-平面向量-复习讲义

1、第回章平面向量第1节 平面向量的概念及线性运算考纲了然于胸.1 . 了解向量的实际背景.2 .理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3 .理解向量的几何表示.4 .掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5 .掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6 . 了解向量线性运算的性质及其几何意义.要点梳理1.向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量;向量的大小叫做向量的长度（或歧）如 a, AB零向量长度等于零的向量;其方向不确定记彳0单位向量给定一个非零向量 a,与a向向且模为1的向量,叫做向量 a 的单位向量，可记作 ao.a =_aa l |a 1共线（平行

2、）向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量a与b平行记作a/ b相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量,或相等的向量如届=a相反向量与向重a反向且等长的向重，叫做 a的相反向重记作一a2.向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向里和的运算为、 a二角形法则3平行四边形块购(1)交换律：a+b=b+ a;(2)结合律:(a+ b) + c= a + ( b + c).减法求a与b的相反向量一b的和 的运算叫做a与b的差0三角形法则a b= a+ ( b)数乘求实数入与向量a的积的运算（1）1 同=1 恫；（2）当Q0时，后的方向与a的方向相同;当 K0

3、时，后的方向与a的方向相反;当人=0时，?a= 0乂间=（入）网（入+（j）a=后+；?（a+ b）= ?a+ 2b3.平行向量基本定理如果a=b）,则a/ b;反之，如果a/ b,且bw"0,则一定存在唯一一个实数人使a=血质疑探究：当a / b, b / c时，一定有a / c吗？提示：不一定.当bw0时，有a/ c.当b="0时，a, c可以是任意向量，不一定共线.小题查验1 .若O,巳F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）A.Ef = of + oEb.eF =OF- OEC.EF=OF + OEd.EF = - OF- OE2 .如图，ei, 色为互相垂直

4、的单位向量，则向量ab可表示为（）A. 3e2eiB. 2ei4e?C. ei-3e? D. 3e1一e23 .给出下列命题：向量AB与向量BA的长度相等，方向相反；AB+BA=o；两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；AB与CD是共线向量，则 A、B、C、D四点共线.其中不正确的命题的个数是 （ ）A.2B. 3 C. 4 D.54 .设a, b是两个不共线的向量，且向量 a+犯与2ab共线，则 甘.5 .在？ABCD 中，AB = a, AD=b, AN=3nC, M 为 BC 的中点，则 IMN =.（用 a, b表示）% G晅动探究、E典例透目呼投翼X考点一平面向量的基本概念（基础型

5、考点自主练透）方法链接（1）准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.（2）几个重要结论向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.题组集训1 .给出下列命题:若 |a|= |b|,则 a= b;若A, B, C, D是不共线的四点，则 AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若 a= b, b= c,贝a a= c;a= b的充要条件是|a|= |b|且a / b.其中正确命题的序号是()A.B.C.D.2.下列命题中正确的是()A . a与b共线，

6、b与c共线，则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行考点二向量的线性运算(重点型考点师生共研)【例1】(1)(2014新课标全国卷I )设口，E, F分别为 ABC的三边BC, CA, AB的中点，则 晶+FC=()一1 一八 N1 一A.ADB.ADC.BCD'BC(2)如图，已知AB是圆O的直径，点 C、D是半圆弧的两个三等分点，AB=a, AC= b,则AD = ().11.八 .11 .A . a2bB.2a b C. a+2bD2a+b【名师说“法”】向量线性运算

7、的解题策略：重点题型破解策略向量的分解与合成利用向量加法的平行四边形法则和三角形法则或向量减法的三角形法则，可 以进行向量的分解与合成，如 Ab+ bc= Ac+ AB=OB0A等.用已知向量表示未知向量结合图形的几何性质，利用向量加、减法的运算法则进行向量的分解与合成 运算，但要有目标意识，逐步向已知向量转化，最终达到目标.求参数的值结合图形，利用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，或向量减法的三角形法则进行向量的分解，再利用向量的相等确定参数的值提醒：(1)解答平面向量线性运算有关问题的总体原则是数形结合，即结合图形利用向量加、减法的法则进行向量 运算.71 7一(2)两个结论：P为线段

8、AB的中点？ O P = 11(0 A+O B),G为 ABC的重心？ G A + G B+G C=0.跟踪训练(1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么 EF等于()A. JaB-；aD B.；AB+；aDC.AB+IDA D.；aB-2AD23423223(2)(2016关际枢II拟)已知 ABC和点M满足族+证+充 =0,若存在实数 m使得AB+AC=mAM成立，则m=()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5考点三共线向量定理及应用(深化型考点一一全面发掘)一题多变【例2】 设两个非零向量 ei和e2不共线.如果AB=ei+e2, BC=2ei-3%

9、, AF = 3e1一ke2,且A, C, F三点共线， 求k的值.发散1在本例条件下，试确定实数k,使kei+e2与e1+ke2共线.发散2在本例条件下，如果AB=e1-e2,BC=3e1 + 2e2,CD = -8e1一2e2,求证：A,C,D三点共线.类题通法(1)共线向量定理及其应用：可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值；若a, b不共线，则 后+曲=0的充要条件是 4 产0,这一结论是解决求参数问题的重要依据.(2)若AB= 病，则A、B、C三点共线.若PC= PC+ 国，则A、B、C三点共线的充要条件是奸尸1.法wft感悟提升技好懋汴忠律芒华易错警示6向量共

10、线与其方向关系不清致误典仞(2016郑州模拟)已知向量a, b不共线，且c= ；a+b,d=a+ (2入1)b,若c与d同向，则实数入的值为.易错分析 解答本题时，由于对两个向量共线、同向、反向的概念理解不清，混淆它们之间的关系，导致错解：认 为有两解.提酉1:两个向量共线，是指两个向量的方向相同或相反，也称它们为平行向量，因此共线包含两种情况：同向共线或反向共线.在求解相关问题时要注意区分三者.一般地，若 a=犯，那么a与b共线；当X>0时，a与b同向；当K 0时，a与b反向.即时突破 设D, E, F分别是 ABC的三边 BC、CA、AB上的点，且5c = 2BD, CE = 2Ea

11、, AF=2FB,则AD + BE+ C F 与B C()A.反向平行 B.同向平行C,互相垂直D,既不平行也不垂直课堂小结【方法与技巧】1 .向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素. 向量加法的三角形法则要素是 “首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是 “起点重合，指向被减向量”； 平行四边形法则要素是“起点重合” .2 .可以运用向量共线证明线段平行或三点共线.如aB/ CD且AB与CD不共线，则AB/CD;若AB/ BC,则A、B、C三点共线.【失误与防范】1 .解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重

12、要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向 量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2 .在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. 课时活页作业（二十四）基础训练组1 .在四边形 ABCD中，AB/CD, AB = 3DC, E为BC的中点，则AE等于（）AAB + JaDB.1AB+2ADC.5AB+1AD D.1AB+5AD322363362 .设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使篙=9成立的充分条件是（）a i ibiA . |a|= |b|且 a/b B. a=bC. a / b D. a=2b3 .已知向量 a, b不共线，c=ka+b（kCR）

13、, d=ab,如果c/ d,那么（）A . k= 1且c与d同向 B. k= 1且c与d反向 C. k=1且c与d同向D. k=1且c与d反向4 .已知向量a, b,且AB=a+2b, BC = - 5a + 6b, CD = 7a- 2b,则一定共线的三点是 （）A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D5 . （2016福州质检）在ABC中，AD = 2 DC, BA = a, BD = b, BC=c,则下列等式成立的是（）的 b-3b aA . c= 2b aB. c= 2a bC. c= 2 12D. c= 2 - 26 .在平行四边形 ABCD 中，AB

14、 = ei, AC=e2, INC = 4;AC, BM=2MC,则 MN =.（用 e1，e2 表示）7,已知D、E、F分别为 ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC=a, CA=b,给出下列命题： AD =2ab;BE = a+2b;cF = 2a+b; 届+晶+#=0.其中正确命题的序号为 .8 .在 ABC中，已知D是AB边上一点，若AD= 2DB , CD=1CA+；CB,则 仁.39 .在 ABC中，D, E分别为BC, AC边上的中点，G为BE上一点，且 GB = 2GE,设AB=a, AC=b,试用a, b 表示AD, AG./ G10 .设a, b是不共线的两个非零向量.（

15、1）若O）A=2ab, Ofe=3a+b, O）C=a-3b,求证：A、B、C 三点共线.（2）若8a+kb与ka+2b共线，求实数 k的值.（3）若AB = a+b, BC = 2a-3b, CD = 2a-kb,且 A、C、D 三点共线，求 k 的值.能力提升组11. （2016山师大附中模拟）已知平面内一点 P及4ABC,若1+危+无=京，则点P与ABC的位置关系是（）A .点P在线段 AB上 B .点P在线段BC上 C .点P在线段 AC上 D .点P在 ABC外部12. （2016 “江南十校”联考）如图,在 ABC中，/ A=60°, /A的平分线交 BC于D,若AB=4

16、,且AD=；AC+ “（迁 R）,则AD的长为（）A . 2y13B. 373C. 4V3D. 5m13. （2016大连双基测试）设O在 ABC的内部，且有OA+2C）B + 3（Oc=-0 ,则 ABC的面积和 AOC的面积之比为（ ）A. 3B.5C. 2D.33214 .如图所示，A在4ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点 M、N,若AB = mAM , AC=nAN, 则m + n的值为.15 .如图所示，在 ABC 中，D, F 分别是 BC, AC 的中点，AE=2AD , AB = a, AC=b.（1）用a, b表示向量AD, AE, A

17、f, Bl,酢；（2）求证：B, E, F三点共线.第2节平面向量基本定理及坐标表不考纲了然于胸.1 . 了解平面向量的基本定理及其意义.2 .掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3 .会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4 .理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 诱孽厨.F强回/业隼4 o ja 4dj"i扣_2皓_2测要点梳理1 .平面向量基本定理：如果ei和%是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数ai,a2,使a= aiei + a?e2.其中，不共线白向量 ei,e2叫做表不'这一"平面内所有向量的一组基底 记为e

18、i,©2.aiei + a2e2叫做向量a关于基底ei? e2的分解式.质疑探究：已知两个不共线的向量快，程为平面内所有向量的一组基底，可以表示出平面向量a, b,那么一定能用a, b作为平面内所有向量的一组基底吗？为什么？提示：不一定，用不共线向量ei, e2表示的向量a, b可能共线，也可能不共线，当 a与b共线时不能，如 a=a3+ 2e2, b= 2ei + 3e2.2 .平面向量的坐标运算(i)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a=(xi,%)，b=仅2,y2),贝M a+b=(xi+x2,yi+y?),a-b= (xx2,y1一p,a=(入妁缶),|a|= /x2+y

19、2.(2)向量坐标的求法一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.设 A(xi, y1)，B(x2, y2),则 AB = (x2 xy2 yi), |AB| = 4(x2 x1 j + 02 yi j.3 .平面向量共线的坐标表示设 a= (xi, yi), b= (x2, y2),其中 bw 0.a / b? xiy2 x2yi = 0.小题查验i.下面结论正确的个数为 ()(i)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(2)在 ABC中，向量aB, BC的夹角为/ ABC.xi yi(3)同一向量在不同基底下的表不是相同的.(4)若a=(xi, yi), b=(x2, 丫2),则a

20、/b的充要条件可表不成 = y；.(5)若a, b不共线，且 加a+ 岫=尬a+ 岫，贝U k=近 国=电()A. 0B. iC. 4D. 52. (20i5 新课标卷 I )已知点 A(0,i), B(3,2),向量 aC=(4, 3),则向量 BC=()A . (-7, - 4) B. (7,4) C. ( 1,4) D. (i,4)3. (20i6宁德质检)设向量a= (2,1), b=(-1, y),若a/ b,则y的值为()“ ccc"r1A. 2 B.2C.2 D.24. 在？ABCD中，AC为一条对角线，AB = (2,4), AC=(1,3),则向量BD的坐标为 .5

21、. e1,e2是不共线向量，且a=e1+3e2,b= 4e1+2e2,c= - 3e1+ 12e2,若b,c 为一组基底，则a =.口更例造折一层现出岛4 览动探究考点一平面向量基本定理的应用(基础型考点自主练透)方法链接(i)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.题组集训1 .如果e1%是平面”内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A. ei 与 e1+e2B . ei 2

22、 % 与 e1 + 2 e2 C. a+e2与 ei% D. ei+3% 与 6 %+2e12 .(2015 局考北京卷)在 ABC 中，点 M,N 满足 A M = 2M C,B N=N C.若 M N = xA B+yA C,则 x=;y=.3 .已知点G为ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于 M、N两点，且aM = xAB, AN=yAC,则X+ 的值为.考点二向量坐标的基本运算(重点型考点一一师生共研)方法链接平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先 求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用

23、向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.题组集训131 .已知平面向量 a=(1,1), b=(1, 1),则向量2a2b=()A. (-2, - 1) B. ( 2,1)C. (-1,0) D. (1,2)2 . (2016昆明一中摸底)已知点M(5, 6)和向量a=(1, 2),若MN = -3a,则点N的坐标为()A . (2,0) B. (- 3,6)C. (6,2) D. (-2,0)3 .已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2), B(5,7), C(-3,4),则第四个顶点 D的坐标是 .考点三平面向量共线的坐标表示(深化型考点一一全面发掘)一题多变【例】平面

24、内给定三个向量 a= (3,2), b= (-1,2), c= (4,1).(1)求满足 a=mb+nc 的实数 m, n; (2)若(a+ kc) / (2b a),求实数 k.发散1在本例条件下，若 d满足(dc)/(a+b),且|dc|=V5,求d.发散2在本例条件下，若 ma+nb与a-2b共线，求m的值.发散3若本例条件变为：已知 A(3,2), B(-1,2), C(4,1),判断A, B, C三点能否共线.类题通法1 .向量共线的两种表示形式设a=(xny)，b= (X2,y2)：a/b?a=拈(bw0)；a/b?xy2x2y1=0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般

25、情况涉及坐标的应用 .2 .两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题； 另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未房般感悟提升知数的值.o技温总靖一世缰阡华易错警示7忽视平面向量基本定理的使用条件致误 典例 已知O)A=a, OB=b, OC=c, OD=d, CE = e,设 tC R,如果 3a=c,2b=d, e= t(a+b),那么 t为何值时，C, D, E三点在一条直线上？易错分析 本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时， 容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a, b

26、共线时，t可为任意实数这个解.防范措施 平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石，在解题中有至关重要的作用，在使用时一定要注意两个基向量不共线这个条件.课堂小结【方法与技巧】1 .平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量 的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.2 .平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件：若 a=(xi, yi), b= (x2, y2), 则a / b的充要条件是 a=曲,这与xiy2X2yi = 0在本质上 是没有差异的，只是形式上不同.(2)三点共线的判断方法：判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向

27、量，然后再按两向量共线进行判定.【失误与防范】1 .要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两 种情况.2,若a=(xi,y)，b=(X2,丫2),则a/b的充要条件不能表示成真=比，因为x2,y2有可能等于。，所以应表示为xy2一 x?yi = 0.课时活页作业(二十五)基础训练组i .如图，在平行四边形 ABCD中，E为DC边的中点，且AB=a, AD=b,则BE=().ii i ,1i.A . b 2aB. b+2aC. a+?bD. a?b2 .已知 a= (i,i), b= (i, i), c= (i,2),则 c等于()i 3i

28、 33 i3 iA . 2a + 2bB.2a 2bC. 1 2a 2bD. 2a+ ?b3 .在 ABC中，点P在BC上，且 加=2吃，点Q是AC的中点，若PA =(4,3), PQ=(i,5),则BC等于()A. (2,7) B. ( 6,21) C. (2, 7) D. (6, 21)4 . (2015江苏五市联考)已知向量a=(8, ；x), b= (x,1),其中x>0,若(a-2b) / (2a+b),则x的值为()A. 4 B. 8 C. 0 D. 25 .若平面向量 b与向量a=(1, 2)的夹角是180°,且|b|=3证，则b等于()A . (-3,6) B.

29、 (3, - 6) C. (6, - 3)D. (-6,3)6 . (2016 九江模拟)P = a|a=(-1,1) + m(1,2), mC R, Q=b|b= (1, -2)+n(2,3), nCR是两个向量集合， 则 PAQ 等于.7 . (2015高考新课标卷n )设向量a, b不平行，向量 冶+b与a+2b平行，则实数 Q.8 . AABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,若 p= (a+c, b), q=(b-a, c-a),且 p/ q,则角 C =.9 .已知a=(1,0), b= (2,1),求(1)|a+3 b|; (2)当k为何实数时，kab与

30、a+3 b平行，平行时它们是同向还是反向？10 . (2016莱芜一模)如图，已知 OCB中，点C是以A为中点的点B的对称点，D是将OB分为2 ： 1的一个内分点，DC和OA交于点E, 设OA=a, OB=K(1)用a和b表示向量OC、DC; (2)若OE= 君A,求实数 入的值.能力提升组一一 f-三 ，4 三 一一一一.11 .非零不共线向重 OA、OB,且20P = xOA + yOB ,右PA= 2AB (入C R),则点Q(x, y)的轨迹方程是()A . x+ y2 = 0 B. 2x+ y1=0C. x+2y-2=0 D. 2x+y-2=012 . (2016朝阳一模)在AABC

31、中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，AN= 岫+ MAC,则 计科的值为()“1C 1C 1A.2B.3CND. 113 .在AABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC=3(CD,点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若AO = xAB + (1 x)AC,则x的取值范围是()1_1-11 A. (0, 2)B. (0, 3) C.( 2，0) D. (-3, 0)14 . (2016成都市调研)设G为 ABC的重心，若 ABC所在平面内一点 P满足PA+2BP+2CP = 3 ,则空的值等|AG|15 .已知点 O 为坐标原点，A(0,2), B(4,6), OM =t1OA+t2AB

32、.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当力=1时，不论t2为何实数，A, B, M三点共线.第3节平面向量的数量积及应用考纲了然于胸.1 .理解平面向量数量积的含义及物理意义；2 . 了解平面向量的数量积与向量投影的关系;3 .掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4 .能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系.4三盘门二目m上扣d要点梳理O柒品同扣学情力测1 .向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量 a和b,作O)A=a, OB=b,如图所示，则/ AOB=。叫做向量a与b的夹角，也可记作a, b= a(2)范围：向量夹角 。的范围是0

33、,兀a与b同向时，夹角0= 0; a与b反向时，夹角 。=兀.垂直关系：如果非零向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直，记作a± b.2 .平面向量的数量积(1)数量积的定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0,则向量a与b的数量积是数量|a|b|cos 0,记作a b,即 a b= |a|b|cos 0.(2)向量的投影：设 。为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是|a|cos 0;向量b在a方向上的投影是|b|cos 0.(3)数量积的几何意义：数量积 a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos。的乘积.3 .平面向量数量积的性质及其坐标表示

34、已知非零向量a=(xi,yi),b=(x2,y2), 0为向量a、b的夹角.向里表小坐标表小数量积a b= |a|b|cos 0a b=x1X2 + y1 y2模同=5"a1a| = M x1 + y1夹角八a b cos 0|a|b|X1X2+ y1V2COS 0厂 22 22X1 + y1 4 X2+ y2a±b的充要条件a b= 0X1X2+ y1y2 = 0|a b|与|a|b|的关系|a b|< |a|b|(当且仅当 a ll b时等号成立)|X1 X2 + y y2| “2 + 丫2 寸x2+ y24.平面向量数量积的运算律已知向量 a、b、c和实数 入

35、则：(1)交换律：ab=ba;(2)结合律：(启)b=Xab)=a(?b);(3)分配律：(a+b)c=ac+ b c.质疑探究： 对于非零向量 a、b、c.(1)若ac=bc,则a=b吗？ (2)(a b)c= a(b c)恒成立吗？提示：(1)不一定有a=b,因为a c= b c? c (ab) = 0,即c与ab垂直，但不一定有 a= b.因此向量数量积不满 足消去律.(2)因为(a b)c与向量c共线，(b c)a与向量a共线.所以(ab)c与a(b c)不一定相等，即向量的数量积不满足结合律.5 .向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面

36、几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题.6 .平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解 决.(2)物理学中的功是一个标量，这是力 F与位移s的数量积.即 W= F s= |F |S|cos 9(。为F与s的夹角).小题查验1 .下面结论正确的个数有 ()(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.，一，I力一 ，一一一一兀(3)由a b=0可得a= 0或b= 0 .(4)(a b)c= a(b c). (5)两个向量

37、的夹角的范围是 0, 5.A. 1 B. 2 C. 3 D. 5、， ， 一， ，,， 一， ， 、2 . (2015局考山东卷)已知菱形 ABCD的边长为a, /ABC=60 ,则BD CD =()A 3 2 r 3 2-3 2-32A. 2aB. 4a C.4aD.2a3 .已知|a|=4, |b|=3, a与b的夹角为120°,则b在a方向上的投影为()3 一3A. 2B.2C. 2 D. -24 .设向量 a= (1,2m), b= (m+1,1), c= (2, m).若(a+c)，b,则 |a|=.5 .已知向量 a、b满足(a+2b) (ab)=6,且|a |= 1,

38、|b|=2,则a与b的夹角为 .动探究前怛透柘士缎松岛考点一平面向量的数量积的运算(基础型考点一一自主练透)方法链接向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a b=|a|bCO5 a, b .(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(x1, y)，b= (x2, y2),则a b= x1X2+y1y2.一 ，一 一.提醒(1)在向量数量积的运算中，若 a b= a c(aw 0),则不一定得到 b= c.(2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a b) c不一定等于a(b c).题组集训,._ ，兀 .兀.兀.兀

39、一1. (2016 南昌市模拟)已知向量 e=(cos 4，sin 3), e2= (2sin 4, 4cos -),则 eI食=.2. (2016昆明市调研)已知向量a, b的夹角为120°,且同=1, |b|= 2,则向量a-b在向量a+b方向上的投影是3. (2016石家庄市质检)在矩形ABCD中，AB=2, BC=1, E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点， 则AEaF的最大值为.考点二平面向量数量积的性质(高频型考点一一多角探明)考情聚焦平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题.归纳起来常见的命题角度有：（1）平面向

40、量的模；（2）平面向量白夹角；（3）平面向量的垂直.角度一平面向量的模1.已知平面向量 a, b的夹角为高 且同=a |b|=2,在 ABC中，AB=2a+2b, AC=2a-6b, D为BC中点,则 |AD| 等于（）A. 2 B. 4 C. 6 D, 8,、，一 ，一 ，2 . （2014北乐局考）已知向量a, b满足同=1, b= （2,1）,且 冶+ b= 0 （入C R）,则|斗=角度二平面向量的夹角3 .向量a, b均为非零向量，（a-2b）±a, （b-2a）±b,则a, b的夹角为（）A兀A.64. （2014江西高考）已知单位向量e1与的夹角为一1且cos

41、 a= 向重a=3e1一 2%与b= 3研一生的夹角为 8则 3cos 3=.角度三平面向量的垂直5. (2014 重庆高考)已知向量 a=(k,3), b=(1,4), c=(2,1),且(2a-3b)±c,则实数 k=()915A. -2 B. 0 C. 3 D.y6.在直角三角形 ABC中，已知AB = （2,3）, AC=（1 , k）,则k的值为通关锦囊平面向量数量积求解问题的策略（1）求两向量的夹角:cos 0= . |bJ,要注意 ee 0,兀（2）两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a±b? a b= 0? |ab|=|a+b|.(3)求向量的模：

42、利用数量积求解长度问题的处理方法有： a2 = a a= |a |2 或 |a|= aaa . |a ib|= *J(aib 2 =，a2 型 a b+ b2 .若 a = (x, y),则 |a |=，x2+ y2.题组集训1. （2016石家庄质检）已知向量a、b的夹角为45°,且冏=1, |2ab|= 屈，则|b|=（）A. 3亚 B. 2近C/T2D. 12. （2016武汉调研）已知向量a, b,满足同=3, |b|=2g,且a，（a+b）,则a与b的夹角为（）兀A.2B 2_?3兀C.7考点三数量积的综合应用（重点型考点一一师生共研）【例】（1）已知向量a, b是夹角为6

43、0°的两个单位向量，向量a+颂欣R）与向量a2b垂直，则实数入的值为（）A. 1 B.1 C. 2 D. 0（2）（2016 关B州市质检）在 ABC 中，若 AB2=AB AC+BA BC+CA CB,则 ABC 是（）A.等边三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.直角三角形【名师说“法”】（1）若 a, b 为非零向量，则a± b?ab=0；若非零向量a= （x1,y）,b= （x2,y2）,则a± b?x1X2+y1y2=0.（2）一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径.(3)向量垂直问题体现了

44、“形”与“数”的相互转化，可用来解决几何中的线线垂直问题.跟踪训练(2016荆州质检)已知向量a与b的夹角是斗，且|a|= 1, |b|= 4,若(2a+ ?b)±a,则实数 入=. 3一、.一一.，一一， 一一一 , ./rL . .TL -3(2)(2016 厦门质检)已知点O, N, P 在 4ABC 所在的平面内，且 |O A|= |0 B|= |0 C|,N A+N B+N C=0,PA P B = P Bp C= pCPA,则点O, N, P依次是 ABC的()A .重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心旅感tn提出三50二按也

45、总结型雎易错警示8数量积的正负与向量夹角关系不清典仞(2016江西省七校联考)已知a= (3,2), b=(2, 1),若向量 启+ b与a+犯的夹角为锐角，则实数 入的取值范围是.易错分析 此题易忽略 上1时，有入a+b与a+入b同向.防范措施 向量数量积正负与向量夹角是钝角、锐角不等价，如：mn>0时，其m, n可为锐角，也可为0, m n<0,其m, n>可为钝角，也可为兀此类题要考虑 m与n共线情况.课堂小结【方法与技巧】1 .计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2,求向量模的常用方法：利用公式

46、|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.3 .利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.4 .向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.5 .以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.6 .向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.【失误与防范】1. (1)0与实数0的区别：0a=.w0, a+ (a)=0w0, a0=0w3;