导数知识点各种题型归纳方法总结

1、一.导数的定义：f(xx) f(x).x2.利用定义求导数的步骤：求函数的增量：y f(x0x) f(x0);求平均变化率：yx取极限得导数：f(x0) lim x 0 x(下面内容必记)二、导数的运算：mm m 不(x ) -x n(1)基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：C 0(C为常数)；(xn) nxn1;)(xn) nxn1;(姨) x (sin x) cosx ；(cosx)sinx (ex) ex (ax) axina(a (11一(lnx) -；(logax) (a 0,且a 1)xxln a法则1：f(x) g(x)f(x) g(x) ； (口诀：和与差的导数等于导数的

2、和与差).法则2: f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(x)( 口诀:前导后不导相乘,后导前不导相乘, 中间是正号)法则 3： 3f(x) g(x) f2(x) g(x)(g(x) 0)g(x)g(x)(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号(2)复合函数y f (g(x)的导数求法：换元，令u g(x),则y f(u)分别求导再相乘y g(x) f(u)回代u g(x)题型一、导数定义的理解题型二：导数运算1、已知 f x x2 2x sin ,贝U f 02、右 f x e sin x,贝U f x3. f (x)=ax3+3x2+2, f (

3、1) 4 ,贝U a=()三.导数的物理意义1 .求瞬时速度：物体在时刻t。时的瞬时速度V。就是物体运动规律S f t在t t。时的导数 f t , 即有V0 f t0 。=s/表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。四.导数的几何意义：函数f x在x0处导数的几何意义，曲线y f x在点P x0,f % 处切线的斜率是k f %。于是相应的切线方程是：y y f x x x。题型三.用导数求曲线的切线注意两种情况：(1)曲线y f x在点P %,f % 处切线：性质：k切线f % 。相应的切线方程是：y y f / x %(2)曲线y f x过点P Xo，yo处切线：先设切点，切点为Q(a,

4、b),则斜率k= f(a),切点 Q(a, b)在曲线y f x上，切点Q(a,b)在切线y y f a x % 上，切点Q(a,b)坐标代 入方程彳导关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率卜二9),确定切线方程。 例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：(1) k y|x % 3x02 6x0 6 3(x0 1)2 3 当 x0=-1 时，k 有最小值 3,此时P的坐标为(-1,-14)故所求切线的方程为3x-y-11=0五.函数的单调性：设函数y f(x)在某个区间内可导，(1) f(x) 0f(x)该区间内为增函数；(2) f(x) 0f(

5、x)该区间内为减函数；注意：当f(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍是递增(或递减)的。(3) f(x)在该区间内单调递增f(x) 0在该区间内包成立；(4) f(x)在该区间内单调递减f(x) 0在该区间内包成立；题型一、利用导数证明(或判断)函数 f(x)在某一区间上单调性：步骤：(1)求导数y f (x)(2)判断导函数y f (x)在区间上的符号(3)下结论f(x) 0f(x)该区间内为增函数；f(x) 0f(x)该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数y f(x)单调区间的步骤为：(1)分析y f(x)的定义域；(2)求导数y f

6、 (x)(3)解不等式f (x) 0,解集在定义域内的部分为增区问(4)解不等式f (x) 0,解集在定义域内的部分为减区问题型三、利用单调性求参数的取值(转化为恒成立问题)思路一.(1) f(x)在该区间内单调递增f(x) 0在该区间内包成立；(2) f(x)在该区间内单调递减f(x) 0在该区间内包成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区问，则已知中限定的单调增或减区间是定义 域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数f (x)在(a, c)上为减函数，在(c, b)上为增函数则x=c两侧使函数f (x) 变号，即x=c为函数的一个极值点，所以f (c) 0例题.若函数 f (x)

7、叱，若 a f(3),bf(4),c f(5)则()xbbaa0 成立,即 f(x)在 R上递增.若 a0,ex-a0, exa,x lna.f(x)的单调递增区间为(lna,+ ).(2) vf (x)在R内单调递增，f(x)。在R上包成立.- c - a 0,即 a& e 在 R上包成立.a& ( e ) min,又 0,a0 0.(3)由题意知，x=0为 f(x)的极小值点. f (0)=0,即 e-a=0,.a=1.例2.已知函数f(x)=x 3+ax2+bx+c,曲线y=f(x )在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0 ,若x=2时，3y=f(x )有极值.(1)求a,b,c的值；

8、(2)求y=f(x )在-3, 1上的最大值和最小值.解(1)由 f(x)=x 3+ax2+bx+c,得 f (x) =3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3,可得2a+b=0D当x=a时 y=f(x)有极值，则f - =0,可得4a+3b+4=0 33由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为 x=1,.f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.(2)由(1)可得 f(x)=x 3+2x2-4x+5, . f (x) =3x2+4x-4,令 f (x)=0，得 x=-2,x=-.3当x变化时，y,y 的取值及变化如下表：x -3 (-3,-2)-2+o -o +单调递增单调递增单调

9、递减813/.y=f (x)在-3 , 1上的最大值为13,最小值为卷.例3.当x 0,证明不等式上 in(1 x) x.1 x证明:x2 5(1x)2一xf (x) ln( x 1) , g (x) ln(x 1) x,则 f (x)1 x当 x 0 时。 f(x)在 0, 内是增函数， f(x) f(0),即 In(1 x) 0,1 xx又 g(x) ,当 x 0时，g (x) 0 , g(x)在 0, 内是减函数， g(x) g(0),即1 xxln( 1 x) x 0,因此，当x 0时，不等式 ln(1 x) x成乂.1 xx点评：由题思构造出两个函数 f(x) ln( x 1) ,

10、g(x) ln(x 1) x.1 x利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.七定积分求值bn b a1 .定积分的概念 设函数f (x)在区间a,b上连续，则 f(x)dx lim f i 2an i 1n2 .用定义求定积分的一般方法是：分割：n等分区间a,b ;近似代替：取点ixr，xin b abn b求和： f( J;取极限：f(x)dx lim f i i 1 nan i 1n3 .曲边图形面积：f x 0, S f x dx ; f x 0, S f x dx aa在x轴上方的面积取正，下方的面积取负t2b变速运动路程 Svdt；变力做功 W F(r)drt1a

11、4 .定积分的性质k是不为0的常数)bf2(x)dx a(其中a c b)(定积分对积分区间的可加性)bb性质 1 kf (x)dx k f (x)dx (其中 aabb性质 2 f(x) f2(x)dxf(x)dxaabcb性质 3 f (x)dx f (x)dx f (x)dx5 .定理函数F(x)是a,b上f(x)的一个原函数,即f(x) F(x)则f(x)dx F(x F(b) F(a)导数各种题型方法总结(一)关于二次函数的不等式包成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区问)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值

12、所在(二)分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式包成立问题”以及“充分 应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。(三)同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:第一步：令f(x) 0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式包成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(0,=0,0)第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-(已知谁的范围就把谁作为主元)；例1:设函数y f(

13、x)在区间D上的导数为f (x), f (x)在区间D上的导数为g(x),若在区,已知实数m是常数,问D上，g(x) 0恒成立，则称函数y f(x)在区间D上为“凸函数”f(x)12(1)若 ymx3 3x262f (x)在区间0,3上为“凸函数”，求 m的取值范围;(2)若对满足m 2的任何一个实数m ,函数f(x)在区间a,b上都为“凸函数”，求b a的最大值.解:由函数f (x)(1) Qy4 x12323mx3xx得f (x)一6232mx -3x2f(x)在区间0,3上为“凸函数”，则 g(x) x2 mx 3 0在区间0,3上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 gmax

14、(x) 0解法二：分离变量法：二,当 x 0时，g(x) x2 mx 33 0包成立，当0 x 3时,g(x) x2 mx 3 0包成立x2 33等价于m -3 x9的最大值(0 x 3)包成立, xx一3而 h(x) x - ( 0 x 3)是增函数，则 hmax(x) h(3) x(2),alm 2时f(x)在区间a,b上都为“凸函数”则等价于当|m 2时g(x) x2 mx 3 0恒成立变更主元法再等价于F(m)题)-一一 2 一F( 2) *02x x 3 0F(2)例2:设函数f (I )求函J2 fx)x)2x x2 31 302一 x 2ax03a2x2勺点 调区间和极值;1 x

15、 1b(0 a(H)若对任意用x a 1,a 2,不等式f (x)1,b R)a恒成立，求a的取值范围.(二次函数区间最值的例子)解：(I ) f (x)x2 4ax 3a2x 3a x a3a令f (x) 0,得f (x)的单调递增区间为(a,3a)a 3amx x2 3 0 在 m 2包成立(视为关于m的一次函数最值问令f (x) Q得f (x)的单调递减区间为(一 ，a)和(3a, + )当x=a时，f (x)极小值=3a34(II)由| f (x)|wa,得：对任意的b；当 x=3a 时,f (x)极大值=b.则等价于g(x)这个二次函数x 2aQ 0 a 1, a 1 即定义域在对称

16、轴的右边，gmax (x)gmin (x)a a 2a1,a 2,ag(x) a(放缩法)x2 4ax 3a2 a恒成立4ax 3a2的对称轴g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。g(x) g(x) g(x)x2 4ax 3a2在a 1,a 2上是增函数.maxmin于是, 价于g(a 2)g(a 1)对任意x2a 1.4a 4.a 1,a 2,不等式包成立，等1.点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区问)与定义域的关系 第三种：构造函数求最值题型特征：f(x) g(x)包成立 h(x) f(x) g(x) 0何成立；从而转化为第一、二种题型 例3;已知函数f(x)

17、 x3 ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为 3,(I )求a,b的值；(H)当x 1,4时，求f(x)的值域；(m)当x 1,4时，不等式f(x) g(x)包成立，求实数t的取值范围。解：(I ) f/(x) 3x2 2axf (1)3,解得 a 3b 1 ab 2(H)由(I)知，f(x)在1,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,4上单调递减 又 f( 1)4, f (0) 0, f (2)4, f (4) 16 f(x)的值域是4,16t 9(田)令 h(x) f(x) g(x)-x2 (t 1)x 3 x 1,4思路1:要使f (x) g(x)包成立，只需h(x) 0,即t(

18、x2 2x) 2x 6分离变量思路2:二次函数区间最值二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1:转化为f(x) 0或f(x) 0在给定区间上包成立，回归基础题型解法2:利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b) ”，要弄清 楚两句话的区别：前者是后者的子集13a 1 2例 4:已知 a R,函数 f(x) x x (4a 1)x .122(I)如果函数g(x) f (x)是偶函数，求f (x)的极大值和极小值;(H)如果函数 ”*)是(，)上的单调函数，求a

19、的取值范围.1 2斛：f (x) x (a 1)x (4a 1).41 1 o(1) f (x)是偶函数，：a 1.此时 f(x) x3 3x, f (x)x2 3,可知:(口)124令 f (x) 0,解得：x2J3.列表如下：（00 2 y3 ）-2 3（-230)(1)求(刈(m 3)2 4(m* 则 f (1) 1 (m 3)m 3 )1.2例9、已知函数f (x)1 ,的单调区间；(2)令g(x) = x4 + f (x) (xCR)有且仅有3个极值点，求a的取值范围.4解：(1) f (x) ax2 x x(ax 1)11当a 0时，令f (x) 0解得x -或x 0 ,令f (x

20、) 0解得一 x 0 , aa所以f(x)的递增区间为(，)(0,),递减区间为(-,0).aa1.1当a 0时，同理可得f(x)的递增区间为(0,),递减区间为(，0)(,). aa(2) g(x) 1x4 ax3 1x2有且仅有3个极值点 432g (x) x3 ax2 x x(x2 ax 1)=0 有 3 个根，则 x 0 或 x2 ax 1 0 , a 2方程x2 ax 1 0有两个非零实根，所以a2 4 0,a 2或 a 2而当a2或a 2时可证函数y g(x)有且仅有3个极值点其它例题：(一)最值问题与主元变更法的例子.已知定义在R上的函数f(x) ax3 2ax2 b (a 0)

21、在区间2,1上的最大值是5,最小值是-11.(I )求函数f (x)的解析式；(H)若t 1,1时，f (x) tx 0恒成立，求实数x的取值范围.32-2解：(I ) Q f (x) ax 2ax b, f (x) 3ax 4ax ax(3x 4)人,4令 f(x)=0,得 Xi 0,x2 2,13因为a 0,所以可得下表：0+0-/极大因此 f(0)必为最大值，f 0) 5 因止匕 b 5,Qf(2) 163 5f(1) a 5, f(1) f( 2), 即 f( 2)16a 511, . a 1 ,. f(x)x3 2x2 5.(H) f (x)3x 312f (x) - x x 3x

22、1 .7分 2(H)解法一：由f (x) 2x2 2ax b及f(x)在x (0, 1)取得极大值且在x (1, 2)取得极小 值，f (0) 0 b 0f (1)0 即2ab20 令M (x,f (2)04ab80 4x , . . f (x) tx0 等价于 3x24x tx 0,令g(t) xt 3x2 4x,则问题就是g(t) 0在t 1,1上恒成立时，求实数x的取值范 围，g( 1) 0 目口 3x25x 0为此只需，即 2，g (1) 0 x2x 0解得0 x 1,所以所求实数x的取值范围是0 , 1.(二)根分布与线性规划例子2 C C例：已知函数f (x) -x ax bx c

23、 3(I)若函数f(x)在x 1时有极值且在函数图象上的点(0, 1)处的切线与直线3x y 0 平行，求f (x)的解析式；(H)当f(x)在x (0, 1)取得极大值且在x (1, 2)取得极小值时，设点M (b 2, a 1)所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.解：(I)的f(x) 2x2 2ax b,函数f(x)在x 1时有极值， 2a b 2 0 v f(0) 1 . . c 1又 f(x)在(0, 1)处的切线与直线3x y 0平行,一一 1 . f (0) b 3 故 a y),则 x y2易得A(1-;2y24y0故点M0所在平面区

24、域S为如图 ABC,2, 0),B(2,1),C(2,32),D(0,1),E(0,2),SABC 2同时DE为4ABC的中位线，S dec1 S四边形ABED所求一条直线L的方程为：x 0y另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分，设直线L方程为1 .5 .解得：k ”kV舍去)故这时直线万程为：y综上，所求直线方程为：x.12分(H)解法二：由 f (x) 2x22ax b及f(x)在x (0, 1)取得极大值且在x (1, 2)取得极小值,易得A(0)Q)b2a4a2 0 令 M(x, y),则8 0x2y4y0故点M所在平面区域S为如图 ABC,02, 0),B

25、(2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,3)，Sabc 2另一种情况由于直线BO方程为：y11 y x由,22y x 2得直线L0与AC交点为：H(1,2) S ABC 2 , S DEC222 , S ABH S ABO1S AOH 二2所求直线方程为：x 0或y lx2(三)根的个数问题例已知函数f(x) axf(x)的单调递增区间为(，1), (1,),单调递减区间为(1,1) 5分 bx26解：(1) f(x) x2 2ax 1a 0 2分令 f (x) 0 得 x 1,或x 1令 f (x) 0 得 1 x 1 (c 3a 2b)x d (a 0)的图象如图所示。(I )求c、d的值；(n)若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3x y 11 0,求函数f(x)的解析式；a的取值(田)若x0 5,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数范围。解：由题知：f (x) 3ax2 2bx+c-3a-2b(I )由图可知 函数f(x)的图像过点(0,3),且f 1