最全面的解三角形讲义

1、解三角形【高考会这样考】1 .考查正、余弦定理的推导过程.2 .考查利用正、余弦定理判断三角形的形状.3 .考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法.4 .考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题.基础梳理a b c1 .正弦定理： =2R,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变sin A sin B sin C形为：a : b : c= sin A ： sin B ： sin C；(2)a=2Rsin A, b = 2 Rsin B, c=2Rsin C;(3)sin A= Z, sin B=", sin C=R等形式，以解决不同的三角形问题. 2R

2、2 R2 R2 .余弦定理： a2= b2+c22bccos A, b2= a2 + c22accos B, c2 = a2+b2 2abcos C. 余弦定理可以变形为：cos A=, cos B=, cos C= 2bc2aca2 + b2 c2. 2ab3.面积公式：S4ABC="absin C= 1bcsin A="acsin B=abc = °(a +b+c) r(R是三角形外接 2224R 2圆半径，是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R, r.4.已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况. 如已知a, b, A,则A为锐角A为钝角或直角图

3、形Va n心L&l关系式a< bsin Aa = bsin Absin Av a v ba坨a > ba<b解的个数无解一解两解一解一解无解5 .用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.6 .实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方白角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1) .可编辑(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a(如图(2).(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30 ° ,北偏西45 ° ,

4、西偏东60 °等.(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.考向探究题型一正弦余弦定理运用【例题1】在4ABC中，已知a= V3,b= J2 ,B=45。，求A、C和c.【例题2】在ZABC中，a、b、c分别是角 A, B, C的对边，且cos B _ bcosC 2a c(1 )求角B的大小；(2)若 b= &3, a+c=4 ,求ABC 的面积.【例题3】(14分)4ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b , c,且b (1) AABC 中，a=8,B=60,C=75 ,求 b;(2)AABC 中，B=30 ,b=4,c=8,求 C、A、a.3.在那BC 中，A

5、=60 ° ,AB=5 , BC=7 ,则4ABC 的面积为.4.已知ABC中，三个内角 A, B, C的对边分别为 a,b,c,若那BC的面积为S,且2S二 (a+b ) 2-c2,求 tanC 的值.+c 2-a2+bc=0.(1 )求角A的大小；(2)若a=石，求bc的最大值；(3)求 asin(30C) 的值. b c【变式】1.MBC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c,若c=拒，b=屁,B=120。，则 a=.5 .在那BC中，角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c.若(73 b-c ) cosA=acosC ,则 cosA= .6 .在那BC中，角A、B、C的对

6、边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2) tanB= 33 ac,则角 B的 值为.7 .在那BC中，内角 A、B、C对边的边长分别是 a、b、c.已知c=2,C=-.(1)若ABC的面积等于3 ,求a、b的值；(2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求AABC 的面积.题型二判断三角形形状【例题】在AABC中，a、b、c分别表示三个内角 A、B、C的对边，如果(a2+b 2) sin (A- B) = (a2-b2) sin (A+B ),判断三角形的形状.【变式】已知4ABC的三个内角 A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,且2cos2B-8cosB+5

7、=0, 求角B的大小并判断 ABC的形状.题型三测量距离问题【例题】如图所示，为了测量河对岸 A, B两点间的距离，在这岸定一基线CD,现已测出。口=2和/八。口 =60 , BCD =30 , BDC = 105,ADC =60° ,试求AB的长.【变式】 如图，A, B, C, D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面 A处测得B点和D点的仰角分别为75。，30。，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60。，AC = 0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B, D的距离.题型四测量高度问题【例题】如图，山脚下有一小塔

8、 AB,在塔底B测得山顶C的仰角为60。，在山顶C测得塔顶 A的俯角为45° ,已知塔高AB = 20 m ,求山高CD.u li【变式】如图所示，测量?'对岸的塔高 AB时，可以选与塔底 B在同一水平面内的两个测点 C与D,现测得/ BCD= % ZBDC= 3 CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为0,求塔高 AB.题型五 正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】 如图所示，在梯形 ABCD中，AD /BC, AB = 5, AC = 9, ZBCA= 30 , jADB = 45° ,求BD的长.4 45D n【变式】 如图，在 ABC中，已知/ B=45 &

9、#176; ,D是BC边上的一点，AD = 10, AC=14, DC=6,求AB的长.口 C巩固训练1 .在 AB序，若2cosBsinA=sinC,则 ABe定是 三角形.2 .在 AB序，A=120 0 ,AB=5,BC=7 煞B 的值为.3 .已知 ABC三边长分别为a,b,c,且面积Szxab=1(b2+c2-a2),则4A=.4 .在 AB序，BC=2 , B=-,若 ABC面积为写，则tanC为.5 .在 AB中,a2-c2+b 2=ab,则 C=.6 . ABC,若 a4+b4+c4=2c2(a2+b2),贝U C=.7 .在 ABCK角A, B, C所对的边分别为a,b,c,

10、若a=1,b= 77,c=73，则 B=.8 .某人向正东方向走了 x千米，他右转150 0 ,然后朝新方向走了 3千米，结果他 离出发点恰好 石千米，那么x的值是.9 .下列判断中不正确的结论的序号是.八 AB中,a=7 , b=14 , A=30 ° ,有两解4 AB中，a=30,b=25,A=150° ,有一解' AB中,a=6,b=9 , A=45 ° ,有两解®A AB中,b=9,c=10, B=60 ° ，无解10 .在 AB中，角A, B, C所对的边分别为a,b,c,并且a2=b(b+c).(1)求证：A=2B ;(2)

11、若a=6b,判断 ABC形状.11 .在 ABC，8sB=- 11，cOSC= 4 .(1)求sinA的值；(2) ABC：面积 Sa ab= 13 ,求 BC 的长.12 .已知 a、b、c 是 ABCj三边长，关于 x 的方程 ax2-2 Jc2 b2 x-b=0 (a >c> b)的两根之差的平方等于4, ABC：面积S=10依，c=7.(1)求角C;(2)求a, b的值.13 .在 AB中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a+b=5 , c= <7 ,且 4sin2 B -cos2C= 7 .22(1)求角C的大小；(2)求 ABC面积.14 .(人教A版教材

12、习题改编)如图，设A, B两点在河的两岸，一测量者在 A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m , ZACB=45 , £AB = 105°后，就可以计算出A,B两点的距离为().5 HA. 50 5 mB. 503 mC. 2542 m15 .从A处望B处的仰角为 %从B处望A处的俯角为B,则a, §的关系为（）.C.a+ B= 90D. a+ 3=180 °16 .若点A在点C的北偏东30° ,点B在点C的南偏东60° ,且AC=BC,则点A在点B的()A .北偏东15 °B.北偏西15°C.北偏

13、东10 °D.北偏西10 °17 . 一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60。，另一灯塔在船的南偏西75。，则这艘船的速度是B. 5A/3海里C. 10海里D. 10/3 海里18 .海上有A, B, C三个小岛，测得 A, B两岛相距10海里，Z BAC = 60 , JABC=75则B, C间的距离是 海里.19.如图，甲船以每小时 30/海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105 °方向的B1处，此时两船相距 20海里，当甲船

14、航彳T 20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120 °方向的B2处，此时两船相距1042海里.问：乙船每小时航行多少海里?例题答案题型正弦、余弦定理例题1 解B=45 ° <由正弦定理得.“ a sin B sinA=b90 asjiB-,3sin452< b < a,则A为60 °当A=60 °bsin C c=sin B时，C=180(A +B)=752 sin 75. 2 sin(45 30 )sin 45sin 45当A=120bsin C c=sin B° 时，C= 180。-(A+B)=15'2si

15、n15 _ . 2 sin(45 30 ) _sin 45sin 45故在AB C,76 、 2 A=60,C=75,c=或A=120° ,C=15【例题2】解(1)2由余弦定理知：cosB=212c b2ac 'cosC=o22a bc2将上式代入a2c2 b2ab cosBcosC2b-彳导:2a c2ab2ac a2 b2整理得:a2+c 2-b 2=-ac22, 2a c b cosB=:2acc2b2a.B为三角形的内角，ac2ac=1一 22 B= 32(2)将 b= J13,a+c=4,B= 代入 3b2=a 2+c 2-2accosB,得 b2=(a+c) 2

16、-2ac-2accosB21 . b2=16-2ac1 ,ac=3.2-1 Sa abc= 一 acsinB= 2b222【例题3】解(1)COSA=-bc _ 12bc - 2又 AC ( 0° ,180 ° ),A=120 ° .(2)由 a= 石，得 b2+c2=3-bc,又,b2+c2> 2bc (当且仅当c=b时取等号)，-3-bc > 2bc(当且仅当c=b时取等号).即当且仅当c=b=1(3)由正弦定理得:时，bc取得最大值为1.asin Absin Bcsin C2R,asin(30 C) 2RsinAsin(30 C) b c 2Rs

17、inB 2RsinC二 sinAsin(30 C) sin B sin C. 3 1-、-3 (cosC sin C)2 22sin(60 C)sin C,33cosC -sin C)443°cosC 2【变式】1 .23sin C 22 .解(1)由正弦定理得asin Absin BB=60 ° ,C=75 ° ，： A=45,a sin B 8 sin 60,- . b= =4 .6.sin A sin 45csin B 8sin30 ”(2)由正弦定理得 sinC= =1.b 4又30 ° C 150 ° ,C=90 ° .A=

18、180 -(B+C)=60° ,a=c2 b2 =4 33 .3 . 10 34 .解依题意得 absinC=a 2+b 2-c2+2ab, 由余弦定理知,a2+b 2-c2=2abcosC.所以，absinC=2ab(1+cosC),即 sinC=2+2cosC,所以 2sin Ccos C =4cos化简彳#： tan从而tanC=2C=2.2- C2 tan 2_1 tan2 C22 C225.停7.解6.(1)由余弦定理及已知条件，得a2+b 2-ab=4.又因为ABC面积等于加,所以-absinC= J3 ,所以 ab=4.2_2.2联立方矛1组a b ab 4,解得ab

19、4,(2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,sinBcosA=2sinAcosA,一一 一 _4 3.b=2a,a空3，14 3b .32 3.3cosA=0 时，A= , B= , a= , b= cosA wo时，得sinB=2sinA,由正弦定理得22联立方矛1组a b 4,解得所以 ABC面积 S= - absinC= 2b 2a,题型二判断三角形形状【例题】解方法一已知等式可化为a2 sin (A-B ) -sin (A+B ) =b 2 -sin (A+B ) -sin(A-B) 2acosAsinB=2b 2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为

20、：sin 2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA -sinBcosB)=0 sin2A=sin2B, 0 曲2A,2B <2得 2A=2B 或 2A=-2B,即a=b或A=a出. a吗腰或直角三角形.方法二同方法一可得 2a2cosAsinB=2b 2sinAcosB由正、余弦定理，可得 ,22222.22bca .2 a cb a b= b a2bc2ac.a2(b2+c 2-a2)=b 2(a2+c2-b 2)即(a2-b 2)(a2+b 2-c 2)=0a=b 或 a2+b 2=c 2【变式】 解方法 1-1 2cos2B-8cosB+5

21、=0,2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.cosB=2解得cosB= 1或cosB= 3 (舍去) 220<B<，: B=3 .a,b, c 成等差数列，a+c=2b.cosB= a-J 2 c b _2ac2,a c、2c ()2ac化简得 a2+c 2-2ac=0,解得 a=c.又 Ba, . ABC边三角形. 3方法二 2cos2B-8cosB+5=0 , 2 2cos2B-1 ) -8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cos

22、B= 1或cosB= 3 (舍去)22cosB=-, 0B<，: B=,23a,b,c成等差数列，a+c=2b.由正弦定理得 sinA+sinC=2sinB=2sin = 3 .2 sinA+sin A = 33 , 3.2.2. 一 sinA+sin cos A -cos sin A= .3. 33=1.化简得 - sinA+ cosA= 73 ,sinA 22A=A+=C=-, .A ABW边三角形题型三测量距离问题【例题】 解 在AACD 中，已知 CD=a, ZACD=60 , ADC = 60 ,所以AC = aZBCD =30 ° , BDC= 105 CBD=45

23、asin 105在ABCD中，由正弦定理可得 BC=sin 45o2a.在AABC中，已经求得 AC和BC,又因为/ ACB= 30,所以利用余弦定理可以求得A, B两点之间的距离为 AB =4AC2 + BC2 - 2AC BC cos 3022a= a.2解 在AACD 中，ZDAC = 30 , zADC = 60 -zDAC=30 ,所以CD = AC=0.1 km.又/BCD = 180 ° -60 ° -60=60° ,故CB是用AD底边AD的中垂线，所以 BD = BA.又./ABC= 15ABAC在4ABC 中，=,sin/BCA sin/ABCA

24、Csin 60所以AB=:sin 1520(km),同理，BD =3/十逃20(km).故B、D的距离为20题型四测量高度问题解如图，设CD=x m ,则 AE=x20 m ,tan 60CDFd'CD. BD=tan 60在AAEC中,解得 x= 10（3 +、/3） m .故山高 CD 为 10（3 +，3） m.【变式】 解 在ABCD中，/CBD=兀一a B,由正弦定理得BCsin ZBDCCDsin ZCBDCDsin ZBDC所以BC=sin ZCBDs sin (3 sin a+ 3stan Osin 3在 Rt MBC 中，AB= BCtan ZACB =sin a+

25、3题型五 正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】解在AABC中,AB=5, AC = 9, ZBCA=30由正弦定理，得ABsin ZACBACsin ZABCAC sin ZBCA sin ZABC =AB9sin 305910AD /BC, .ZBAD = 180 -zABC,于是 sin /BAD = sin /ABC = 9.109同理，在 ABD 中，AB = 5, sin/BAD=一,10 'ZADB=45,由正弦定理:ABsin ZBDABDsin /BAD解得BD=9J2.故BD的长为29-,.2【变式】 解在2DC 中，AD = 10 ,AC =14 , DC =

26、 6,AD.-.ZADC = 120 , .-.ADB = 60 . +DC2AC2由余弦定理得 cos ZADC = 2AD DC2X10 X6在AABD 中，AD = 10, /B=45,JADB = 60100 + 36- 1961ABAD由正弦定理得=,sin ZADB sin BAD sin ZADB 10sin 60 AB =sinsin 45二310 X巩固训练1.等腰；2.45 ° ;4.3"3"一一 . 一 55. 60;6. 45 或 135;7. 68.10.J3或 2 J3 ; 9.(1)证明因为a2=b(b+c)a2=b 2+bc,所以在

27、ABC,由余弦定理可得222a c bcosB=2acc2 bc b2ac2a2_ a a sin A- 2ab - 2b 一 2sinB ,所以 sinA=sin2B,故 A=2B.(2)解 因为a= v'3b,所以由 a2=b(b+c)可彳# c=2b, 222222a c b 3b 4bb cosB= =92ac4 - 3b2所以 B=30 ° ,A=2B=60° ,C=90 ° .所以 ABC直角三角形.11.解 (1)由 cosB=- 5 ,得 sinB=,1313由 cosC= 4 彳导 sinC=-.336555所以 sinA=sin(B+C

28、)=sinBcosC+cosBsinC=由 Sa abc=，得x AB x AC x sinA=. 222由(1)知 sinA= 33 ,故 AB X AC=65.65又 AC= AB sin B sin C,20故 20 AB 2=65,AB=13喋AB,13所以BC=AB sin Asin C211 一万12.贝 Ij X1+X11)设 X1、2 c2 b22=aX2为方程(x-x 2)2=(x 1+X 2)2-4X1X2 =ax2-2 Vc2 b2 x-b=0 的两根,a224(c2b2)2a4b / + =4.a2+b 2-c2=ab.2, 22a b c 又 cosC=2abab2ab又二 C (0 ° ,180 °(2)S= absinC=10 3),C=60 °,ab=40由余弦定理 c2=a 2+b 2-2abcosC, 即 c2=(a+b) 2-2ab(1+cos60 .-72=(a+b) 2- 2 x 40 xi 1 .° ).a+b=13.又< a > b:由，得 a=8,b=5.13.解 (1)A+B+C=180 °