九年级数学上册22.3实践与探索《一元二次方程》复习指导与考点例析素材(新版)华东师大版

1、一元二次方程复习指导与考点例析【本章概述】一元二次方程是初中数学的重要内容，在初中数学中占有重要的地位，它和二次函数的联系非常密切这部分内容是各地考试热点和同学们容易出错的地方，是历年各地中考的必 考内容之一，在试卷中占有较大的分值比例考试中不仅基础题会考查，更重要的是后面的综合题也会重点考查，一般以函数等知识为背景进行综合考查，因此同学们应对这部分内容予以高度重视【课标要求】1. 了解一元二次方程的概念， 对本章所学的解一元二次方程的配方法、公式法、分解因式法有个全面的了解， 会合理选择方法解具体的一元二次方程，并在解方程的过程中体会转化等数学思想2.能够利用一元二次方程的有关知识解决实际问

2、题，并能根据具体问题的实际意义检验 结果的合理性3.理解一元二次方程的根的判别式，会根据判别式判别一元二次方程的根的情况(注:本部分内容虽然不作为考试重点，但对同学们今后的学习非常重要，一定要认真复习).【知识网络】只含有一个未知数，并且未知数的次数是二次的整式方程，叫做一元二次方程般形式：ax2bx c = 0(a= 0).(1)判断一个方程是不是一元二次方程时应抓住三点：只含有一个未知数；未知数.它的一2的最高次数是 2;方程是整式方程(即含有未知数的式子是整式 ).三者必须同时满足，否3则就不是一元二次方程2ax bx 0(a,b,c为常数，a = 0)称为一元二次方程的一般形式，其中2

3、a=0是定义中的一部分，不可缺少，否则就不是一元二次方程.ax叫做二次项，a叫做二次项系数，二者是不同的概念，不可混淆.2. 一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是降次，一般可采用下面几种方法：(1) 配方法1基本思路2先将方程转化为(X m)二n的形式(它的一边是一个关于X的完全平方式， 另一边是 一个常数)，再利用平方根的定义求解当n _ 0时，两边开平方便可求得方程的根；当n： ： ：0时，方程在实数范围内无解，因为负数没有平方根2配方步骤：化：方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；移：移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；配：配方，方程两边都加上一次项系数一半的平

4、方，把原方程化为(ax b)c的形式；求：若c _0,两边同时开平方，求得方程的解；若c：0，则原方程无实数根即原方 程无解注意：“在方程的两边都加上一次项系数一半的平方”的前提是二次项系数为1.(2) 公式法求根公式：一般地，对于一个一元二次方程ax2bx 0(-0)，当b2 4ac _ 0基本步骤:时，它的根是-b二丄4ac2a4化：将方程化为一般形式：ax2bx c = 0(a = 0)；定：正确确定a、b、c的值；求：代入公式x=b4ac求解，若b2-4ac-0则方程有实数根，若2a2b -4ac：0则方程无实数解即无解.(3)因式分解法1基本思想：利用若a_b =0，则a = 0或b

5、 = 0”的性质求方程的根.2基本步骤：化：将方程的右边化为零；分：将方程的左边分解为两个一次因式的积；转：令每个因式分别为零，转化为两个一元一次方程；解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解3注意事项：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积的形式时，可用分解因式法.用此法解方程时，要深入观察方程的特点，并且要对分解因式的方法 非常熟练.解具体的一元二次方程时，要分析方程的特征，灵活选择方法.公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基础(公式法是直接利用了配方法的结论).分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程.掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本.一

6、般说来，先特殊后一般，即先考虑分解因式法，后考虑公式法.没有特别说明，一般不用配方法 .3. 一元二次方程的是实际应用方程是解决实际问题的有效模型和工具，解方程的技能训练要与实际问题相联系，在解决问题的过程中体会解方程的技巧，理解方程的解的含义禾 U 用方程解决实际问题的关键是找出问题中的等量关系，找出题目中的已知量与未知量，分析已知量与未知量的关系，再通过等量关系，列出方程，求解方程，并能根据方程的 解和具体问题的实际意义，检验解的合理性列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；设：设元，也就

7、是设未知数；列：列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相 等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；5解：解方程，求出未知数的值；验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；答：写出答语相等关系的寻找应从以下几方面入手：1分清本题属于哪一类型的应用题，如行程问题，则其基本数量关系应明确（雌二S）.2注意总结各类应用题中常用的等量关系如工作量（工程）问题常常是以工作量为基础得到相等关系（如各部分工作量之和等于整体1 等）.3注意语言与代数式之间的转化题目中多数条件是通过语言给出的，我们要善于将这些语言转化为我们列方程所需要的代数式4从

8、语言叙述中寻找相等关系如甲比乙大 5 应理解为“甲=乙+ 5”等.5在寻找相等关系时，还应从基本的生活常识中得出相等关系总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程的基础，找相等关系是列方程解应用题的关键【复习指引】1. 配方法、公式法、分解因式法分别适用于解不同特点的方程，具体求解时，应在观察 方程特点和综合考虑各种方法适用范围的基础上合理选择解方程的方法2. 在用一元二次方程解决实际问题的过程中，要抓住问题的数学本质，尽量避免实际情境的干扰；同时要明确：数学问题与实际问题的区别在用方程知识解决完实际问题后，一定要检验所求结果是否符合实际情况，对不适合实际情况的解一定要舍去；同时对适合实际情

9、况的解绝对不能丢掉【考点例析】考点一：一元二次方程的定义构成一元二次方程的条件：必须是整式方程；二次项系数不能为0;只含有一个未知数；未知数的最高次数是2.只有同时具备这三个条件的方程才是一元二次方程例 1.（甘肃）下列方程中，关于X的一元二次方程是（）21 1（A）3（x 1） =2（x 1）（B）2=0X X2 2 2（C）ax bx c = 0（D）x 2x = x -1析解：由一元二次方程的判定条件可知：（B）不满足条件，（C）不满足条件，（D）不6满足条件，只有（A）同时满足这几个条件.故选（A）.考点二：一元二次方程的相关概念基本形式：ax2bx c=0（a= 0）；其中ax2、b

10、x、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a, b分别称为二次项系数和一次项系数例 2.(吉林)将方程3x2=5x+2化为一元二次方程的一般形式为 _.(吉林)一元二次方程2x 4x -1 = 0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为2析解：为3x -5x-2 =0(莫忘移项要变号)；为 5,要特别注意项和系数的符号 .考点三：方程根的定义及其应用若x0是一元二次方程ax2 bx c = 0(a = 0)的根，则必有axo2bxo c = 0，反之，2 2若axbx00，则x是一元二次方程ax bx 0的根，这就是一元二次方程根的定义.利用这个根的定义解题时，要特别注意二次项系数不为0 的条件.例

11、 3.(兰州)已知 m 是方程 x2- x 1 = 0 的一个根，则代数 m2- m 的值等于()(A) -1(B)0(C)1(D)2(北京海淀)关于x的一元二次方程(a -1)x2 X a2-1 = 0的一个根是 0,则a的值 为()1(A)1(B)- 1(C)1 或一 1(D)-2析解：选(C)；根据方程根的定义， 将x =0代入原方程中，则原方程变形为关于a的一元二次方程：a2-1=0，a =1，又由于a -1 = 0，a M，所以a = -1，应选(B). 本题极易忽视二次项系数a-1=0这一内含条件，容易错选为(C).因此解这类题目时，若二 次项系数中含有字母已知数，一定要使其不为0

12、.考点四：一元二次方程的解法直接开平方法：课本上虽然没有介绍， 但这是解一元二次方程的一种方法，它建立在数的开方的基础上，当把方程整理成(x -m)2= n的形式时，就可以用此法求解 但要注意当n : 0时，方程无实根；配方法：它建立在直接开平方的基础上，将方程ax2 bx c = 0(a = 0)的左边恒等变7形为a(x m)2n的形式，从而整理得(x m)2二k，通过开平方法求得方程的根 .它适用 于任何一个有解的一元二次方程，而且在今后的学习和复习中，它始终是一种很重要的思想方法；8公式法：它适用于任何一个有解的一元二次方程公式法抓住了配方法的结论，使其公式化，变求解问题为已知a b c

13、的值，求代数式 一b? -4ac的值的问题；2a因式分解法：对于系数比较特殊的一元二次方程，用因式分解法求解比较快捷，其实质就是降次法.它将一元二次方程化为一元一次方程来求解.这四种方法既有区别，又有联系 公式法比配方法简单，但不如直接开平方法和因式分解法快捷，在具体解方程时，要根据题目的特点，选择适当的方法求解.一般顺序为先特殊后一般.即直接开平方法 因式分解法 公式法，没有特别说明一般不采用配方法.例 4.（福州）解方程：4x2 8x仁0.解析：本题可用公式法或配方法求解，答案:考点五：一元二次方程在实际中的应用一元二次方程的应用常常以当今社会所关注的热点问题和焦点问题为素材，这类问题虽然

14、贴近生活，却不拘一格因此，平时热心关注社会、积累生活经验是学好本部分内容的一 个前提，在较复杂的社会背景中，运用方程的思想，寻找等量关系式，列出方程，是解题的 一个关键下面就近几年的中考试题中选取几道典型的经典考题，加以评析，供参考例 5.（常州）春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准:共支付给春秋旅行社旅游费用27000 元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?解：设该单位这次共有X名员工去天水湾风景取旅游 .因为 1000X25=25000v27000,所以员工人数一定超过25 人,某单位组织员工去天水湾风景区旅游,如果人数超过 25 人,每增加 1 人，

15、 人均旅 游费用降低 20 元， 但人均旅游费用不得低于 700 元9可得方程1000 -20(x -25)x二27000.解得x 45,x2= 30.当Xi=45时，1000 - 10(x 25)=600V700,故舍取Xi;当x2=30时，1000 10(x 25)=900 700,符合题意；答：该单位这次共有 30 名员工去天水湾风景区旅游 例 6.(黄冈)黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天售出20 件，每件赢利 40 元，为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售 量，增加赢利，减少库存，经市场调查发现：如果每件童装每降价4 元，那么，平均每天

16、就可多售出 8 件，要想平均每天在销售这种童装上赢利1 200 元，那么，每件童装应降价多少元？误解：设每件童装应降价元，依题意，得(40 -x)(202x) =1200，整理，得x2-30 x - 200 =0.解得捲=10, x2=20.答：每件童状应降价 10 元或 20 元.剖析：从表面上看，本题的解答天衣无缝，但本题要求在赢利相同的情况下，尽快减少库存，就是使童装尽快地销售 .因为每件童装每降价 4 元，那么平均每天就可多售出8 件，则降价 20 元比降价 10 元卖的多，可尽快减少库存，故正确答案应为每件童装降价20 元.说明：随着市场经济的发展，经济决策型应用题逐渐成为各地中考题

17、的新宠，这类应用题与实际生活密切相关，解题时一定要全面考虑题设条件， 要对题意进行检验，使求解出来 的根不仅适合方程，也得符合题意 .考点六：创新题展示例 7.(茂名)先阅读，再填空解题：2(1) 方程：x -x-2=0 的根是：X1=-3, x2=4，贝Ux 计 X2=1，X1 X2=12;2173(2) 方程 2x -7x+3=0 的根是：X1= , x2=3，贝UX1+X2= ， X1 X2=；2 2 22(3) 方程 x -3x+仁 0 的根是：X1=, x2=.贝yX1+X2=_，X1 X2=_ ；10根据以上(1)(2)(3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程 mX+nx+p=0(mz0且m n、 p为常数)的两根为X1、 X2, 那么X1+X2、X1、X2与系数 m n、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由 分析：近几年来，以一元二次方程为背景的探索创新题不