高等数学教学教案之高阶导数

1、六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel#167;2. 3 高阶导数授课次序12教 学 基 本 指 标教学课题§2. 3 高阶导数教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点高阶导数教学难点n阶导数参考教材同济大学编高等数学（第6版）自编教材高等数学习题课教程作业布置高等数学标准化作业双语教学导数：derivative；连续性：continuity；连续函数：continuous function ；斜率：slope ；微分：differential calculus；阶：order ；切线：tangent li

2、ne；切线方程：tangential equation；法线：normal line课堂教学目标1 掌握高阶导数的一般求法2 掌握几种基本函数n阶导数教学过程1前一节讲解（20min） 2高阶导数的定义（15min）；3高阶导数的计算（20min）； 4n阶导数（35min）教 学 基 本 内 容§2. 3 高阶导数一般地, 函数y=f(x)的导数y¢=f ¢(x)仍然是x 的函数. 我们把y¢=f ¢(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数, 记作 y¢¢、f ¢¢(x)或, 即 y¢

3、62;=(y¢)¢, f ¢¢(x)=f ¢(x)¢ , . 相应地, 把y=f(x)的导数f ¢(x)叫做函数y=f(x)的一阶导数. 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, × × ×, 一般地, (n-1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作 y¢¢¢, y (4), × × × , y (n) 或, , × × × , . 函数f(x)具有n 阶导数, 也常说成函

4、数f(x)为n 阶可导. 如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数. y¢称为一阶导数, y¢¢, y¢¢¢, y (4), × × ×, y(n)都称为高阶导数. 例1y=ax +b , 求y¢¢. 解: y¢=a, y¢¢=0. 例2s=sin w t, 求s¢¢. 解: s¢=w cos w t , s¢&#

5、162;=-w 2sin w t . 例3证明: 函数满足关系式y 3y¢¢+1=0. 证明: 因为, , 所以y 3y¢¢+1=0. 例4求函数y=ex 的n 阶导数. 解; y¢=ex , y¢¢=ex , y¢¢¢=ex , y( 4)=ex , 一般地, 可得 y( n)=ex , 即 (ex)(n)=ex . 例5求正弦函数与余弦函数的n 阶导数. 解: y=sin x, , , , , 一般地, 可得 , 即. 用类似方法, 可得. 例6求对函数ln(1+x)的n 阶导数 解: y=

6、ln(1+x), y¢=(1+x)-1, y¢¢=-(1+x)-2, y¢¢¢=(-1)(-2)(1+x)-3, y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4, 一般地, 可得 y(n)=(-1)(-2)× × ×(-n+1)(1+x)-n, 即 . 例6求幂函数y=xm (m是任意常数)的n 阶导数公式. 解: y¢=mxm-1, y¢¢=m(m-1)xm-2, y¢¢¢=m(m-1)(m-2)xm-3, y ( 4)=m(m-1)(m-2

7、)(m-3)xm-4, 一般地, 可得 y (n)=m(m-1)(m-2) × × × (m-n+1)xm-n , 即 (xm )(n) =m(m-1)(m-2) × × × (m-n+1)xm-n . 当m=n时, 得到 (xn)(n) = m(m-1)(m-2) × × × 3 × 2 × 1=n! . 而 (x n)( n+1)=0 . 如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u(x)±v(x)也在点x 处具有n 阶导数, 且 (u&

8、#177;v)(n)=u(n)+v(n) . (uv)¢=u¢v+uv¢ (uv)¢¢=u¢¢v+2u¢v¢+uv¢¢, (uv)¢¢¢=u¢¢¢v+3u¢¢v¢+3u¢v¢¢+uv¢¢¢ , 用数学归纳法可以证明 , 这一公式称为莱布尼茨公式. 例8y=x2e2x , 求y(20). 解: 设u=e2x , v=x2, 则 (u)(k)=2k e2x (k=1, 2, × × × , 20), v¢=2x , v¢¢=2, (v)(k) =0 (k=3, 4, × × × , 20), 代入莱布尼茨公式, 得 y (20)=(u v)(20)=u(20)×v+C 201u(19)×v¢+C 202u(18