最大公约数和最小公倍数六年级试卷

1、最大公约数和最小公倍数一六年级试卷试卷第4页共4页考试时间：120分钟考试总分：100分题号四五总分分数d|p卦如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做作a的约数.约数 和倍数都表示一个数与另一个数的关系，不能单独存在.如只能说16是某数 的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数.倍与倍数是不同的两个概念，倍是指两个数相除的商，它可以是整数小数 或者分数.倍数只是在数的整除范围内，相对于约数而言的一个数字概念，表 示的是能被某一个自然数整除的数，它必须是一个自然数.几个自然数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做 这几个数的最大公约数.例如12 , 1

2、6的公约数有1,2,4,其中最大的一个 是4,4是12与16的最大公约数，一般记为(12 , 16 )=4.12 , 15 , 18的 最大公约数是3 ,记为(12 , 15 , 18 ) =3 .常用的求最大公约数的方法是分解质因数法和短除法.分解质因数法，把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数 提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数.例如，求24和60的最 大公约数. 24=2223 , 60=2235 , 24与60的全部公有的质因数是2 , 2和3 ,它们的积是223=12 ,所以(24,60 ) =12 .短除法，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质

3、为止， 然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几数的最大公约数.例如，求24 ,48,60的最大的公约数.( 24,48,60) =232= 12几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做 这几个数的最小公倍数.例如4的倍数有4,8 z 12 , 16 , ,6的倍数有6 ,12,18,24,4和6的公倍数有12,24,其中最小的是12 ,一般记为4 , 6=12 . 12 , 15 , 18 的最小公倍数是 180 ,记为 12 , 15 , 18=180 .常用的求最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法.分解质因数法，首先把这几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部

4、公 有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍 数.例如求6和15的最小公倍数. 6=23 , 15=35 , 6和15的全部公有的质 因数是3 , 6独有质因数是2 , 15独有质因数是5 , 235=30,30里面包含6 的全部质因数2和3 ,还包含了 15的全部质因数3和5 ,且30是6和15的 公倍数中最小的一个，所以6 , 15=30 .短除法，先用这几个数的公约数去除每一个数，再用部分数的公约数去除 ,并把不能整除的数移下来，一直除到所得的商中每两个数都是互质数为止， 然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数.例如 求12 , 15

5、, 18的最小公倍数.12 f 15 f18=32253=180在解有关最大公约数最小公倍数的问题时,常用到以下结论：(1)如果两个数是互质数,那么它们的最大公约数是1,最小公倍数是这 两个数的乘积.例如8与9 ,它们是互质数，所以(8 , 9 ) =1 , 8 , 9 =72 .(2)如果两个数中,较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的 最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数.例如 18 与 3 , 183=6，所以(18 , 3 )= 3 , 18 , 3=18 .(3)两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数.例如8和14分别除以它们的最大公约数2 ,所得的商分别为4

6、和7 ,那么 4和7是互质数.(4)两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积*例如 12 和 16 , (12,16 ) =4,12 f 16=48 ,有 448=1216 .下面讨论有关最大公约数最小公倍数的问题.例1将长200厘米，宽120厘米，厚40厘米的长方体木料锯成同样大小 的正方体木块，而没有剩余，共有多少种不同的锯法？当正方体的边长是多少 时，锯成的小木块的体积最大，共有多少块？分析：由题意知，锯成的小正方体的边长应能整除200 , 120和40 ,也就 是说，小正方体的边长是这三个数的公约数，得出的不同的公约数的个数就代 表有多少种不同的锯法.另外要求锯成的

7、小木块的体积最大时的正方体的边长 ,只要使小正方体的边长为最大就行了，即求200 , 120和40的最大公约数 .最后可求得锯的块数。解：40的约数个数为(3+1) (1+1 )=8锯的块数(20040) ( 12040 ) ( 4040 ) =531=15答：共有8种锯法，当正方体的边长是40厘米时，锯成的小木块的体积 最大，共有15块.例2求1300到1400玻璃球数，使之分别按三个三个数，四个四个数， 五个五个数，六个六个数，最后都差一个，改为七个七个数时，正好数完.分析：这个数必然是3,4 , 5 , 6的公倍数差1 ,而又是7的倍数.3,4 ,5,6的最小的公倍数是60 ,因此这个数

8、可表示为60kl ( k是自然数).当 k二1时,601-1=59，被7除余3 ;当k=2时，602-1=119，被7整除.符合 三个三个数，四个四个数，五个五个数，最后都差一个，目七个七个数，正好 数完，但所求数要求在1300至1400之间，只要在119基础上，增加3,4 , 5,6,7的最小公倍数的整数倍就可得到所求.解：因为(3,4,5 , 6 ) =60 ,因此这个数可表示为60k-l ( k是自然数 )，当 k二2 时，602-1=119 能被 7 整除；又(3,4,5,6,7) =420 ,所以 这个数可表示为119+420m ( m是自然数)，当m=3时，119 + 4203=1

9、359 ,1359即为所求.例3两个数的最大公约数是15 ,最小公倍数是360 ,且这两个数相差75 ,求这两个数.分析：根据最大公约数最小公倍数的定义，36015二24,24是所求的两个 数它们各自独有的不同的约数的乘积，并且它们的这两个约数必然互质，即用 所求的两个数的最大公约数分别除这两个数所得的商的积等于24 ,且24必是 两个互质数的乘积，很容易得到24=124=38 , 1与24,3与8分别互质,这 样得到两组解：151=15 , 1524=360 ; 153=45 f 158=120 ;且 120-45=75，得到了问 题的解.解:因为 36015=24,24=124=38151

10、=15 , 1524=360 ; 153=45 , 158=120 ;且 120-45=75所以这两个数分别为45,120 .例4试用2 , 3,4,5,6,7六个数字组成两个三位数，使这两个三位数 与540的最大公约数尽可能大？分析：因为540二22335，而2,3,4,5,6,7中只有一个5 ,因此这六 个数字组成的两个三位数中不会有公约数5 ,所以这两个三位数与540的最大 公约数只可能为2233=108 ,再进行试验，1082二216,216中1不是已知数 字,1083=324，还剩5 , 6,7三个数字,而字87=756 ,于是问题得到解决*解:因为540=22335，所以2 , 3

11、,4 , 5 , 6,7这六个数组成的两位数 与540的最大公约数只可能为2233=108 ,经试验得到1083=324 , 1087=756 ,所以324,756即为所求.例5在800米的环岛上，每隔50米插一面彩旗，后来又增加了一些彩旗 ,就把彩旗的间隔缩短了，起点的彩旗不动，重新插完后发现，一共有4根彩 旗没动，问现在的彩旗间隔多少米？分析：800米环岛每隔50米插一面彩旗，共插80050=16根，重新插完 后，有4根没动，而这4根中的任意相邻的两根间的距离为50 ( 164 ) =200 米，重新插完后每相邻的两根彩旗间的距离与50的最小公倍数是200 ,并且 这个距离一定小于50米，把符合这样条件的数求出来即为所求.解：