = 4.2956 >-2.5524 = TO(H(18)故接受 矶，即新品种髙于旧品种13.两台机床加工同

14、一种零件，分别取6个和9个零件，量英长度得 S12 =0.345, S； = 0.357 ,假立零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床加 工的零件长度的方差无显着差异？(a = 0.05)解 s12 =0.345, I =6,S； = 0.357,n2 = 9问题是检验假设H(): l2 = ;选统计量F并计算其值S： _ 0.345sf 0.357=0.9664对给立的 = 0.05查F分布表得临界值rz2(5,8) = 025(5.8) = 4.65 ,心 5(5,8)=加 01479.O./O因 f975(5,8) = 0.1479 < 0.9664 = F < 4.65

15、=花.om(5,8)故接受 HX 即 无显着差异.13.甲、乙两台机床加工同样产品，从它们加工的产品中各抽取若干，测得直径（单位：mm）为甲：，；问甲、乙两台机床加工的精度有无显着差异（ = 0.05,产品直径服从正态分 布。）解 设甲加工的直径为X ,乙为Y. XN（“，b；）, YN（“2，b；）.X =19.925, S12 =0.2164, nl =8F = 20,S；= 0.3967, n2 =7问题是检验假设Hq ： b：= CT；选统计量F并计算其值F=SL = O12164=O5455S2 0.3967对于给定的 = 0.05,查F分布表得临界值為2（7,6） = .025（7

16、,6） = 5.70 ,s（7,6） = 0.1953因 <j975（7,6） = 0.1953 < 0.5455 = F < 025（7,6） = 5.70,故接受 ,即 精度无显着差异.14. 一颗骰子掷了 120次，得下列结果：点、数123456出现次数232621201515问骰子是否匀称（ = 0.05）解 用X表示掷一次骰子出现的点数，其可能值为1，2, 3, 4, 5, 6。问 题是检验假设Hi） : Pi = P（X =/） = -, j = l,2,6.这里k =6 , Piti = -, H = 120, 6 6HPio = 20 , Al = /）故2=

17、«匹如I = W仝竺=兰=48幺讥 幺 2020査*分布表，得临界值加伙一 I） = Zj.05 （5） = 11.071因为/=4.8<1.O71 = o5 故接受，即骰子匀称。15.从一批滚珠中随机抽取50个，测得它们的直径（单位：mm）为是否可以认为这批钢珠的直径服从正态分布（G = O.05）解 数据中最小的为，最大者为，设 = 14.05, = 165,欲把“上分成七个（相等的）区间，则区间长度（组距）为16.13-14.05 =0 3得分点7y1 =14.35, y2 =14.65, y3= 14.95, y4 =15.25, y5 =15.55, y6= 15.8

18、5.它们 把实数轴分成七个不相交的区间，样本值分成了七组：I>'r-l 叫1-OO 14.353214.35 14.655314.65 14.9510414.95 15.2516515.25 15.558615.55-15.856715.85 P2设钢珠的直径为X ,其分布函数为F（X）.我们的问题是检验假设: 仇：F（X） =（丄N）其中“，R未知.在仏成立之下，“和/的极大似然估计为“=无=15, -=-V（X. -X）2 =0.1849, b = 0.43.在上而的表中第1组和第7组的频数过小，把它们并入相邻的组内，即分成 5 组，分点为Z1 =14.65 ,厶=14.95

19、, t3 =15.25 , Z4 =15.55 .14 65-IS 1p1 =Fa) =()=一(1.04) = 0.149214 95-15 1P2 = F(G) - F(Z1) = (-0 4 )- 01492= 1-(O.35)- 0492 = 0.214P3 = F(Z3) - Fg =J：U')一 03632=(0.35) 一 0.3632 = 0.2736r-,z 、 L# - zl5.55 15.L几=Fa) - Fg =(一)-= (1.04)-0.6368 = 0.21815.55-15.1P5 = I- F(r4) = l- (市一)=0.1452统计量忘UiT的值

20、讣算如下表:IIhPinpi771-nPl(ni -HPi)2(IIi -nplY Inpl18210316485850150O即Z2 = 1.24997 ,对于 = 0.05査2分布表得临界值加=癡=5.991. 因Z2 = 1.24997 < 5.991 = zj05(2),故接受血，即认为钢珠直径服从正 态分布N(15丄0.1849)/-1 i36设A =(,-X 2123, A4=C-, 2),假设随机变量X在(0, 2)222上是均匀分布的，今对X进行IOO次独立观察，发现其值落入A a = 12,3,4)的频数分別为30, 20, 36, 14.间均匀分布的假设，在显着性水平

21、为下是否可信° 解 检验假设：H0 : X- t0, 2检验计算表如下： IHiPifi-HPi(n. -HPi )2 fi1301425512201425一513361425114141425-111001100(1统计量宀営秽“.6&m对于Q = O.05,查得加05= 7.815因为z2=l 1.68 > 7.815 = z05 (3)所以不接受,即不能相信X "0,2习题九1. 一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理，然后进行缩水 试验，设每种工艺处理4块布样，测得缩水率的结果如下表布样号缩水率九41234问不同的工艺对布的缩水率是否有显着的

22、影响(=0.01)解 In = 5,= n2 = n3 = n4 = n5 = 4, n = 20 ,查附表 5 得>.O1 (Ilt 一1昇2 一 M) = ).0 (4, 15) = 4.89 序号AA2444»1I-I1234×lJ问方差分析表P = -LX(147.9)220= 1093.72(2 = 1149.25 R = I 170.92Se=R-Q= 21.67 SA=Q-P= 55.53S = R-P= 77.2工艺误差415*总和19因为9.6095>4.89,所以工艺对缩水率有显着影响.2.灯泡厂用4种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今

23、从中分别抽 样进行使用寿命的试验，得到下表的结果(单位：小时)，问这几种配料方案对 使用寿命有无显着影响(6? = 0.01)试验号寿命AA2九Al116001850146015102161016401550152031650164016001530416801716201570517001750164016006172016601680718174081820解 In = 4, Hl =7, n2 = 5, n3 = & z4 = 6, n = 26 ,査附表 5 得 f0l(m-l, w-m) = f01(35 22) = 4.82为简化计算从上表的试验结果中都减去1600再除以1

24、0得下表序号AA2比I J=I1025-14-9214-583540-748102一 351015406126872014822565829-19124/ 、231363364841361推內)448txi7349829572642937P = -L(124)2 =591.385,(2 = 1286.092> R = 293726S； =R-0 = 1650.908,= 5； =16.509r 100 es； =0-P = 694707, SA=-S =6.947 AloO方差分析表方差来源平方和自由度均方F值配料误差322总和25因为F = 38V4.82 = E(H(3, 22),故

25、不显着.3.在单因素试验方差分析模型式()中，是未知参数(j = l,2,?)， 求“的点估计和区间估计解 因为Xj N(", 2),所以丛的点估计为几=X, / = 1,2,冲. 由定理知SJ2 - n-m), 再由定理知与S;= 工(X厂X.)2相互独立，又由XM独立，知E与S竄S暑、S；独 ni 一 1 J-IWr立，从而=YJ(Hl -1)5；与X.独立，又 1N(0, 1)由/分布的定义知其中 Se = Se /(舁一2)对于给泄的查/分布表求岀临界值taf2(n-m)9使ta,2(n-m) =I-(X在上式括号内将址露出来得M在置信度1一仪下的苣信区间X -一?）X +心

26、2（"-加H-IU4.在单因素试验方差分析模型式（）中.j是未知参数，试证b是c的无偏估计，且j的1-&下的置信区间为»S,1加/2(并-加) 朮/2-加)丿证：因为Se22(n-m),所以E(Se 2) = n-m t 即ESe = (H-m)2于是! ESe = n 一 In故丄一是b?的无偏估计：n 一 UI因为 Sf 2 - 2n-m）n-m)所以对于给沱的 ,查*分布表求岀临界值l,2n-m）和加使得SP（/1a/2（ 一加）V 京 V 力;/2（” _ 加）=1 _ 式中将暴谿岀来得Vb,I爲2-也）%32（并一加）丿= l-故b?的垃信度为1-&

27、;下的置信区间为,力/2（一2）'力爲2一J丿证毕5.验证式O的解a, &能使Q(aib) = fj(yi-a-bxi)2达到最小值. r-1证：a, 6是函数Q(a,b) = ±(yi -a-bxi)2的驻点.而A= =x- c=2n 苦 = AC-B2=4由柯西不等式知>(),而A>0, (?>0所以, A)是Qg)的极小点, 而Q(a,b)存在最小值，故d, &能使Qab)达到最小值.6.利用沱理证明，在假设HoIb = 0成立的条件下，统计量ZK心£城 3-2)并利用它检验中例1所得的回归方程的显着性( = 0.01)证：因

28、为bNQ人)所以E7N(0, 1)Sb在H0 -.b = 0成立的条件下FJZ: N(0, 1)(f(-2)2由/分布的怎义知证毕t=石 77 = V 、 心 - 2).S .3/(2)今利用/统计量检验回归方程的显着性.t = JLa = f &二 J6.056 =6.133S 7118.734对于给泄的 = 0.01查r分布表得临界值ro,ol(l) = 2.7638. 因为r = 6.133> 2.738 = ro.ol(10),所以回归方程显着.7. 利用泄理证明回归系数方的宜信区间为' + /2 (H - 2)并利用这个公式求中例1的回归系数方的置信区间（置信度

29、为）解由立理知b-b rr =心-2)对于给立的查f分布表求出临界值ta,1(n-2),使PHaQ (” - 2) V - yL <taf2(n-2) = -a在上式的大括号内，将暴露出来得<b<b+taf2（n-2）故b的置信度为1-a下的置信区间为AS S b ta/2(n 2)- I. b + IalI(n-2) IJ证毕 在例 1 中 = 27.156 n = 12 . S = Io.897, LM = 6.056Z0025（IO） = 2.228.所以b的置信度为下的置信区间为（17.291, 37.021）8. 在钢线碳含Sx（%）对于电阻y（20°C时

30、，微欧）效应的研究中，得到以下的数据y 1518192126设对于给定的, y为正态变虽:，且方差与X无关.（1）求线性回归方程y = a+bx（2）检验回归方程的显着性：（3）求b的置信区间（置信度为）；（4）求y在X = 0.50处的置信度为的预测区间.解我们用下表进行计算序号Xy>Jr2)r11522521832434567192126361441676平均x =0.543, y = 20.777LXX =D2 一 7j2 = 2595 - 2.064 = 0.531, r-l7LVV = YJ y；-7y2 =3104.2-3019.75 = 84.45, J-I7LX =Xly

31、i -7Jy= 85.61-78.947 = 6.663, r-l(1) b = = 12.55, a = y-bx = 13.95，所以回归方程为y = 13.95 +12.55x.(2) 我们用方差分析表来检验回归方程的显着性方差分析表方差来源平方和自由度3方F值回归U =83.621U = 83.62± = 503.61Q剩余0 = 0.8315(2 = 0.166总和Lp= 84.456A(其中Uf QU. Q = - /7-2查F分布表求出临界值吕,(H(1,5) = 16.62因为 F = 503.61 > 16.62 = j01(l,5),所以回归方程髙度显着.（

32、3）由第7题知，的置信度为1一&下的置信区间为此处 Z = 12.55, /2 = 7, a = 0.05, W(5) = 2.5706 , 52 =(vv-LVV)/(/7-2) = 0.166 所以“的置信度为下的置信区间为(，)(4) /? = 7, J = 0.53, LXX =0.531, 5 = 0.407, FoOH5) = 2.5706, Xo=O.50. ) = GG - l)sjl + +鱼】厂=2.5706 X 0.407 × Jl+丄 + 坐二(X昭 =1.12V 70.531儿= 13.95 + 12.55 × 0.5 = 20.225故y

33、在% = 0.5 0处的置信度为的這信区间为(y-J(0.5),儿 +5(0.5) = (19.105, 21.345)9. 在硝酸钠(M/NOQ的溶解度试验中，对不同的温度r C测得溶解于Iooml水中的硝酸钠质量Y的观测值如下：h 0410152129365168从理论知丫与f满足线性回归模型式()(1) 求丫对/的回归方程：(2) 检验回归方程的显着性(=0.01):(3) 求丫在/ = 25°C时的预测区间(置信度为).解计算表如下序号L、'，7厂*6 X1()002416284310100763415225120952144162984173612968512601

34、96K462423410144F = 26, y=9O.2LJJ =打-92 = 10144-6084 = 4060.J-I9LiV=tiyi -9y=24646.6-21106.8 = 3539.8, /-9LVV =工 y； 一9于=76317.82 一 73224.36 = 3093.46 rl = -= 0.87187, = y- = 67.5313,LllSI = (S -v)7 = 1.0307,5 = 1.0152(1) Y对f的回归方程为y = 67.5313+0.87187/；(2) 方差分析表如下方差来源平方和自由度均方F值回归13086.25剩余71.03总和8=査F分布表求出临界值FMI(Ii 7) = 12.25 因 F =2996.36 »12.25 = A。(1, 7),故方程高度显着.(3)儿=67.5313+0.87187x25 = 89.3281J(25) = tat2 (Z? - 2) X S X+ (Zo t Y= 2.3646×1.0152×1.05 = 2.53Y在/ = 25 °C时的置信度为下的预测区间为(y° - 5(25),儿 +5(25) = (86.79, 91.85).10. 某种合金的抗拉强度Y与钢中含碳量X满足线性回归模型式()今实测 T 92组数据