数列的综合问题

1、10数列的综合问题突破点(一)数列求和1.公式法与分组转化法：(1)公式法；(2)分组转化法；2.倒序相加法与并项求和法：(1)倒序相加法；(2) 并项求和法：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an= ( 1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如，Sn= 1002992 + 982 972+ 22- 12= (1002-992) + ( 982- 972) +(22- 12)= (100+ 99) + ( 98+97) + (2 + 1)=5 050.3.裂项相消法：(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(2)常见的裂项

2、技巧：错误！=错误！一错误！ ,错误！=错误！错误！。错误！=错误！错误！.错误！=错误！错误！。4.错位相减法考点一分组转化法求和. . . - 一 一 / 一 一 *例 1已知数列 an, bn满足 a1 = 5, an = 2an 1 + 3(n >2, n C N ) ,bn = an 3 (n C N ).(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列 an的前n项和Sno解(1) . an=2an 1+3n 1 (n N* , n> 2) , . .an3n = 2(an 1 3n 1), bn- bn = 2bn 1 (n N , n > 2). . b1 = a1

3、3 = 2 w 0,bn w 0(n > 2),= 2,bn 1 bn是以2为首项，2为公比的等比数列.bn = 2 2n 1 = 2n.(2)由(1)知 an=bn+3n=2n+3n, .,.Sn= (2+ 22+ +2n)+ ( 3+32+ + 3n)= 2n+1+ 错误！一错误！。方法技巧分组转化法求和的常见类型(1)若an = bniCn,且 bn , Cn为等差或等比数列，可采用分组转化法求 an的前n项和.(2)通项公式为an=错误！的数列，其中数列bn, cn是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和.k s aa ub b ad :.tad：j h s a btad d&

4、amp; atadtad db atadtad db atadtad db aa dtad ab aa a: b shagbi考点二错位相减法求和例2(2016 山东高考)已知数列 an的前n项和Sn = 3n2+8n, bn是等差数列，且 an=bn +bn +1.an+ 1 n+1,一，一(1)求数列 bn的通项公式;(2)令Cn= .n，求数列Cn的前n项和Tn.bn十2解(1)由题意知，当 n>2时，an=SnSn1 = 6n + 5,当n = 1时，a=S1=11,满足上式所以an=6n + 5o设数列 bn的公差为d。由错误！即错误！所以bn=3n+1。(2)由(1)知 5

5、=错误！ =3 (n+1) 2n+1,又 Tn = c1 + c2+ + Cn,得 Tn= 3X 2X22+3 X23+ + (n+1) >2n+1, 2Tn=3X 2 >23+3X24+ + (n+1) X2n+2,两式作差，得一Tn=3X 2X22 + 23 + 24+ 2n+1 ( n +1) >2n+2 = 3n 2n+ 2,所以 Tn = 3n 2n方法技巧（1）如果数列 a是等差数列，bn）是等比数列，求数列an bn）的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列bn）的公! j比,然后作差求解.（2）在写Sn"与qSn”的表达式时应特别

6、注意将两式 “错项对齐”以便下一步准确写出“Sn qSn”的表达式.（3）在应用错位相减法j 求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.工 B 二二 m.iidiBaaf a * 4二 w aasi h 4 g-1 _ - - . _ - _ -m i. t a a* a 4 & h -hj.k m : b a hsi a q s. a i二 * a 4 工= a考点三裂项相消法求和例3 数列an的前nl和为Sn=2n' 2,数. bn是首项为ai,公差为d（dw0）的等差数列，且bi, b3, b9成等比数列.（1）求数列 an与bn的通项公式；（

7、2）若Cn =错误！（nC N*）,求数列 Cn的前n项和Tn.解（1）当n>2 时，an=Sn-Sn1=2n+1-2n=2n,又a =S= 21+1 2= 2= 21,也满足上式，所以数列an的通项公式为 an = 2n.则b= a= 2.由b1, b3,b9成等比数列，得（2+2d）2=2x （2+8d）,解得d=0 （舍去）或d=2,所以数列bn的通项公式为bn = 2n.（2）由（1）得5=错误！=错误！=错误！错误！，所以数列cn的前n项和 入=错误！ +错误！+错误！+错误！ = 1 错误！ +错误！错误！ +错误！错误！ = 1 错误！=错误！ o突破点（二） 数列的综合应

8、用问题F * * WV 03 ” ） RH ! !,;1.等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点，主要有： 1综合考查等差数列与等比数列的定 ;!义、通项公式、前n项和公式、等差 比中项、等差比数列的，f质；2重点考查基本量 即“知三求二”IIi解方程组的计算以及灵活运用等差、等比数列的性质解决问题-!2。数列与函数的特殊关系，决定了数列与函数交汇命题的自然性，是高考命题的易考点，主要考查I；方式有：1以数列为载体，考查函数解析式的求法， 或者利用函数解析式给出数列的递推关系来求数列的；i通项公式或前n项和；2根据数列是一种特殊的函数这一特点命题，考查利用函数的性质来研究数列的单i；调性、

9、最值等问题。；!3。数列与不等式的综合问题是高考考查的热点。考查方式主要有三种：1判断数列问题中的一些不 ！j等关系，如比较数列中的项的大小关系等 .2以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，求不等式中的参j'数的取值范围等。3考查与数列问题有关的不等式的证明问题。H d I I £.*<1* J （L a J.E a J L1.J L1. K H J . H I l 4 J. B JABB U H K > 3 J. 考点一等差数列与等比数列的综合问题例1在等差数列an中，a10=30,a20= 50。（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=2an- 10,证明：

10、数列 bn为等比数列；（3）求数列 nbn的前n项和Tn。解（1）设数列an的公差为d,则an = a+ （n 1）d,由a1o= 30,a2o= 50得方程组 错误！解得错误！所以 an= 12+ （n 1） X2=2n + 10。（2）证明：由（1），得 bn=2an- 10=22n + 10 1°= 22n= 4n,所以错误！=错误！=4。所以 bn是首项为4,公比为4的等比数列.（3）由 nbn=nX4n,得 Tn= 1 X 4+2X 42+ n X 4n, 4Tn=1X42+ （ n 1）X 4n+n X 4n+ 1,，得3Tn = 4+ 42+4n nx 4n+ 1 =错

11、误！ n X 4n+ 1.所以 入=错误！。方法技巧”一一一”一”一”一一-¥i诙面IF应薮而丽后iiSS一一”一(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要!先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序.(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的:公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表不等，这些细节!|对解题的影响也是巨大的.j考点二数列与函数的综合问题例2设等差数列 an的公差为d,点(an,bn)在函数f (x)=2x的图象上(nCN*).

12、(1)证明：数列 bn为等比数列；(2)若ai=1,函数f (x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距 为2一错误！，求数列anb错误！的前n项和Sn。解(1)证明：由已知，bn = 2an>0o当n>1时，错误！ = 2 + 12=21所以数列bn是首项为2a1,公比为2d的等比数列.1(2)函数f (x)=2x在(a2,b2)处的切线万程为 y2a2=(2a21n 2) (xa2),它在x轴上的截距为 a2-jn-2o由题意，a2 错误！ = 2 错误！，解得a2=2。所以d = a2 a1=1,所以an = n , bn=2n,则anb错误！=n 4n。于是 Sn=

13、 1 X 4+2X 42+ 3X 43+ (n1) X4n-1 + nX4n,4Sn= 1 X 42+ 2X 43+ +(n-1)X4n+nX4n + 1o因此，Sn 4Sn= 4 + 42+ + 4n n 4n +1 =错误！ 一 n 4n+1=错误！.所以 Sn=错误！.方法技巧/ ： m ： n n ： am * m an arM m an an via » aa as ,数列与函数问题的解题技巧i(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数i列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范

14、围、公式、求和方法对式子化简变形.乙丁 一、，-，一一 e一、，“一、口，八八,，-,'(2)解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此：掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决.：n. iK* 4 KB illB U H « U » * *考点三数列与不等式的综合问题例3(2016郑州质量预测)已知数列 an的前n项和为Sn,且Sn = 2an 2。(1)求数列an的通项公式；(2)设bn = log2a1 + log2a2+ log2an,求使(n8)bn>nk对任意nCN恒成立的实数 k的取

15、值范围.解(1)由 Sn=2an2 可得 a1 = 2.因为 Sn = 2an-2,所以，当 n>2 时，an = Sn Sn 1 = 2an 2an 1,即错误！ = 2.所以 an = 2n (nCN*).(2)由(1)知 an=2n,则 bn= log2a +log2a2+ log2an= 1 + 2+ n=错误！。要使(n - 8)bn>nk对任意n C N*恒成立，即 错误！ > k对任意nC N *恒成立.设cn =错误！（n8）（n+1）,则当n = 3或4时，cn取得最小值，为10,所以kw10。即实数k的取值范围为（一8, 10.方法技巧”一一一”一一一”一

16、”一一丽辱摭的间施而斑1方法一一一一一”一一（1）如果是证明题要灵活选才不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等.（2）如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法， 如列表法、因式分解法、穿根法等.总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了.全面丢5"7题集函71。（2012新课标全国卷） 数列an满足an+1+（1）nan = 2n 1,则an的前60项和为（）A . 3 690 B. 3 660C . 1 845 D. 1 830解析：选D 不妨令a1 = 1,根据题意，得 a2= 2, a3= a5= a7=1,a4= 6, a6=10，所以当

17、n为奇数时，an =1,当n为偶数时构成以a2= 2为首项，以4为公差的等差数列.所以前60项和为S6o=30+2X30+ 错误！ X4= 1 830。2. （2015新课标全国卷I ）Sn为数列an的前n项和.已知an>0 , a错误！ + 2an= 4Sn + 3.（1）求an的通项公式；（2）设bn=错误！，求数列bn的前n项和.解:（1）由 a错误！ + 2an = 4Sn+3,可知 a错误！ + 2an + 1= 4Sn + 1 + 3。一，得 a错误！ 一 a错误！ + 2（an+1 an） =4an+1,即 2 （an+1 + an） = a2, n+1 a错误！ = （a

18、n +1 + an） （an+1 an）.由 an>0,得 an + 1an=2。又 a错误！ + 2a = 4a1 + 3,解得 a1 = 1 （舍去）或21 = 3.所以 an=2n+1。（2）由an= 2n + 1可知bn=错误！=错误！=错误！错误！.则Tn=错误!.3. （2014新课标全国卷H） 已知数列an满足a= 1,an+1=3an+1.（1）证明错误！是等比数列，并求an的通项公式；（2）证明：错误！+错误！+错误！<错误！.解：（1）由an+1=3an+1得an+1 +错误！ = 3错误！.又a1+错误！=错误！，所以错误！是首项为错误！，1公比为3的等比数列

19、.所以 2口+2=错误！，即2口 =错误！.（2）证明：由（1）知错误！=错误！.因为当n>1 时,3n1>2X3n 1,所以错误！ w错误！，即错误！ w错误屋于是错误！ +错误！ +错误！ w 1 +错误！ +错误！=错误！错误！错误！。4. （2013新课标全国卷I ） 已知等差数列an的前n项和Sn满足S3= 0, S5= 5。（1）求an的通项公式；（2）求数列错误！的前n项和.n n 1解：（1）设 an的公差为d,则Sn = na1+2 d.由已知可得错误！解得a1=1, d = 1.故an的通项公式为 an = 2 n.(2)由(1)知错误！=错误！=错误！(错误！

20、错误！)，从而数列 错误！的前n项和为错误屋检验高考能力一、选择题1 . (2017皖西七校联考)在数列an中，an =错误！，若an的前n项和Sn =错误！，则n=()A 3B 4C 5 D 6解析：选D 由an=错误！ = 1错误！则$口=错误！ =n错误！，将各选项中的值代入验证得n=6.2 .在数列an中，a=1, a2= 2, an+2an=1 + ( 1)n,那么 S100的值为()A 2 500 B 2 600 C 2 700 D 2 800解析：选B 当n为奇数时,an+2 an= 0,所以an=1,当n为偶数时，an+2an= 2,所以an=n,故an = 错误！于是S1oo

21、=50+错误！ = 2 600。3 .已知数列an的前n项和为Sn, a1=1,当nR2时，an + 2Sn 1= n,则S2 017的值为()A 2 017B 2 016C 1 009 D 1 007解析：选 C 因为 an + 2Sn 1 = n , n > 2,所以 an +1 + 2Sn = n + 1, n> 1,两式相减得 an+ 1+an=1,n>2o又 a1=1,所以 S2 017 = a+(a2+a3)+ ( a2 016+a2 017) = 1 009,故选 C。4 .设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，S1, S2, S4成等比数列，且 a3=错误！，则数列 错误！的前n项和Tn= ( )A.错误！ B.错误！ C.错误！ D.错误！解析：选C a=错误！或a1= 错误！。当a1 = 错误！时，公差d=0不符合题意，舍去；当 a1 =错误！时，公差d=错误！ = 1,所以an=错误！ + (n 1) x ( 1) = n +错误！=错误！(2n 1), 故选C。二、填空题5 .已知数列an满足an+1=错误！ +错误！，且a=错误！，则该数列的前2 016项的和等于 .解析：因为21=错