数列通项公式求法大全配练习及答案

1、学习必备欢迎下载数列通项公式的十种求法一、公式法*、 an = ai (n -1)d = dn ai -d( n N )an 二 aiqn; a1 qn(n N*) q二、累加法an i -an f (n)例1已知数列an满足an书=an +2n+1,a1 =1 ,求数列an的通项公式。an= n2例2 已知数列an满足书=% +2M3n+1, a1二3,求数列an的通项公式。(an =3n +n -1.)三、累乘法an 1 = f(n)an例3已知数列an满足an书=2(n+1)5nMan, a1 =3,求数列an的通项公式。 n(n 二)(an =3M2nx5 !.)评注：本题解题的关键是

2、把递推关系a书:？不转化为a独=2(n+1)5n，进而求an出且，包卫| a3 a2 & ,即得数列an的通项公式。 an 4 an 2a2 a1例 4 已知数列an满足 a1 =1, an =a1 +2a2 +3a3 十川 +(n -1)an(n2)，求an的通项/一 / n!、式。(an =.)2学习必备欢迎下载评注：本题解题的关键是把递推关系式an平=(n+1)an(n之2)转化为9n = n + 1(n之2),an进而求出 且，曳11 a3 a2，从而可得当n 2 2时，an的表达式，最后再求出数列an的 anan/a2通项公式。四、待定系数法an 1 = Pan q an 1 = P

3、an f n an 2 = Pan 1 qan(其中p, q均为常数)。例5 已知数列 an满足an书=2an +3M5，a1 = 6 ,求数列an的通项公式。 n -1n、(an =2+5 )评注：本题解题的关键是把递推关系式an书=2an + 3M5n转化为an书5n* =2(an 5n),从而可知数列an-5n是等比数列，进而求出数列an-5n的通项公式，最后再求出数列 an的通项公式。例6已知数列an满足an书=3an +5 M 2n +4, ai = 1 ,求数列an的通项公式。(an =13父3n-5父2n -2 )评注：本题解题的关键是把递推关系式an书=3an +5父2n +4

4、转化为 an.+5M2n*+2=3(an +5M2n+2),从而可知数列an +5M2n+2是等比数歹U,进而求 出数列an +5父2n +2的通项公式，最后再求数列 an的通项公式。例7已知数列an满足an由=2an +3n2 +4n +5, ai =1 ,求数列an的通项公式。_ n _4_ 2_(an =2-3n -10n-18)评注：本题解题的关键是把递推关系式an4 =2an + 3n2 +4n +5转化为2 2an+3(n+1) +10(n+1)+18=2(an +3n +10n+18),从而可知数列学习必备欢迎下载22%+3n +10n+18是等比数列，进而求出数列an + 3n

5、 +10n+18的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。五、递推公式为Sn与an的关系式（或Sn = f（an）解法：这种类型一般利用 an(n =1)Sn Sn(n2)1. 一 . 一例8已知数列&n 前n项和Sn =4an 产.（1）求an书与an的关系；（2）求通项公例9已知数列an满足an书=3an +2M3n +1, a1=3,求数列an的通项公式。解：an.=3an +2M3n+1两边除以3n/，得盆3an 21=.一 .一 n33 3n:：1 ，an 1 an3n 13n=2 .3 3)HI3(曳0冬3131IH 72) 13亘=(嵬义) (On_J an/、3=(3、/ (a

6、n)2121(-!-) (3 3nJ； 3 3H2(n -1)1111(n -1因此亘=2 . 丁一3 ）3n1 -31 :名 1 _32 2 3n一 2 c 1c 1则 an = n 33.322评注：本题解题的关键是把递推关系式3an +231转化为十九进而求出（十?）亨-4）（券-券）m亨-哥aa,即得数列U3的通项公式，最后再求数列 an的通项公式。学习必备欢迎下载七、对数变换法(当通项公式中含哥指数时适用)n 5例10已知数列an满足an邛=2父3父an , ai = 7 ,求数列an的通项公式。n 5n 5解：因为an =2父3 Man, ai = 7 ,所以an 0, an+下0

7、。在an书=2父3父an式两边取常用对数得lg an书=5lg an+n lg3+lg 2设 lgan书+x(n+1) + y=5(lgan +xn + y) 将式代入 式，得5lgan+nlg lg 2x n(+ 1)y = 5(ig + xn + y，两边消去5 lgan并整理,得(lg3 +x)n +x + y +lg 2 =5xn +5y ,则lg3 x =5xx y lg2 = 5ylg3 x 二,故 4蛆Ig2 y-164代入式，得叱书+幽（/1） +更+星=5（lgan+里n+蛆+%） IIIn41644164由lga13M1+里十监= lg7+ 1+1g3十跖/0及式,4164

8、4164得 1gan Tn 噜+於lg an 1则.蛇1）.更盛4164lg an1g3n屈型4164所以数列lg a+鲂n+1g3+蚂马是以lg7十监十监十蚂工为首项，以5为公比的等 n 41644164比数列，则lgan +W3n+蛇+2 = (lg7+33+蛇十以2)5n。因此41644164学习必备欢迎下载lg3 lg3 lg2 nlg3 lg3 lg2lg an = (lg 7 )5- n -4164464111n11二 (lg 7lg 34lg 36lg 24)5n1 - lg 3 - lg 316 - lg 2111n 11= lg(7 34 3石 24)5nJ -lg(3 3语

9、 2%)111n 11-lg(7 3“ 3历 24)5n-lg(3 3诃 21)5n。5n1J5n1川g(7 5n,3k 3干 2k)5n _4n5nx= lg(7 5n,3 162=)5n _4n 15n-1则 an = 72(n 二)n 2(n2) (n 11= an2r 3(n 2) 2n，32(n 4) n 2(n sa= an4J 33(n1)(n 劣 n 2(n (n 0(n 1)=an 4= 111 3n i23l.|l|i(n -2) (n 二)n 21 21111 (nj3) (n2 (n 11 二 a1n-x 3 16 乂 2k olg an 1lg an -评注：本题解题

10、的关键是通过对数变换把递推关系式an+=2 M 3n M a5转化为 /5+1）+ /+星=5（lgan+幽n+/+口），从而可知数列41644164gln+lgl+Jg-Z是等比数列，进而求出数列lg an+3n +蚂3+蚂2的通项4164n 4164公式，最后再求出数列前的通项公式。八、迭代法例11已知数列an满足an4 =a3（n*）2n, a1=5,求数列an的通项公式。3(n 1)2n3n 2nl 3(n4)2n2 3n2n=a13n、！ 2用牛.四刀an由一 an ,所以an - an/- Lan/Jn(ng nXn!2o又a1 =5 ,所以数列an的通项公式为an =53评注：本

11、题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an4r = a3（n4t）2n学习必备欢迎下载两边取常用对数得lgan.=3(n+1)M2nMlgan,即IgaH = 3(n+i)2n ,再由累乘法可推知 lg an1g an 1g an 1lg an =r-川：lg an 1 lg an 2lga3lg a2簪 IgaLlgS3j2 Igain(n J) -2-n 1n(n J)3n 1n!2_.,从而 an = 52 。九、数学归纳法例12已知数列a满足an书=an+8n1, a1 = 8 ,求数列4的通项公式。(2n 1)2(2n 3)29解:由 ani=an8(n 1)(

12、2n 1)2(2n 3)2及 a1 =898(1 1)88 224a2 = ai 22 =(2 1 1) (2 1 3)9 9 2525a3-a28(2 1)_2 _ 2(2 2 1) (2 2 3)248 348 r =25 25 49 49a48(3 1)2 一 - 2(2 3 1) (2 3 3)488 480r =49 49 8181由此可猜测an(2n 1)2 -12(2n 1)2,往下用数学归纳法证明这个结论。_2当心1时，一不1)J(2 1 1)288 ,所以等式成立。9(2)假设当n=k时等式成立，即ak2(2k 1)2 -12(2k 1)2,则当n = k+1时,ak 1 =

13、 ak8(k 1)(2 k 1)2(2 k 3)2学习必备欢迎下载(2k 1)2 一18(k 1)= Z2 - -Z2-Z2(2k 1)(2k 1) (2k 3)(2 k 1)2 -1(2k 3)2 8(k 1) 22(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 -(2k 3)2 8(k 1)二22(2k 1) (2k 3)(2k 1)2(2k 3)2 -(2k 1)2 22(2k 1)2(2k 3)2-2(2k 3) -1一(2 k 3)222(k 1) 12 -1 2 2(k 1) 12由此可知，当n = k +1时等式也成立。根据(1), (2)可知，等式对任何 nw N都成

14、立。n项，进而猜出数列的通项评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法1例13已知数列an满足an书= (1+4an+j1 + 24an), & =1 ,求数列小的通项公式。16解：令 bn = 1 24an ,贝U an -1)24.121故 an+ =24(bn+1),代入 an+ =16(1+4an +j1+24an)得1211224(1 一1)：。14万 7) 3因为bn二炉24an 0,故bn+ =+24小中10-13则 26由=3 +3,即 4+=bn十一， 22一，、，1可化为 bn+-3=-(bn -3),2学习必备欢迎下载 - 1 .所以bn 3是以bl3 = 尸项有3= 方方