椭圆题型总结材料较难

1、实用文档椭圆题型总结一、焦点三角形221.设Fl、F2是椭圆x_+上=1的左、右焦点，弦32AB过F2,求 ABF1的面积的最大值。(法一)解：如图，设 ZxF2B=a(0<ot<n), | AF2 |二 m,| BF2 |=n ,根据椭圆的定义，|AF1|=24m, | BF1 |=2百n ,又| F1F2 |=2 ,在AAf2Fi和ABf2Fi中应用余弦定理，得(2 .3 -m)2(2 . 3 -n)22=4 m -4mcos 二:2=4 n 4ncos、工2 m =-=. 3 cos.，2.3 "os、工1一S.F1AB = 2 | F1F2 | .|yB -yA|

2、 =1-2 (m n)sin :23 -cos 二_ )sin 工=3 cos.：:4.3sin2 sin2 ;令sin a =t，所以0 ct < 1,，g(t) _ t _ 1 在(0 1上是增函数一2 t2 - 2 .- tt.当t=1,即口=21时，g(t)max=1,故ABF1的面积的最大值为 443 233(法二)解：设 AB： x=my+1 ,与椭圆 2x2+3y2=6 联立，消 x 得(2m2+3)y2+4my-4=0AB过椭圆内定点F2,A恒大于0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A =48(n2+1)黑三4内篇玲令 t=m2+1 >, m2=t-1 ,1

3、f(t)= 4t +- +4在 te 1,+ °0)上单倜递增，且 f(t) e 9,+ °0)t=1即m=0时，AABF1的面积的最大值为 4叵。3注意：上述AB的设法：x=my+1，方程中的 m相当于直线 AB的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，即m=0的时候。在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。标准文案实用文档2 .如图，M (-2, 0)和N (2, 0)是平面上的两点，动点 P满足：PM + PN =6.(1)求点P的轨迹方程；(2)若PM PN =,求点P的坐1 cos/MPN标.解：(1)由椭圆的定义，点 P的轨迹是以

4、M、N为焦点，长轴长 2a=6的椭圆.因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴b= Ja2 _c2 =75 ,所以22椭圆的方程为土 =1.(2)由 PM PN| =21 -cosMPN，得 PM LPN cosMPN = PM LPN -2.因为cosMPN #1,P不为椭圆长轴顶点，故 P、M、N构成三角形在ARMN中，MN I =4,由余弦定理有 MN|2 =|PM |2 +|PN 2 -2 PM LJPN cosMPN .将代入，得 42 =|PM |2 +|PN 2 -2( PM UpN -2)._2故点P在以M、N为焦点，实轴长为 2J3的双曲线 -y2 =1±.3由(

5、I )知，点P的坐标又满足=1 ,所以由方程组2_25x 9y =45,22x 3y =3.二、点差法9522定理在椭圆告+ (=1a b(a>b>0)中，若直线l与椭圆相交于 M、N两点，点P(x0,y0)是弦1bMN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN ,则kMN '如=一二.Xoa223 .直线l经过点A(1 , 2),交椭圆人十上=1于两点Pi、P2,36 16(1)若A是线段P1P2的中点，求l的方程；(2)求P1P2的中点的轨迹.标准文案实用文档解：（1）设 p1（xi, y）、P2（&, y2）,-22出*=1362 x236162£=1

6、16(x1 -x2)(x1 x2)(y1y2)(y1V2)_=十=036161 A(1 , 2)是线段 P1P2 的中点，x1 +x2=2, y1 +y2=4,36162( x1 -x2)+4(y1 -y2) _0,即 y1 y2X1 -X2 .l 的方程为 y=_2(x1)+2,即 2x+9y-20=0.9(2)设 P1P2 的中点 M(x, y),则 X1+x2=2x, y+y2=2y,代入*式，得k y1 -y2 4x ,又直线l经过点A(1, 2), x1 -x29y整理，得 4x(x-1)+9y(y-2)=0 ,钻,、（x2P1P2的中点的轨迹：24.在直角坐标系xOy中，经过点（0

7、, "2）且斜率为k的直线l与椭圆2+ y =1有两个不同的父点 P和Q.（1）求k的取值范围;（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,使得向量OP + OQ与AB共线？如果存在，求 k的取值范围；如果不存在，请说明理由解：（1）直线l的方程为y = kx + «2.y = kx 2,L2y2得:=1.(2k2 +1)x2 +4j2kx + 2=0；直线 l 与椭圆2x 2一 + y2 =1有两个不同的父点,2-8(2k2+1) >0.解之得：k < -三或壮立.二k的取值范围是od -,2 J2(2)在椭圆 L + y2=1 中

8、，焦点在 x 轴上，a=72,b=1 , A(%,'2,0),B(0,1),AB = (-V2,1).2标准文案实用文档设弦 PQ的中点为 M(x0,y0),则 OM =(x0,y10).由平行四边形法则可知：OP + OQ = 2OM； OP+OQ与AB共线，'OM与AB共线.Xo-、2y°u 济 y°,从而二1Xo由 kpQ % =-b2 得: Xoa由（1）可知=暂时'直线l与椭圆没有两个公共点'不存在符合题意的常数k.三、最值问题25.已知P为椭圆 2+y2=1上任意一点，M （m, 0） （mCR）,求PM的最小值。4目标：复习巩固

9、定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。提示：设P（x,y）,用距离公式表示出 PM,利用二次函数思想求最小值。解： 设 P(x,y), PM= q'(x -m)2 +y2 = J(x -m)2 +1 一' = J3x- -2mx +13 4m 24(x-3)2+1, x e -2,2,结合相应的二次函数图像可得3(1) 4m <-2 即 m<3 时 (PM)min=|m+2|; 32 -2w4mw 刈-'m3 时，小仔：9（3） >2,即 m>° 时，（PM） min=|m-2|. 32说明：（1）类似的，亦可求出最大值； （2）椭圆

10、上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b,最远的点是长轴端点，最大值为a; （3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为 a-c,最远的点是长轴右端点，最大值为 a+c;26.在椭圆 +y2 =1求一点P,是它到直线l: x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。 4目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问般处理方法。提示：（1）可等价转化为与直线l平行的椭圆的切 线l之间的距离；（1）也可以用椭圆的参数方程。标准文案题的一线与直实用文档2口 2y m = 0解法一：设直线m： x+2y+m=0与椭圆x_+y2=l相切，则x2,消去x,得8y2+4my+m 2-4=0,4一 y2

11、 二14A =瑜军得m= _2 2.当m=2声时，直线与椭圆的切点 P与直线l的距离最近，最近为|20Z22!L2.| = 2V5-20 ,此时点P的,55坐标是（_点，_曰）；当m=-272时，直线与椭圆的切点 P与直线l的距离最远，最远为|1°±2=2石+型W ,此时点p的 、,55坐标是（，?）。解法二：设椭圆上任意一点 P（2cos9,sin 0 q,0,2 n ）则P到直线l的距离为12cos8十个、° +101 = 2 届"4）*05、5.当 吟时，P到直线l的距离最大，最大为275+怨0此时点P的坐标是（衣，仔）；当9=5：时，P到直线l的

12、距离最小，最小为2J5-2T，此时点P的坐标是（-夜，-1）。说明：在上述解法一中体现了 数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离。在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角形式转换灵活多变，利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。227 .设AB是过椭圆 +上=1中心的弦，Fi是椭圆的上焦点，92522解：（1）设AB： y=kx,代入椭圆人+匕=192525229?，（1）若ABFi面积为4J5,求直线 AB的方程；（2）求ABFi面积的最大值。/曰 21225.得 x =2 =2， Xi=-X2=1 k 25 9k

13、2 I ''9 25又，SAABF1= 2 |OF 1| |xi-X2|二2|xi-X2|=4。5 , .1. |xi-X2|=2V5 ,一2 =5k= ±2叵.直线AB的方程为y= 士2匹x。259k33一1225(SA ABF 1) Max =12(2) Saabfi= _ |OFi| |xi-X2|=4 J2 , 当 k=0 时,225 9k标准文案实用文档x y8 . (2014金山区一模23题)已知曲线 Ci ：+ U=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为 4< 5 ,曲线 a b，2、.5Ci的内切圆半径为-.记曲线C2是以曲线Ci与

14、坐标轴的交点为顶点的椭圆.设AB是过椭圆C2中心3的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点.(1)求椭圆C2的标准方程；(2)若MO = mOA (。为坐标原点)，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；(3)若M是l与椭圆C2的交点，求 MBM的面积的最小值.C1是以(30)、。力)、(a, 0)、(0, b)为顶点的菱形,故/2又a>b>0,解得：a2=5, b2=4,因此所求的椭圆的标准方程为千+ ；4分(2)假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx(kw 0) A(xa, Ya),1 ,曰一202_ 20H必=设M(x, y)

15、,由题意得:|MO|2=m2|OA|2, (m>0),即:因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为 > =,代入上式消去k得:I： ，一 l -22 j L八V = *J/，又 x2+y2wq 整理得： 一十 J=1(m>0)9 分4y +5工4 / 5当k=0或斜率不存在时，上式仍然成立,标准文案实用文档r v综上所述，点 M的轨迹方程为 (-> = 1 (m>0) 10分4加切, 一，.，'20?(3)当k存在且不为零时，由(2)得：=二7 ,4+弼,|OAf=* ,4 +弼f 21二+乙二13 4，得：吟=20xy=-,om2 郊13分2- 2

16、一 n ：ab2=4|oa| = -_400（1 + />（44 51）（5+ 4元）14分$400（1s 4十%产十上十4M2）1600(1* ?=(黑尸，当且仅当4+5k2=5+4k2时，即k=±1时，等号成立,81(1+49此时AABM的面积的最小值为16分4 +St当k=0时，£皿=父2对行工2=2/>¥ ,当k不存在时，用皿；工石乂4=2书>f ,综上所述, ABM的面积的最小值为9 .设椭圆中心在坐标原点，A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点，直线 y = kx(k > 0)与AB相交于点D ,与椭圆相交于E、F两点.(1

17、)若ED'=6DF'，求k的值；(2)求四边形 AEBF面积的最大值.2(1)解：依题设得椭圆的方程为十y2 =1 ,4直线 A ,BE的方程分别为 x + 2y = 2 , y = kx(k > 0). 如图，设2、 2D( 0Xk) x , ( iE , x 1) , k X 2 其中)Xix#, x且 x1，飞满足万程(1 + 4k )x =4 ,故2x2 - -Xi :.1 4k2标准文案实用文档,=八=一一. .一1 一 .5由 ED = 6DF 知 x0 x1 =6(x2 -x0),得 x0 =(6x2 +x1) = x2107 J4k22,由D在AB上知x0

18、 +2kx0 =2,得x0 =.所以1 2k101 2k 71 4k2 223化简得 24k2 -25k +6 =0 ,解得 k =或 k =.(2 )解法一：根据点到直线的距离公式|xi +2kxi -2|2(1 + 2k+J1+4k2)5(1 4k2)，h2 =x2和式知，点E, F到AB的距离分别为2kx2 - 2 2(1 2k - .1 4k2)5(1 4k2)又AB = J22 +1 =卡,所以四边形 AEBF的面积为1S = 2 AB (h1h2)=(1 2k)2(1 2k)(1 4k2)一 1 4k2当2k =1,即当k =1时，上式取等号.所以 S的最大值为2庭2解法二：由题设

19、，BO =1, AO =2 .设y1 =kx1,y2= kx2,由得x2A 0 ,y2=y1> 0 ,故四边形 AEBF的面积为S =Sa BEF +Sa AEF = x2 +2 y2 - J(x2 +2y2) = (x +4 y2 + 4x2 y2 22(x2 + 4y2 ) = 2v2 , 当x2 =2y2时，上式取等号.所以 S的最大值为2J2.四、垂直关系10.(上海春季)已知椭圆C的两个焦点分别为F"-1,0)、F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1、B2。(1)若FHF2为等边三角形，求椭圆 C的方程；(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P、

20、Q两点，且F1P _LFQ ,求直线l的方程。22解：(1)设椭圆C的方程为 = +% =1( a>b>0)oa2 b2a =2b22根据题意知a ,解得a2 =4, b2=l,故椭圆C的方程为x+Eq。a2 -b2 =1334 1332(2)容易求得椭圆C的方程为二十y2=1。2当直线l的斜率不存在时，其方程为x =1 ,不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y =k(x -1)。标准文案y =k(x -1)由 ,22 7 y =1实用文档2(k2 -1) 二， ，、x1 x2 =2) F1P (x1 1, y1)52k2 111，得(2k2+1)x2 4k2x+2(

21、k2 1)=0。4k仅 P(xi, yi) , Q(x>, y2),则 x +刈=22k2 1FQ =(X2 +1, y2),因为FP_LFQ，所以FP FQ=0,即2,(x11)(x21)y1y2=刈发(x1二2)T k(x1一1)佻-1)=(k2 +1)x1x2 -(k2 -1)(x1 +x2) +k2 +1 = 7k2 -1 =0 , 2k2 1解得k2 =1,即k=±97。 77故直线l的方程为x十"y 1=0或x"y1 =0。211.如图，设椭圆x-+y2=1的上顶点为B,右焦点为F,直线l与椭圆交于M、N两点，问是否存在直线 2l使彳导F为4BM

22、N的垂心。若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由。解：由已知可得，B(0, 1), F(1, 0), .kBF=-1o-. BF 11, .可设直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程整理，得223x +4mx+2m 2=0。设 M (x1，y1)，N(x2,V2 ，则xx24m? Xx2=32m2 -2o3. BNXMF ,y1x1 -1x2又m =1时，直线l过B点，不合要求，m = -4，3y2 -1 =一1,即 y1y2 +x1x2 -y1 -x2 =0。y1 =x1+m,y2=x2+m , (x1+m)(x2+m)+x1x2 _(x1+m)x2= 0。即 2x1x2 +(m -

23、1)(x1 +x2) +m2 -m =0 ,2.c 2m -2 ,、，4m、2八 c 2,八 2+(m -1)()+m -m =0 , - 3m +m 4=0, . . m =33由 =(4m)2 12(2m2 -2) =24 8m2 >0 ,得 m2 <3故存在直线l： y=x-4满足题设条件。3标准文案实用文档12. (2012年高考(湖北理)设A是单位圆X2 +y2 =1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与X轴的交点，点 M在直线l上，且满足|DM |=m|DA|(m0,且m=1)。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。(I )求曲线C的方程，判断曲线

24、C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标;(II)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P, Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N ,直线QN交曲线C于另一点H 。是否存在使得对任意的k >0,者B有PQ_LPH *存在，求m的值；若不存在，请说明理由。解析:(I)如图 1,设 M(x,y), A(xo,y0),则由 |DM |二m| DA |(m >0,且 m 卉 1),可得 x =x0 , | y |=m | y0 | , 所以 x0 =x , |y0|=1|y|。m因为A点在单位圆上运动，所以Xo2 +y°2 =1 。将式代入式即得所求曲线2C 的方程为 x2 +4

25、=1 (m >0,旦m #1)。m因为 m W(0,1)U(1,+0°),所以当0 cm <1时，曲线C是焦点在X轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(J _m2, 0) , “1 _m2, 0)；当m>1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0, -4m -1) , (0, Jm2 1)。(n)解法 1:如图2、3,Vk>0,设 P(Xi,kXi),H(X2,y2),则 Q(Xi, kXi), N(0,kxi),直线QN的方程为y =2kx +0，将其代入椭圆 C的方程并整理可得(m2 +4k2)x2 +4k2x1x +k2x12 m2 =0 。依题意可

26、知此方程的两根为-X1 , X2,于是由韦达定理可得,4k2 Xi即3 -X2 =2x2 =m - 4k2m Xio2, 2m - 4k因为点H在直线QN上,i=t是 PQ =(-2X1, 2kX1)，所以 y2 -kx1 =2kx2 = 22km ' 2 °m 4k. 22.2177 /I / 4k X12km Xi .PH =(X2 X1, 丫2 取)=(一 2 4 2 ,2 4 2) °m ，4k m ，4k_ _ 2 I 22而PQ ±PH等价于PQ PH2n4即 2 -m2 =0 ,又 m >0 ,得 m =72 ,故存在m =d2 ,使得

27、在其对应的椭圆yDO标准文M AX2X2+上=1上，对任意的 k >0 ,都有 PQ _LPH 。图 2 (0 二 m d)图 3 (m 1)实用文档解法 2:如图 2、3, 也 W(0, 1),设 P(Xi，yi) , H(x2，y2),则 Q(f, y) , N(0, yj ,2222因为P, H两点在椭圆C上，所以Jm* +yi =m,两式相减可得 2222m X2 * = m ,2,22、 ， 22、 一 自m (Xi -x2 ) +(yi -y2 ) =0。依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且 P , H不重合,故(* _x2)(xi +x2)却。于是由式可得(y

28、i -y2)(yi +丫2) =52。(Xi -x2)(xi - x2)又Q, N, H三点共线，所以kQN =kQH ,即型=匕*。XiK X22于是由式可得 kPQ kPH =yi ,yid=i (yiy2)(yi +y2)=m。xi xi -x2 2 (x, -x2)(xi x2)22而 PQ _LPH 等价于 kPQ kPH =_i ,即-=，又 m>0 ,得 m=&, 一22故存在m =72 ,使得在其对应的椭圆x2+±=i上，对任意的k>0 ,都有PQ1PH222i3. (i0浙江/2i)已知m>i,直线l:xmym=0 ,椭圆C:3+y2 =i

29、 , F3F2分别为椭圆C的左、右2m焦点.(i)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，VAFE , VBFF2的重心分别为 G,H .若原点O在以线段GH为直 径的圆内，求实数 m的取值范围.【解】(I)因为直线l : x -my -m- =0 经过 F2(>/m2 -i,0),所以 vm2-i = m-,得 m2 = 2 ,又因为m >i,所以m = J2,故直线l的方程为xT2yi=0.(n)设 A(Xi，yi),B(X2，y2)fx =my由2X 2y m2 ,消去 x 得：2y2+my +二i2m1 =04则由 =m2 -8(m-

30、-i) = -m2 +8 >0 ,知 m2 <8 ,且有 yi +y2 =-m, yi y =m- - 4282 2由于 Fi(-c,0), F2 (c,0),由重心坐标公式可知 G(l,), H (1,1) . GH =+3 33 399设M是GH的中点，则M (Xiyi *y2),由题意可知2 MO <GH66,、2,、2即 x x2'yi y2： 0即 4(* 旭)2 (yiy2)2 ； (Xi(yi 一九)标准文案实用文档222/2/m、， m、/ 2 m 1m 1而 xiX2 +y1y2 =(my +)(my2 +)+y1y2 =(m +1)(-),所以 -

31、<0 ,即 m2282822 ：二4又因为m >1且 >0 ,所以1 <m <2 ,所以m的取值范围是（1,2）.14. （09山东/22）设椭圆22E: xy+4=1 (a, b>0)过 M(2, 72), N(76, 1)两点, a b。为坐标原点.（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA_LOB ?若存在,写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由【解】（I ）因为椭圆E:22x y / -12, 2 一 a b(a,b>0)过 M (2, s/2 ), N(T6

32、 , 1)两点,4222所以a b6 .1孑bTI 2 ,解得«a 8 ,所以1122a2b2二8.，椭圆E的方程为=422x y /一 二184（H）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 A, B,且3A_LOB,设该圆的切线方程为y =kx +m ,y = kx m2222+2(kx+m) =8,即(1+2k )x +4kmx+2m 8=0,解方程组1x 6 “it ±2-6),满足 OA_LOB . y2,得x2二1844km5!x1 x21 +2k2 r设 A( x , y ) , B( X2, y2),42,要使 OA _L OB ,

33、需使 x1x2 + yy2 =0 ,2m -8X1X2 =21 2k2, z、2y1y2 =(kx m)(kx2 m) = k x1x2 km(x1 x2) m2222k2(2m2 -8) 4k2m222 m1 2k21 2k2222 m2 -8k221 2k22222m -8 m -8k22即 +2- =0，所以 3m 8k 8 =01 2k1 2k因为直线y =kx +m为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r二1k2'2m1 k223m - 81 88. n一， r <b3此时圆x2 y2 =8都在椭圆的内部,3所以圆的切线与椭圆必有两个不同的交点，且OA _ OB .

34、2.67/ 2.6士)或(,2 6, x2 y2八 人、一而当切线的斜率不存在时，切线x=±" 与椭圆 '+幺=1的两个交点为384综上，存在圆心在原点的圆 x2 +y2 =3 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点人阴，且3 O标准文案实用文档1ABi= k .Xi -x2| 二尸，824二栏1 +4kk2当 k ¥0时 |AB |= F21 +1,因为,3 4k212 4,21-4k十一十4>8k211所以0 << 所以4k2 - 48k23231 + W1234k2J 42所以g而WAB性2%;3当且仅当卜;土方-时取 =当k

35、=0时，|AB| =述.3而当AB的斜率不存在时，两个交点为呼一"(-半土乎所以此时MW综上，|AB|的取值范围为4J6w|AB|<2而，即:3| AB | e 4V6 ， 2回3【另解】对于求|AB|,有个更简单的方法:如图，设 /AOT=e, ：*/AOB=土，2则 AB| =6(tan 6 +cot8),而AT t a n 二OT,2所以当 tane=4,|AB|min=W6；3当匕3,应时,1ABL五、存在性问题215.以椭圆 +y2 =1(a >1)的短轴的一个端点 B(0,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，问这样 a的直角三角形是否存在？如果存在，请说

36、明理由，并判断最多能作出几个这样的三角形；如果不存在，请 说明理由.2解：过点B(0,1)分别作斜率为±1的直线，必与椭圆 三+y2=1各另有一交点 M,N ,则ABMN即a为所求的等腰直角三角形，故这样的内接等腰直角三角形至少有一个；如除了 (1)给出的内接等腰直角三角形外，还存在其他的内接等腰直角三角形，那么设直线1l1：y=kx+1, l2：y = x+1, (k a0,k #1),则l1与I2均过点B(0,1),且互相垂直，与与椭圆分别 k标准文案实用文档交于E, F ,2 22 2x ayy 二 kx 1=02 22_ 2=(1 a2k2)x2 2a2kx =0 =一 22

37、 22a2k1 -a2k2E (22 ，22 ) .1 a2k2 1 a2k22 12 12a 1 - a 2得f(kr，")=1 a2- 1 a2 k kF(2a2kk2 a222k _ a222 )k a222| BE|2 =(1 k2)xE2 .2 2a k 2=(1 +k )-2-，1 - a2k2| BF |2 = (12 xf2 一 2一 21 k2 2a2k 222a2 2-22 =(1 k2)-22k2 k2 a2k2 a22a2k2a20cc ck >0,k=1, |BERBF |u 2a 2k2 = 22a 2 y k3+a2k = 1+a2k21 a k

38、k a322 k -1(k-1)(k k 1) .1 da = 2= k 1k -k k(k -1)k由k0,k#1得，a2 >3= a>、3 ,由于椭圆关于 y轴对称，故当a > J3时，还存在斜率k#±1的内接等腰直角三角形两个.综合：当1 <a WJ3时，可作出一个椭圆的内接等腰直角三角形（图 1）,当aA>3时，可作出 三个椭圆的内接等腰直角三角形（图2）.标准文案实用文档2 .216. (2015虹口二模)已知圆F1 ： (x 1) y = 8,点F2(1,0),点Q在圆F1上运动,QF2的垂直平分线交QF1于点P.(1)求动点P的轨迹C的方程

39、;(2)设M、N分别是曲线C上的两个不同点，且点M在第一象,限，点N在第三象限，若0M+2ON=2OF1O为坐标原点，求直线MN的斜率;(3)过点-1S9, -1)C3的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T ,使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点 T的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)因为 QF2的垂直平分线交QF1于点p.所以PF2 = PQPF1I -|PF2 = PFi|-.-|PQ = FQ =2、2 . F1F2 =2,所以，动点P的轨迹C是以点F1、F2为焦点的椭圆.2, 2设椭圆的方程为 a b.222b =a -c =1故动点P的轨迹C的方程为y*2x

40、 2.y =12(2) 设 MR,b1),N(a2,b2)(a1 A0,b1A0,a2<0,b2<0),a12 2bl2 =2,a22 2b22 =2因为0M+ 2ON =20Fi ,则a1 ' 2a2 - -2, b1 ' 2b2由、a1解得二)1145,a2 二 一 一，b214b2 -b13.14所以直线MN的斜率kMNa2 - a11410分二kx3(3)设直线1的方程为y=kx3则由y2=19(2 k2 1)x2 -12kx -16 = 0,标准文案实用文档S(0 1)由题意知，点,一3在椭圆C的内部，所以直线1与椭圆C必有两个交点，设A(x1,y1卜B(

41、x2,y2),则4kxi x2 = 2, xi x23(2 k 1)1629(2 k - 1)12分假设在y轴上存在定点T(0,m)满足题设，则TA = (x1, y1 m), TB =(X2, y2 -m),因为以AB为直径的圆恒过点T,所以TA TB =(x1, y1m) ,(x2,y2m) =0，即X1X2 (yi - m)( y2 m) = 014分y1 =kx1 -l,y2 -kx2因为313,故(*)可化为2xx2 V、V2 - m(Y1丫2) m,. 21、，、2=(k1)x1x2 - k(m)( x1 x2) m1十916( k21)4k9(2 k21)-k(m ) 233(2

42、 k 1)22218( m2 -1) k23(3 m 2 2m - 5)9(2 k 21)由于对于任意的k R,Ta TB =0,恒成立，故tm2-1=013m2+2m5=0, 解得 m=1因此，在y轴上存在满足条件的定点T,点T的坐标为(0，D.16分22 x y17. (2015嘉定二模)已知椭圆C: = +% = 1 ( a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点B(0,b)， a b过点B且与BF2垂直的直线交x轴负半轴于点D，且2F1F2 + F2D = 0。(1)求证： BF1F2是等边三角形；(2)若过B、D、F2三点的圆恰好与直线l ： x-J3y-3 = 0相切

43、，求椭圆C的方程；(3)设过(2)中椭圆C的右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与C交于P、Q两点，M是点P关于x轴的对称点。在x轴上是否存在一个定点 N，使得M、Q、N三点共线，若存在，求出点 N的坐标;若不存在，请说明理由。(1)设 D(x0, 0) (x0 <0)，由 F2(c，0)，B(0,b),故 FzB = (c,b), BD = (xo，b),因为 F2B -L BD，所以cx0 -b2 = 0 , (1 分)标准文案实用文档b2_x0 =-,故 F2D = cb2-c, 0 , (2 分)Jb99又 F1F2 =(2c , 0),故由 2F1F2 + F2D =0 得 3c

44、 - - = 0 ,所以，b =3c。(3 分)c所以，tan. BF2F1 =- cJ3 , /BF2F1 =60口，即 BF1F2是等边三角形。（4分）（2）由（1）知，b = J3c ,故a =2c,此时，点D的坐标为（_3c, 0） , （1分）BDF2是直角三角形，故其外接圆圆心为F1（-c,0）,半径为2c, （3分）所以，|3 =29 c=1, b=V3, a = 2, (5 分)222所求椭圆C的方程为人+£=1。（6分）43（3）由（2）得F2（1,0）,因为直线l过F2且不与坐标轴垂直，故可设直线l的方程为:y =k(x -1), k =0。(1 分)y =k(x

45、 -1)由x2 y2 ，得(3+4k2)x2 8k2x十工=1+ 4k212=0,(2 分)L4设 P(x1,y1)， Q(x2, y2)，则有 X +x2一 22 一8k4k -12八2，x1 x2 =2，( 3 分)3 4k23 4k2由题意,M （x1, -y1）,故直线 QM 的方向向量为 d =（x2 -x1，y2 + y1），所以直线QM的方程为 土（4分）又2 " y2 yy1(x2 -x1)y1x2y2的k(x1 一 1)x2 k(x2 - 1)x1J X = 1- = y2 y1y2y1k(x2 -1) k(x1 -1)22kxix2 -k(x1 x2)2x1x2

46、-(x x2)224k2 -128k2k(x1 x2) -2k(%x2) -2223 4k23 4k2工-23 4k2一 24=4。（5 分）一 6即直线QM与x轴交于定点（4,0）。所以，存在点N（4,0）,使得M、Q、N三点共线。（6分）标准文案实用文档x1- y11(注：若设N(xo, 0),由M、Q、N三点共线，得X2 y2 1=0,Xo0 1x1y2X21、o /yiy2六、定点或定直线问题2218.已知椭圆方程为 =1 ,当过点P(4,1)的动直线l42与椭圆C相交与两不同点 A, B时，在线段AB上取点Q ,满足|ap| jQB| =|AQ| jPB|,证明：点Q总在某定直线上解：设点 Q、A、B 的坐标分别为(x, y),(x1, y1),(x2, y2)。由题设知Ap,同,|AQ,厨均不为零，记则九0且九"1AQ 二九QB,又A, P, B, Q四点共线，从而AP =九PB ，于是 4:21, 1 = y1-'y2, x/% , y/。1 - -1 - 1 1 22 222 2从而 x1x2 =4x,(1) y1 f2 = y ,1 - 21 - 2又点A、B在椭圆C上,即x；+2y12=4,川川(3) x2+2y2=4,|川(1) + (2) X2