2019年高考全国2卷文科数学及答案

1、绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0 5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔 迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上 答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共

2、12小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=x|x1，B x| x 2 ，则 AB A （1， ）B （，2）C（1，2）D2设 z i（2 i ），则 z A 1 2iB 12iC12iD12i3已知向量 a（2，3）， b（3，2），则 |ab|A 2B2C52D504生物实验室有 5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为23C2D1A B35555在 “一带一路 ”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高 乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我

3、的成绩比乙高 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A 甲、乙、丙B 乙、甲、丙C丙、乙、甲D甲、丙、乙6设 f （x）为奇函数，且当 x0时， f （x） ex 1，则当 x0）两个相邻的极值点，则4431A2BC 1D229若抛物线2y22px（p0）的焦点是椭圆x2y21的一个焦点，则 p3p pA2B3C4D810曲线 y 2sinx cosx在点 （ ，1）处的切线方程为C 2x y210Dx y 1 011已知 a（0， ）， 2sin2 cos2 1，则 sin21 AB 5C3D2555352212设 F 为双曲线 C： x2 y2

4、1（a0，b0）的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2 交于 abP、Q两点若|PQ|OF|，则 C的离心率为A 2B 3C 2D 5二、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分。2x 3y 6 0，13若变量 x，y 满足约束条件 x y 3 0， 则 z3xy 的最大值是 y 2 0，14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为15 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b

5、，c已知 bsinAacosB0，则 B16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时 期的官员独孤信的印信形状是 “半正多面体 ”（图 1）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面 体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体 的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有 个面，其棱长为 （本题第一空 2三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤。 必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考答。第 17 21 题为 生根据要求作（一）

6、必考题：共 60 分。17（ 12 分） 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 EEC1在棱 AA1上， BE分，第二空 3 分）1）证明： BE平面 EB1C1；2）若 AEA1E， AB 3，求四棱锥 E BB1C1C 的体积18（ 12 分）已知an 是各项均为正数的等比数列， a1 2,a3 2a2 16（1）求an 的通项公式；（2）设 bn log2 an ，求数列 bn 的前 n项和19（ 12 分） 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前 一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表y

7、 的分组 0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企业数22453147（ 1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（ 2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到 0 01）附： 74 8.602 20（ 12 分）22xy已知 F1,F2 是椭圆 C: 2 2 1（a b 0） 的两个焦点， P 为 C 上一点， O 为坐标原点ab1）若 POF 2为等边三角形，求 C 的离心率； 2）如果存在点 P，使得 PF1 PF2，且 F1PF2的面积等于 1

8、6，求 b的值和 a 的取值范围21（12 分）已知函数 f （x） （x 1）ln x x 1 证明：（ 1） f （x） 存在唯一的极值点；2） f （x）=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程 (10 分)在极坐标系中， O为极点，点 M( 0, 0)( 0 0)在曲线 C:4sin 上，直线 l过点 A(4,0)且与 OM垂直，垂足为 P(1)当 0= 时，求 0及 l的极坐标方程；30(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点

9、轨迹的极坐标方程23选修 4 5：不等式选讲 ( 10 分) 已知 f ( x) | x a | x | x 2 | ( x a).(1)当 a 1时，求不等式 f ( x) 0的解集；2)若 x ( ,1) 时， f (x) 0，求 a 的取值范围2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制订相应的评分细则。二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响 的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；

10、如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 、选择题1C2D3A4 B5 A6D7B8A9D10C11 B12A、填空题1391409815316 26， 2 14三、解答题：17解：（ 1）由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE 平面 ABB1A1，故 B1C1 BE 又 BE EC1 ，所以 BE平面 EB1C1 （ 2）由（ 1）知 BEB1 90由题设知 RtABE RtA1B1E，所以 AEBA1EB1 45 ，故 AEAB 3， AA1 2AE 6作EF BB1，垂足为

11、 F，则 EF平面 BB1C1C，且 EF AB 31所以，四棱锥 E BB1C1C 的体积 V 3 6 3 18318解：（1）设 an 的公比为 q，由题设得 2q2 4q 16，即 q2 2q 8 0 解得 q 2 （舍去）或 q4因此 an 的通项公式为 an 2 4n 1 22n 1 （2）由（ 1）得 bn （2n 1） log 2 2 2n 1 ，因此数列 bn 的前 n项和为 1 3 2n 1 n19解：（ 1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14 720.21 产值负增长的企业频率为0.02 100100用样本频率分布估计总

12、体分布得这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例为 21%，产值负增长的企业比例 为2%1（2） y（ 0.10 2 0.10 24 0.30 53 0.50 14 0.70 7） 0.30 ，1002 1 2 1 2 2 2 2 2s2ni yi y ( 0.40) 2 2 ( 0.20)2 24 02 53 0.202 14 0.402 7100 i 1 100=0.0296，s 0.0296 0.02 74 0.17 ，30%，17%所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为c， PF13c ，20解：(1)连结 PF1，由 POF 2为等边三角形可知在 F1PF2中，

13、F1PF2 90 ， PF2是 2a PF1 PF2 ( 3 1)c，故 C 的离心率是2)由题意可知，满足条件的点 P(x, y) 存在当且仅当1y12|y|2c 16，xyc x cy12x2a2by2 1，即c|y| 16 ，x2 y2 c2 ，22ax22 by221，由及2 2 2 2 b 2a2 b2 c 2 得 y 22 ，又由知 y 2c1622c，故 b 4 由得2x2 a2 c2 b2 ，所以 c2 b2 ，从而 a2 b2 c2 2b2 c32, 故 a 4 2 当 b 4，a 4 2 时，存在满足条件的点 P所以 b 4，a 的取值范围为 4 2, )21解：( 1)f

14、 ( x) 的定义域为( 0， )x f ( x)11 ln x 1 ln xxx 1 因为 y ln x单调递增， y 单调递减，所以 f (x) 单调递增，又 f (1) 1 0， x1 ln 4 1f (2) ln 2 0 ，故存在唯一 x0 (1,2) ，使得 f x0 0 22又当 x x0时， f (x) 0， f ( x)单调递减；当 x x0时， f (x) 0， f ( x)单调递增因此， f ( x)存在唯一的极值点2)由(1)知 f x0 f (1) 2 ，又 f e2 e2 3 0，所以 f(x) 0在 x0,内存在唯一根x 由1 x0 1得1 x0 又 f 1 1 1 ln1 1 1 f( ) 0，故 1 是 f(x) 0在 0,x0 的唯一根综上， f(x) 0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数22解：因为 M 0, 0 在C上，当 0 时， 0 4sin由已知得 |OP| |OA|cos23设Q( , ) 为l上除P的任意一点在 RtOPQ中 cos |OP| 2，3经检验，点 P(2, ) 在曲线 cos 2上33所以， l的极坐标方程为cos2 3(2)设 P( , )，在 RtOAP中， |OP| |OA|cos4cos , 即 4cos 因为P在线段OM上，且 AP OM