2021届贵州省贵阳市四校高三上学期联合考试(一)数学(理)试题(解析版)

1、2021届贵州省贵阳市四校高三上学期联合考试（一）数学（理）试题一、单选题1. 已知集合A = xlx（x4）<0, B = xeyVlx<3,则（）A. 0,1,2B. 1,2C. 1,2,3D. 0,1,2,3【答案】A【解析】先由一元二次不等式的解法，化简集合再由交集的槪念，即可得岀结 果.【详解】因为A = x0<x<4, B = 0；1,2,所以AflB = 0,l,2.故选：A.【点睛】本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型.2. 在复平面内，复数C = /（1-0对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答

2、案】A【解析】化简复数z = l+i，再根据复数的几何意义，即可得到答案；【详解】z = 1+i,z对应的点为（1,1）,点位于第一象限，故选：A.【点睹】本题考査复数的几何意义，考査对概念的理解，属于基础题.3. 设= log2 3,"=吨丄2, c = 0.42,则J b9 c的大小关系是（）3A. a>h>cB. b>a>cC. a>c>bD. c>a>b【答案】C【解析】根据指数与对数函数的单调性，分别判立b. c大小，即可得出结果.【详解】 因为函数V = log2 x在(0,+S)上单调递增，且2<3,所以 log,

3、2 < log, 3 , HP 1 < log2 3 ,所以“>1,因为函数y = ,ogLx在(0,乜)上单调递减，且2>1,3所以log 2vlog 1 = 0,即b<0,33因为函数y = 0.4在R上单调递减，且2>0,所以OvO.42 <0.4° = 1，即0<c<l,所以a > c > b,故选：C.【点睛】本题主要考查比较对数与指数大小，熟记指数函数与对数函数单调性即可，属于基础题型.4. 执行如图所示的程序框图，则输出的=()(开始)=1, S = 6s = d- kk = k+/输出?/c结束JA.

4、5B. 3C. 6D. 4【答案】A【解析】执行程序框图，依此写岀每次循环时的R,S的值并判断，直到当S<0时，退出循环，输岀R的值.【详解】第一次循环：S = 6 l = 5, k = l + l = 2, S>0,不满足SvO执行循环： 第二次循环：S = 5 2 = 3, k = 2 + l = 3, S>0,不满足SvO执行循环：第三次循环：S = 33 = 0, R=3+l=4, 5 = 0,不满足SvO执行循环：第四次循环：S = 04 = 7, k=4+l = 5, SvO,退出循环，此时输出k = 5. 故选:A【点睛】本题主要考查直到型循环结构的讣算结构的输

5、出，对于这类问题，通常是利用程序框图 给出的算法计算出每一步的结果并判断即可，属于基础题.5. 设a为平面，m, 为两条直线，若加丄a,则“曲丄”是suet”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分性和必要性的左义，结合线而垂直的性质进行判断即可.【详解】当加丄a时，如果加丄"，不一定能推岀”u（x,因为直线"可以在平而a外，当7丄a时，如果“uot,根拯线而垂直的性质一定能推出加丄川，所以若加丄a, 则“加丄”是u 的必要不充分条件.故选:C【点睛】本题考査了必要不充分条件的判断，考査了线而垂直的性质，考

6、査了推理论证能力.6. 若x、）'满足约束条件!y<2x-l,则z = 3x y的最大值为（）x+y <5A. 2B. 3C. 11D. 13【答案】C【解析】化直线方程为斜截式得y = 3x-z,作岀不等式组所表示的可行域，平移直线）, = 3x-z,找岀使得该直线在y轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即 可得解.【详解】化目标函数为直线的斜截式方程得>' = 3x-z,作岀不等式组所表示的可行域如下图所 示：平移直线y = 3x-z,当该直线经过可行域的顶点人时，直线y = 3x-z在y轴上的截距最小，此时z取最大值，即zmax =3x4-1 =

7、 11.故选：C.【点睛】 本题考査线性目标函数的最值，一般利用平移直线找到最优解，考查数形结合思想的应 用，属于基础题.7. 函数y = sinx+x/3cosx的图象向右平移斗个单位长度得到函数/ 的图象，则下列说法不正确的是（）A.函数/（X）的最小正周期2龙称C.函数/（X）的图象关于总,0 |对称B.函数门兀）的图象关于直线"孕对6s亠5兀11龙D.函数/（兀）在- o o上递增【答案】D【解析】先利用辅助角公式化简函数解析式.再根据平移法则可得到函数/（x）的解析 式，即可判断各选项的真假.【详解】/ 龙、因为 y = sinx + >/3cosx = 2sin x

8、 + , 所以(x2兀L71= 2sin X- 13丿(3丿/(x) = 2sin(5,即可知函数/(x)的最小正周期2兀，A正确：当x =时，f三=2sin6 I 6丿2 = 2,所以函数/(x)的图象关于直线x = 2 6对称，B正确：当X = |时，/ yj = O,所以函数/何的图象关于(亍Oj对称，C正确；因为/|= 2 sin = 2 , /(7F)= J5 v 2 = / 壬|,所以 D 错误.故选：D.【点睛】 本题主要考查辅助角公式和平移法则的应用，以及函数y = Asin(处+0的性质应用,熟记公式和基本性质是解题的关键，属于基础题.&在区间卜2, 2随机取一个数X

9、,则事件= 罗、，且yefl 2 ”发生的x + l,(x>0)L2概率为()5B.87A.-8【答案】D2X0)1【解析】根据已知条件，求事件“y = fI，且$日:”发生时的取值范x + l(x>0)2囤，代入几何概型计算公式，即可求出答案.【详解】2” (乓 0)x + l(x>0)且ye1,2 ”由题可知，该分段函数是一个增函数， yel,2，此时xe-l, 1,1-(-1) 1所以该事件发生的概率P=厂7=- 故选：D.【点睛】本题主要考查几何概型的计算和分段函数的值域，是综合考查类题目.9. 在ABC中"u、b、c分别为内角A.B.C的对边，若右sinC

10、 = sin A + sinB»3cosC = T,且S,必=4.则。=()JA.还B. 4C.迹D. 533【答案】B【解析】由三角函数的基本关系式和乂八处=4,求得" = 10,再由正弦左理，得到= “ +根据余弦圧理，列岀方程，即可求解.【详解】因为cosC = -,则 C e (05),所以sin C = J1-cos'C =,5251 14又因为S“wc=4,即一absinC = -abx- = 4 ,解得ab = O ,2 25又由y/3 sin C = sin A + sin B，根据正弦定理,可得JJc = a+b，由余弦定理，可得c2=a2+b2-

11、2abcosC = a2+b2-labx| = (a4-J>)2-y ab = 3c2 -32 , 整理得c2=16,即c = 4故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦左理、余弦泄理和三角形的而积公式的应用，其中在解有关三角形 的题目时，要抓住题设条件和利用某个左理的信息，合理应用正弦泄理和余弦左理求解 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10. 已知定义域为R的函数/(x)满足f(-x) = -f(x)t f(x+2) = -f(x)t且当0<x<18t> /(x) = 2x3-log5x,则/(47)=()A. -1B.2C. 0D. 1【答案】B【解

12、析】根据/(x+2) = -/(x),可知该函数的周期为4,然后再结 合周期性、奇偶性将所求的函数值转化为已知区间上的函数值求解.【详解】因为/(-X)= -f(x), f(x+2) = -f(x)f/(x + 4) = -/(x + 2) = /(x),所以/（X）是周期为4的奇函数.所以/（47） = /（-1） = -/ （1） =-2.故选：B.【点睛】本题考査函数的奇偶性、周期性等性质，以及学生运用转化思想解题的能力和运算能 力.属于基础题.11. 在三棱柱ABC-AC A4 丄面ABC, ZBAC =芈，A£=4,AB = AC = 29则三棱柱ABC-AC,的外接球的表

13、面积为（）A. 32龙B. 48 龙C. 64兀D. 72兀【答案】C【解析】利用余弦肚理可求得BC,再根据正弦怎理可求得A4BC外接圆半径厂：由三 棱柱特点可知外接球半径R = ”讨 +幽）,求得R后代入球的表面积公式即可得 到结果.【详解】AB = AC = 2>/3】 /-BAC = BC1 =AB2+AC2-2AB-ACcos= 36 3BC = 6BC由正弦立理可得AABC外接圆半径:2sinZ%C 2si3.三棱柱ABC-A/C的外接球半径:R = Jr2 + i/LA, =712 + 4=4二外接球表而积：S = 4龙R = 64/r本题正确选项：c【点睛】 本题考査多而体

14、外接球表而积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，从而利 用底而三角形外接圆半径和三棱柱的高，通过勾股宦理求得外接球半径.12. 已知双曲线E的左、右焦点分别为 f 左、右顶点分别为M.N .点"在E的 渐近线上，厢阳=0, ZMPN =彳，则E的离心率为（）A.亜B. C. -D. y/l33 33【答案】B【解析】如图所示，不妨设P是渐近线在第一象限上的点，根据|，WN| =可得的关系，再代入离心率公式，即可得答案；【详解】不妨设P是渐近线在第一象限上的点，因为/¥；戶用=0,所以ZFfF? = 90°,q =OF2 = c.又P在渐近线y丄x上，所以可

15、得P点的坐标是(。“)，所以PN丄片 a在直角三角形PNM中，乙MPN = J3I)2所以|mv| = 7J|pn|,即2° =血,彳=蔚.【点睛】本题考査双曲线离心率求解、渐近线的槪念，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.二.填空题13. 已知aS = (2,3), AC = (-1jh),若而丄茕，则实数川的值为【答案】5【解析】先根据向量的减法法则汁算荒，再根据向量垂直的坐标运算求解即可.【详解】 解：由题知 BC = AC-AB = (-3.m-3)9 又因为莊丄BC所以AB BC=-6+3(/n-3)= 0,解得：加=5故答案为：5.【点睛】本

16、题考査向量的减法运算和向量垂直的坐标表示，是基础题.14. 如图，网格纸上小正方形的边长为J粗实线画岀的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为3 +血，则“的值为【答案】+【解析】由三视图，还原出原几何体，然后计算表面积.【详解】由三视图知原几何体是直三棱柱，如图ABC-A'B'C底而是等腰直角三角形，两个侧而是正方形，AB = BC = BB' = 3a, AC = 3迈a、表而积为2x(3d)2+3dx3jL + 2x丄x(3g)2=3 + JL 解得a = -.23故答案为：,【点睛】 本题考査三视图，考查由三视图求几何体的表而积，解题关键是由三视图还原岀原几何

17、 体，属于基础题.15. 周髀算经中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬 至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子 长为【答案】15.5尺.【解析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出冬至的日影子长.【详解】从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰.春分、淸明、谷雨.立夏、小满、 芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列©, 冬至、立春.春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺,q + a4 + a? =+ 9d = 3

18、7.5=q +1 Id =4.5冬至的日影子长为15.5尺故答案为：15.5尺.【点睹】本题考査等差数列的首项的求法、等差数列的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想.考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题16. 设/(x),g(x)(g(x)HO)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时,f(x)g(x) /(x)g'(x)vO,且/(2)=0,则不等式七石>°的解集为.【答案】(y>,2)u(0,2)f (x)【解析】构造函数吩)=,由已知可得xvO时，丹(力<0,从而可得函数g(x)在 g(x)(yo,0)单调递减，又由已知可得函数力(

19、切为奇函数，故可得h(2) = _h (2) =0,且在(O.+oo)单调递减，结合图象可求.【详解】./(X)和g(X),(g(X)HO)分别是泄义在R上的奇函数和偶函数=, g(_x) = g(x)当 X V 0 时，.厂(x)g(x) < 0当x<0时，【/(X)7u)令心筒,则心在2。)上单调递减s=-s/. hW为奇函数, 根据奇函数的性质可得函数"(X)在(O.+eo)单调递增， v/(-2) = -/(2) =0, /?(2)= 0,./i(-2)= -/z (2) =0 (x)图象如图，由图可知,/心)=学> 0的范囤为(Y® 22 (0,

20、2)故答案为：(8, 2) 3 (0,2)f(%) 本题考査了利用导数判断函数的单调性，函数奇偶性的运用，构造函数加朗=厶一，g(x)并根据已知求解岀该函数的性质是解答本题的关键，体会转化思想、构造的方法及函数、方程、不等式的相互联系，属于综合题.三.解答题17. 已知向量 = (J5sinx,cosx), b =(cosx,cosx),函数 f(x) = 2db-.(1)求/(x)的最小正周期；当"|_需_|时'若/（x）T，求%的值.【答案】（1）兀；（2） |【解析】（1）首先根据向虽数量积的坐标表示函数/（x）,然后对函数进行降幕，化简为/(x) = 2sinj2x

21、+ £j,求岀周期;（2）由已知条件，先求2x + -的范用，然后求在范围内满足条件的X值. 6【详解】b =(cos x. cosx),解：(1) = (>/Jsinx,cosx).二 N b = V3 sin xcosx +cos2 x f(x) = 2a b- = 2-3sinxcosx + 2cos2 x-1 =>/3sin 2x + cos2x = 2sin 2x + 6丿即 /(x) = 2sin2x +彳的最小正周期是兀.2x + -6丿2龙+J竺3【点睛】本题考査数量积的坐标表示，考查了三角恒等变换，考査三角函数的周期和已知函数值 求自变量问题，意在考査学

22、生对这些知识的理解掌握水平和讣算求解能力，属于基础题.18. 高新区某高中德育处为了调査学生对“一带一路”的关注情况,在全校组织了 “一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了 12份问卷，得到其测试成绩（百分制）的茎叶图如下:成绩52637872 6 6 682 8934（1）写出该样本的中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上第1页共6页的人数;（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记纟表示测试成绩在80分以上的人数，求纟的分布列和数学期望【答案】（1）200； （2）见解析【解析】分析：（1）根据茎叶图中的数据可得中位数，然后根据样本中70分以上

23、的成 绩所占的比例可得总体中70分以上的人数.（2）根据题总得到§的可能取值，分别 求岀对应的槪率得到分布列，然后可得期望.Q 2详解：（1）由茎叶图可得中位数为76,样本中70分以上的所占比例为2故可估计该校测试成绩在70分以上的约为3OOOx- = 2OOO人.（2由题意可得g的可能取值为0, 1, 2, 3, 4.畑。）烤味心）烤煤數（F）烤等境r4C° 1§的分别列为:01234P17083518358351701Q1 QQ1. E（g） = Ox + lx + 2x + 3x + 4x = 2.7035353570点睛：本题考査茎叶图的应用以及用样本估计

24、总体，同时考查分布列、期望的求法，主要考查学生应用所学知识解决实际问题的能力和讣算能力，属中等题.19. 如图甲，将直角边长为血的等腰直角三角形ABC,沿斜边上的高AD翻折.如图乙 使二面角B-AD-C的大小为翻折后的中点为M甲乙（1）求证：BC丄平面ADM；（2）求二面角D-AB C的余弦值. 【答案】（1）证明见解析：（2） 旦.7【解析】（1）证明DM丄BC, AM丄即可；（2）建立空间直角坐标系，分别算出平而他和平面ABC的法向量即可.【详解】（1）折叠前AB = AC, AD是斜边上的髙，£是BC的中点，:.BD = CD,又因为折叠后M是的中点，DM 丄BC,折叠后 AB

25、 = AC,:.AM 丄 BC , AMCDM=M ,. BC丄平而ADM ；（2）建立如图空间直角坐标系，不妨设AD = 1,易知二而角B AD C的T而角是Z.BDC, 则 BD = BC = CD = AD=A（0,0,1）, B ,0,C（0丄0）, £（0,0,0）,设平而ABD的一个法向虽:为q =（x,y,z）.得q =（1,_点0）,旦+0令E设平而ABC的一个法向量2 =（"，”z），y _ z = 0得弘=3所以二而角D-AB-C的余弦值是*77【点睛】本题主要考查线而垂直的判立泄理，二而角的向疑求法，还考查了转化化归的思想和逻 辑推理，运算求解的能力，

26、属于中档题.20. 已知椭圆C： 4 + - = lG/>>0）点的离心率为竺，且经过点A（f ,£）（1）求C的方程；（2）若不过坐标原点的直线/与椭圆C相交于点M,N两点,且满足OM+ON = AOA， 求厶诙加面积最大时直线/的方程.【答案】（1）+ /=1：（2） y = 一丄x±.333【解析】（1）由离心率及点的坐标列岀关于的方程组，解之可得椭圆方程；（2）由题总可知，直线MV的斜率显然存在，设直线MN的方程为y = kx+m（m工0）,4/（易,廿），川（吃,力），直线方程代入椭圆方程整理为一元二次方程，zl>0得一不等关系，应用韦达泄理得州

27、+花，州吃，并计算出“+力，向量的坐标运算，条件OM + ON =AOA用坐标表示后，可求得k=-,代入判别式可求得加的取值范I詞, 然后求岀8/02面积为川的函数，用基本不等式求得最大值及川值，得出直线方程.【详解】（1）由题意得c _ >/6a 3a2 =b2 +c2(r=3所以椭圆C的方程为二+ b=i；（2）由题意可知，直线MN的斜率显然存在，设直线MN的方程为y = kx+m（m0）, MQj）, N（x2,y2）, 由 刁"+得（3/ +x2 +6kmx+3m2 一3 = 0.y = kx + mA = 36k2m 一4（3疋 +1）（3-3）= 12（3疋 + l

28、-m2）0®所以因为OM+ON = AOA所以所耐斗代入得一琴g羊且心,S/ON = £|加卜一= |h7(X1+X2)2-4V2当且仅当3 即心当时上式取等号，此时符合题意, 所以直线MN的方程为>- = -Lv±【点睛】本题考査求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是设而不求的思想方 法，应用韦达左理求解是关键.2L 已知函数/(x) = K-ax-3(a w/?)(1) 若函数/(X)在(1, /)处的切线与直线r=0平行，求实数a的值；(2) 当a=2, R为整数，且当Q1时，(x-k)f(x)+2x+l> 0,求R的最大值.【答案

29、】(1)(2) 2【解析】(1)先求导，再由f(l) = 0 a = 1即可得解:(2)当 a = 2,且当兀>1 时，(x-R)(Q-2)+ 2x + l> 0 等价于当 x>l 时,2x + 2再构造函数gW = x +2 r +1戸,心)，利用导数求解即可.【详解】 解：(1)由 f(x) = ex -cix-3 f 则 f (x) = ex - a ,又函数./U)在(1,人1)处的切线与直线平行，则 f '() = e-a = ,所以a = e-；(2)当a = 2,且当x>l 时，(x-k)(eX-2)+ 2x + l>0等价于,(2x + 当

30、兀>1 时，k < x + -_-I。- 2丿血2x + l. K 宦-2x-3)令g(x) = x+ x> 1),则 g W = ，(x>l),e -2(以 -2)再令h(x) = ex 一2x-3(x> 1),则hf(x) = ex -2>0,所以，心)在(1,+eo)上单调递增，且/1(1) < 0(2) > 0 ,所以，/心)在(1, 2)上有唯一的零点.设该零点为厂 则Xoe(l,2)t且戶=2兀+3 第1页共6页当 xe(l,如)时，h(x) < 0,即 g3<0；当 xe(-,+oo )时,h(x)>09 即 g&

31、#39;(x)>0.所以，g(x)在(I,。)单调递减，在(心心)单调递增， 所以，gCOmin =g(Xo) = Xo+牛冷=忑+1，八_ 2而 x0 e(l,2),故 x0+le(2,3)且 Rvg(xo)，又k为整数, 所以R的最大值为2.【点睛】 本题考査了导数的几何意义，重点考査了导数的综合应用，属中档题.222.在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为、L (/为参数)，在极坐7叵2标系中，圆C的方程为p = 2>/5sin.(1)求圆C的普通方程; 设圆C与宜线/交于从3两点，若点P的坐标为(3,>/5),求|PA| + |PB|.【答案】(1)F+(y一巧=5

32、； (2) 3逅【解析】(1)在圆C的极坐标方程两边同时乘以利用Q】=X2 + 丫2F C 可将圆C的极 psin8 = y坐标方程转换为普通方程:(2)将直线/的参数方程代入圆C的普通方程，可得岀关于r的二次方程，利用列岀韦达左理，结合直线参数方程的几何意义可求得PA+PB的值.【详解】(1)由 ° = 2J5sin& 得 ” =2py/5sin0 ,由 <。乍2=牙-+ )广7?l可得宀尸_2后=0, psinQ = y因此，圆C的普通方程为x2+(y-=5(2)将/的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得|3-车/即尸一3血+ 4 = 0，由于 =(3a/J一4x4 = 2>0,r + / = 3故可设2是上述方程的两实根，所以2，M = 4又直线/过点卩(3,、厅)，故由上式及7的几何意义得：阳卜川+两=|人+从=3血.【点睛】本题考査曲线的极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考査了利用直线参数方程的几何意义解决实际问题，考查计算能力，属于中等题.23. 已知函数/(x) = |x-m|+|2x-l|,w e R(1) 当加=1时，解不等式/W<2；(2) 若不等式/(a-)<3-a-对任意XGO,1恒成立，求实数加的取值范围.41【答案】(1) <vO<