数列基础知识点

1、数列基础知识点1.概念与公式：等差数列：1。.定义：若数列an满足ay-an =d(常数)，则an称等差数列；2° .通项公式：an = a1 +(n-1)d = ak+(n-k)d;、,n(a1 an)n(n -1)3。.前n项和公式：公式：Sn =U = nai+_()d.22a等比数列：1 .te乂右数列an满足上 =q (常数)，则an称等比数列；2a n通项公式： an =a1qnJ1 =akqnA ；3° .前 n 项和公式： Sn 二史一anq = a1(1一q(q#1),1 一q1 q当 q=1 时 Sn = na1.2.简单性质：首尾项性质：设数列an ：

2、a1,a2,a3,，an,1 .若an是等差数列，则 a1 +an a2 +ana3 +an_2 ;2° .若an是等比数列，则 a an = a? ana3 'an_2 .中项及性质：,， 八一，- A a b1。.设a, A, b成等差数列，则 A称a、b的等差中项，且 A =;22。.设a,G,b成等比数列，则 G称a、b的等比中项，且 G =±v ab.设p、q、r、s为正整数，且 p+q = r+s,1； 若an是等差数列，则ap+aq = a+as；2 .若an是等比数列，则ap aq =a凡；顺次n项和性质：见习题册 page28复习题B组第2题：n2

3、n3n1 。.若an是公差为d的等差数列，则£ ak,£ ak, Z ak组成公差为n2d的等差数 k dk zn 1k =2n 1列；n2n3n2 .若an是公差为q的等比数列，则£ ak, Z ak, Z ak组成公差为qn的等比数 k 1kH_1kRn1列.(注意：当q=-1, n为偶数时这个结论不成立)若an是等比数列，2则顺次n项的乘积：aa2an, an.虫a2n ,a2n 4 a2n卡a3n组成公比这qn的等比 数列.学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意公差dwo的等差数列的通项公式是项 n的一次函数an=an+b;公差dw0的等差

4、数列的前 n项和公式项数n的没 有常数项的二次函数 Sn=an2+bn;公比qw 1的等比数列的前 n项公式可以写成"Sn=a(1-qn) 的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的3 .解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确， 绝对不能用课外的需要证明的性质解题.4 .巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：三数成等差数列，可设三数为"a,a+m,a+2m (或a-m,a,a+m )”三数成等比数列，可设三数为"a,aq,aq2(或a ,qa,aq)"四数成等差数列，可设四数为5 a, a +m,a +2m,

5、 a +3m(或 a -3m, a - m,a + m,a +3m); " 四数成等比数列，可设四数为"a,aq,aq2,aq3(或 a，士旦，aq,±aq3), " 等等； q q例题：三数成等比数列，若将第三项减去32,则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4,又成等比数列，求原来的三数.解析设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为 a-d, a, a+d,则有2, 22 2_(a d)(a+d +32) =a d +32d32a = 0(a -4)2 =(a -d)(a +d)3a =16 + d22-826=3d -

6、 32d + 64 = 0,二. d = 8或 d = 一 /4 a = 10或一， 39，原三数为2,10,50或2空强.9 99(n)有四个正整数成等差数列，公差为10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,求此四数.解析设此四数为 a-15,a 5,a +5,a +15(a >15),22222(a -152) (a -5)2 (a 5)2 (a 15)2 =(2m)2(m N )2 2,=4a 500 = 4m = (m - a)(m a) = 125,125=1 125 -5 25,: m -a与m +a均为正整数，且m - a < m + a,广fm a=1 ma = 2

7、、m + a = 125、m + a = 25解得a =62或a =12(不合)，二所求四数为47, 57, 67, 77复习试卷一、选择题1 、 如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 ()(A)为常数数列(B)为非零的常数数列(C)存在且唯一(D)不存在2 .、在等差数列an中，a1= 4，且a1,a5,a13成等比数列，则an的通项公式为()(A)an=3n+1(B)an=n+3(C)an=3n+1或an=4(D)an = n+3或 an =4 一 a c3、已知a, b, c成等比数列，且x, y分别为a与b、b与c的等差中项，则一 十 一的值为 x y()1(A)(B) -

8、2(C) 2(D)不确定22. 24、互不相等的三个正数 a,b,c成等差数列，x是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项，那么 x , b ,2y三个数()(A)成等差数列不成等比数列(C)既成等差数列又成等比数列(B)成等比数列不成等差数列(D)既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列an 的前n项和为Sn , S2n由=4n2 + 2n，则此数列的通项公式为 ()一 .- n -1, 一 .2(A)an=2n-2(B)an=8n-2(c)an=2(D)an=n-n26、已知(zx) = 4(x y)( y z),则 ()一.111,、1 1 1(A) x,y,z成等差数列(B) x,y

9、,z成等比数列(C) 一，一，一成AP (D) ，一，一成GP''xyzxyz7、数列an 的前n项和Sn = an - 1 ,则关于数列an的下列说法中，正确的个数有()一定是等比数列，但不可能是等差数列一定是等差数列，但不可能是等比数列可能是等比数列，也可能是等差数列可能既不是等差数列，又不是等比数列可能既是等差数列，又是等比数列(A) 4(B) 3(C) 2(D) 111118、数列1 ,3 ,5 ,7 ，前n项和为2 4 8 16(A) n22n2+ 1(B)n2n 12(C)2n(D) n2_ n - tn?n 19、若两个等差数列 fen> bn的前n项和分别

10、为An、Bn ，且满足An4n 2a5 . a13,贝 u _513值为,8(B)719(C)20,7 (D) 810、已知数An 的前项和为SnBn5n -5b5bi35n+2，则数列Qn )前10项和(A) 56(B) 58(C) 62(D) 6011、已知数列an 的通项公式an=n+5为，从Gn 中依次取出第3,9,27, 项，按原来的顺(A) n(3n +13)(B) 3n +5(C)3n 10n -3(D)3n 110n -312下列命题中是真命题的是A.数列 右口 是等差数列的充要条件是b.已知一个数列an的前n项和为Sn = an2 +bn + a，如果此数列是等差数列，那么此

11、数列也是等比数列C.数列an 是等比数列的充要条件 an = abn/D.如果一个数列an卜勺前n项和Sn =abn+c(a/0,b¥0,b#1),则此数列是等比数列的充要条件是a , c = 0二、填空题13、各项都是正数的等比数列&nL公比q #1 a5,a7,a8,成等差数列，则公比 q=14、已知等差数列an)，公差d #0,a1,a5,a17成等比数列，则 a1 *a5 +a17 =a2 a6 ' a1815、已知数列aj满足Sn =1+1an,则an=416、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等 比中项

12、为二、解答题17、已知数列an 是公差d不为零的等差数列，数列abn )是公比为q的等比数列，b1 =l,b2 =10,b3 =46 ,求公比 q 及bn18、已知等差数列an的公差与等比数列 &n的公比相等，且都等于 d (d >0,d #1) ,a1 =D ,a3 =3b3，a5 =5b5，an,bno19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216,后三个数成等差数列，其和为36,求这四个数。22020、已知an为等比数列，a3=2,a2 +a4 =，求an的通项式。321、数列an的前 n项和记为 Sn,a =1,an+ = 2Sn+1(n1)(I)求an )的通项公式；(口)等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn,且T3 =15 ,又a1+n,a2+0 ,S3 +b成等比数列，求Tn22、已知数列 以满足a =14书=