2019全国三卷详细解析

1、选择题1、已知集合 A 1,0,1,2, B x|x2 1 ，则 A B ( )A. 1,0,1B. B. 0,1C. C. 1,1D. D. 0,1,2答案：A解答：2B x|x2 1 x| 1 x 1 ，所以 A B 1,0,1 .2.若 z(1 i) 2i ，则 z ( )A. 1 iB. 1 iC. 1 iD. 1 i答案：D解答：z(1 i) 2i, z2i1i(12i(i1)(1i)i)i(1 i)3. 西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小 说四大名著， 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况， 随机调查了 100 位学生， 其中阅读过西游记或红楼梦的学

2、生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读 过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8答案：C解答：90 80 60 0.7100 0.74. (1 2x2)(1 x)4的展开式中 x3 的系数为()A.12B.16C. 20D. 24答案：A解答：由题意可知含x3的项为1C431 x32x2C1413x12x3 ，所以系数为12.5. 已知各项均为正数的等比数列an 的前 4 项和为 15，且 a5 3a3 4a1，则 a3 （）A. 16C. 4B. 8D. 2答案：

3、C解答：设该等比数列的首项 a1，公比 q ，由已知得， a1q4 3a1q2 4a1 ，23 因为 a1 0且 q 0 ，则可解得 q 2，又因为 a1(1 q q2 q3)2 即可解得 a1 1，则 a3 a1q2 4.6. 已知曲线 y aex xln x 在点 (1，ae)处的切线方程为 y 2xA. a e, b 1B. a e, b 1C. a e 1, b 1D. a e 1, b 1答案：D解析：令 f (x) aex xln x，则 f (x) aex ln x 1， f (1) ae 115，b ，则（ ）2 ，得 a 1 e 1. ef(1) ae 2 b，可得 b1.故

4、选 D.7. 函数 y2x32x2x在 6,6 的图像大致为A.B.C.D.答案：B解析：2x3 y f (x) 2x2x2 x ，f ( x)2(x)32 x3f ( x) ， f ( x) 为奇函数，2x2xf ( x)2x2 x2排除选项 C.又 f (4)2424432 438，根据图像进行判断，可知选项 B 符合题意24248. 如图，点 为正方形 的中心， 为正三角形，平面 平面 ， 是线段 的 中点，则（ ）A.，且直线 ， 是相交直线B. ，且直线 ， 是相交直线C. ，且直线 ， 是异面直线D. ，且直线 ， 是异面直线答案：解析：因为直线 ， 都是平面 内的直线， 且不平行

5、， 即直线 ， 是相交直线， 设正方形的边长为得，则由题意可得： ，根据余弦定理可：，所以 ，故选 B.9. 执行右边的程序框图，如果输出 为 ，则输出 的值等于（ ）C.答案：C解析：第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环： ；第四次循环： ；第七次循环： ，此时循环结束，可得 . 故选 C.x2 y210. 双曲线 C： 1F ，点 P为 C的一条渐近线的点，4 2 的右焦点为若 |PO| |PF | 则 PFO 的面积为（ ）O 为坐标原点3 2 3 2A: 4 B: 2 C:2 2 D: 3 2答案:A 解析：由双曲线的方程2 x2 y0y2xPFO中| PO |PF |42可得一

6、条渐近线方程为2；在过 点 P 做PH垂直 OF因 为 tan POF=2PO32得到2;所以1S PFO36322 2 4 ; 故选 A;11. f (x) 是定义域为 R的偶函数，且在 (0, )单调递减，则( ) 若132A. f (log3 ) f(2 2) f(2 3)4123B. f (log31) f(2 3) f(2 2)43 2 1C. f (2 2) f (2 3) f (log3 )42 3 1D. f(2 3) f(2 2) f (log 3 )4答案：C解析:依据题意函数为偶函数且函数在(0,)单调递减，则函数在( ,0) 上单调递增；因为1f (log 3 14)

7、f( log34)f (log3 4)0 2 2；又因为22 3 1 log3 4 ； ；所以5f(2 2) f(2 3) f (log 3 41)4 ；故选 C.12. 设函数 f (x) sin x0 ，已知 f (x) 在 0，2 有且仅有 5 个零点，下述四个结论：1 f (x) 在0,2有且仅有 3 个极大值点2 f (x) 在0,2有且仅有 2 个极小值点3 f (x) 在 0,单调递增104 的取值范围是 12,295 ,10其中所有正确结论的编号是A. 1 4B.2 3答案：D解析：根据题意，画出草图，由图可知 2x1,x2 ，24x15x1由题意可得，5，解得 5 ，629x

8、2x2525所以 24229解得1229 ，故4 对；55510令x得x30 ，图像中 y轴右侧第一个最值点为最大值点，故1 对；5210 2 x1,x2 ，f (x) 在0,2有 2 个或 3 个极小值点，故 2 错； 1229，114949，故 3 对 .51025105 100 2. 填空题13.已知ar ， br 为单位向量，且答案：23解析：0 ，若 rcr2a，则 cos a,cr2 cr 2 r2 r r4a 5b 4 5a b 9 ， c3，a 2a2aac221 3 314.记Sn为等差数列 an 的前n项和，若 a1 0，a2 3a1，则 SS150答案：4解析：设该等差数

9、列的公差为d ， a2 3a1 ， a1 d 3a1，故 d2a1 a1 0,d 0 ，(3, 15)10 a1 a10 S102 2 2a1 9d 2 10d4.S55 a1 a52a1 4d 5d215.设 F122、F2 为椭圆 C：xy1的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限， 若 MF1F236 20为等腰三角形，则 M 的坐标为 答案：解析：1）求乙离子残留百分比直方图中a,b 的值；已知椭圆 C：xy 1可知， a 6，c 4，由 M 为 C上一点且在第一象限，故等腰三36 20角形MF1F2中MF1 F1 F28，MF22a MF1 4 , sinF1F2M82 2215

10、, yMMF2sinF1F2M 15 ，8422代入C：xy 1可得 xM 3.故M 的坐标为 (3, 15).36 20 M16. 学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型。如图，该模型为长方体 ABCD A1B1C1D1 挖去四棱锥 O EFGH 后所得的几何体，其中 O为长方体的中心， E,F,G,H 分别为所在棱的中点， AB BC 6 cm ， AA1 4 cm, 3 D打印机所用原料密 度为 0.9g / cm3，不考虑打印损耗，则作该模型所需原料的质量为g.答案：118.8解答：1 2 1 3S四边形 EFGH 4 6 4 2 3 12cm ，V 6 6 4 12 3 1

11、32cm .EFGH 2 3m V 0.9 132 118.8 g .三解答题17.为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将 200 只小鼠随机分成A, B两组，每组 100 只，其中 A组小鼠给服甲离子溶液， B组小鼠给服乙离子溶液，每只 小鼠给服的溶液体积相同， 摩尔溶度相同。 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小 鼠体内离子的百分比，根据实验数据分别得到如下直方图：记 C为事件“乙离子残留在体内的百分比不低于” ，根据直方图得到 P(C) 的估计值为 .（2）分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表） .答案：见解析18.AB

12、C的内角 A，B，C 的对边分别为a,b,c .已知ACa sin2b sin A解答:（1）依题意得a 0.2 0 .15 0.7 a 0.35，解得 .0.05 b 0.15 0.15 0.2 a 1 b 0.1（2） 0.15 20.2 3 0.3 4 0.2 5 0.1 6 0.05 7 4.050.05 30.1 4 0.15 5 0.3 6 0.2 7 0.15 8 5.7得到甲离子残留百分比的平均值为 , ，乙离子残留百分比的平均值为（1 求 B;（2）ABC 为锐角三角形，且 c 1，求 ABC 面积的取值范围若答案：（1） 3（2）见解析解析：sin Asin sin Bsi

13、n A sin Asin sin B sin A因为2 ； 结合 正 弦 定理 2 , 得B cos2BBB1Bsin B 2sin cos sin, B22 , 即22 ；得到26 3 ；2AC2）因为0 A , 0 C ,022C 2 ,所以 6 C 2 ,又因为abcsin Asin Bsin C1Sac sin B21c2 sin Csin A 1 33 sin A4 sin C ; 又 因 为ssiinn CA (21 ,2)A Csin C 2 (因为A,C 为锐角，若 A越大 sin A越大，则 C越小 sinC 越小；sin Assiinn CA越大）；所以sin Asin C

14、1(12,2) ，所以S( 83, 23)19.图 1是由矩形， 和菱形 组成的一个平面图形， 其中 ， ，. 将其沿 折起使得 与 重合，连结 ，如图 2.（1）证明：图 2 中的 四点共面，且平面 平面 ；（2）求图 2 中的二面角的大小 .答案：见解析 解析：证明：（ 1）由题意知， ，又 ， 平面 ，又平面 ， 平面平面 .（2） 分别取 ， 的中点为 ， ，连结 ， ，则，四边形 为棱形，且 60 ，又 平面 ，即 平面 ，以点 为坐标原点， 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，设平面 的一个法向量为 ,，令 ，则,得到 ，平面 的一个法向量为 ，, 故二面角 的大小为 .2

15、0.已知函数 f (x) 2x3 ax2 b.(1)讨论 f ( x) 的单调性； (2)是否存在 a,b，使得 f(x)在区间 0,1的最小值为 1且最大值为 1若存在，求出 a,b的 所有值；若不存在，说明理由 .答案：见解析解析：(1) f '(x) 6x2 2ax 6x( x a)3) 单调递增 .当 a 0时， f '(x) 6x2 0，此时 f (x) 在(此时此时a 0 时，a 0 时，令 f '( x)0 ，解得 xa或 x 0 ，令 f '(x)3,0),( a ,3)单调递增，a在 (0, ) 单调递减 .3令 f '( x)0 ，解

16、得 xa0 或 x，令 f '(x )3, a),(0,)单调递增，a在 ( ,0) 单调递减 .f (x) 在 (f (x) 在 (0，0，解得解得0.综上可得，当 a 0时， f (x)在() 单调递增 .5当a0时，f(x)在( ,0),( a, )单调递增，在 (0, a )单调递减 .33当a0时，aaf(x)在( , ),(0, )单调递增，在 ( ,0) 单调递减 .33a 0 时， f ( x) 在 0,1 单调递增，此时f ( x)minf (0) b1, f ( x)max f (1) 2 a b 1，a 0,b1，满足题意当a0时，若a 1 ，即 a33，则 f

17、(x)在0,1单调递减，此时f ( x)minf (1) 2 ab 1, f (x)max f (0) b 1 ，a 4, b1 ，满足题意 .a若1 ，即 0a 3 ，则aaf (x) 在0, 单调递减，在 ,1单调递增 .中结论可知，当由( 1)2)此时f ( x)minaa3f(a3) 2 2a73 ab 27 f (0) b, f (1) b 2 a当0 a 2时， f (x)maxf (1) ba1，可得 a3 3, b 3 31 ，与 02 矛盾，故不成立 .当2a 3 时，f (x)max f (0) b可得 a332,b 1，与 2 a3 矛盾，故不成立 .综上可知， a0,b

18、1或 a 4,b1 满足题意 .21. 已知曲线2C:y x2 ， D为直线y 1 上的动点 . 过 D 作 C 的两条切线 , 切点分别是2A,B,1)证明：直线 AB 过定点 ;(2)若以 E(0, 5)为圆心的圆与直线 AB相切,且切点为线段 AB的中点 ,求四边形 ADBE 2的面积 .答案：见解析；解答：11(1)当点 D 在(0, )时，设过 D 的直线方程为 y k0x，与曲线 C联立化简得2222x2 2k0x 1 0 ，由于直线与曲线相切，则有4k02 4 0，解得 k0 1，1 1 1并求得 A,B坐标分别为 ( 1,21),(1, 12) ，所以直线 AB的方程为 y 1

19、2；当点 D 横坐标不为 0 时，设直线 AB的方程为 y kx m( k 0)，由已知可得直线y kx mAB 不过坐标原点即 m0 ，联立直线 AB 方程与曲线 C的方程可得，消 y 并化简得 x2 2kx 2 m0 ，有两个交点24k2 8m 0 ，设 A(x1,y1)， B( x2 , y2 ) ，根据韦达定理有，x1 x2 2k ， x1x2 2m ，x2 由已知可得曲线 C 为抛物线等价于函数 f ( x) x 的图像，2则有 f (x) x ，则抛物线在 A(x1, y1)上的切线方程为 y y1 x1(x x1) ，同理，抛物线在 B(x2, y2 )上的切线方程为 y y2

20、x2(x x2)，联立，并消去 x 可得 y y1 y y2x1x2x2 x1 ，由已知可得两条切线的交点在直线 y11 上，则有21 x1221 x22222x2 x1 ，x1x2化简得，( x1 x2 1)(x2x1)x2 x1 ，k0 ， x1x2，2x1 x2即 x1 x211，即为2m 1 1，解得m1，经检验1m 满足条件，2x1x24m22所以直线AB 的方程为y kx 1 过定点 (0,1)，221 综上所述，直线 AB 过定点 (0, 1 ) 得证 .1(2)由( 1)得直线 AB 的方程为 y kx 1 ，211 当 k 0 时，即直线 AB 方程为 y ，此时点 D 的坐

21、标为 (0, ) ，2251以 E(0, ) 为圆心的圆与直线 AB相切于 F(0, ) 恰为 AB中点， 2211此时 SADBEAB ED 2 3 3 ；22当 k 0时，直线 AB 方程与曲线方程联立化简得 x2 2kx 1 0 ，2x1 x2 2k ， x1x21， y1 y2 2k 1 ，21则 AB 中点坐标为 H(k,k2) ，k2由已知可得 EHAB ，即 k kEHk01，解得， k1，由对称性不妨取 k 1，则直线方程为 y x 1 ，21求得 D 的坐标为 (1, )， AB 4 ，2E 到直线 AB 距离 d1则 SADBE051222， D到直线 AB距离 d21 ( 1) 1222，11AB d1AB d2 4 2 ，22综上所述，四边形 ADBE 的面积为 3或 4 2 .四选做题( 2 选 1)22.如图，在极坐标系 Ox中，A(2,0), B( 2, ),C( 2,3 ), D(2, ),弧AB, BC, CD 所在圆的圆心分别是 (1,0) ，(1, )，(1, )，曲线 M1是弧 AB,曲线 M2是弧 BC，曲线 M3 是弧 CD .1)分别写出 M1, M2, M3 的极坐标方程；2)曲线 M由M