高中数学必修四主要内容

1、第一章三角函数1.1任意角和弧度制角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图 形.角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角r零角：射线没有任何旋转形成的角L负角：按顺时针方向旋转形成的角象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与 外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.x轴的非负半轴重合，那么角的终边终边相同的角的表示：所有与角“终边相同的角，连同a在内，可构成一个集合S = 3 I 3 = " + k 360 ,kCZ,即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整个周角的和.我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用

2、弧度来度量角的单位制叫做弧度制.在弧度制下，1弧度记做1rad .在实际运算中，常常将 rad单位省略.弧度制的性质：半圆所对的圆心角为 r正角的弧度数是一个正数.零角的弧度数是零.整圆所对的圆心角为工 2 r负角的弧度数是一个负数.角a的弧度数的绝对值| a |=,r角度与弧度之间的转换：将角度化为弧度：3602 ； 180； 1180将弧度化为角度：0.01745rad ; n -n rad .1802p= 360?； p= 180?； 1rad = (180)盎 57.30? 57?18公 n= ( 180n )?. PP弧长公式a = -? l r?a r弧长等于弧所对应的圆心角 （的

3、弧度数）的绝对值与半径的积.1.2任意角的三角函数三角函数的定义：诱导公式sin(2k) sin (k Z)cos(2k) cos (k Z)tan(2k)tan (k Z)有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点O,始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (x, y),OMx,MP y,于是有x OM , tan)皿型AT x OM OA由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段一一 y yxsiny MP , cos 一r 1r我们就分别称有向线段 MP,O

4、M ,AT为正弦线、余弦线、正切线。(1)三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到 x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与 x轴正方向的交点的切线上， 三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与 x轴或y轴反向的为负值。(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。三角函数定义在直角坐标系中，设”是一个任意角，终终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为(x, y),

5、 它与原点的距离为r(r 7|X|2|"yl2 Jx2 y20),那么(1)比值Y叫做a的正弦，记作 sin ,即siny ；rr'(2)比值x叫做a的余弦，记作 COS ,即COS；rr(3)比值y叫做a的正切，记作tan,即tany；(4)比值%叫做”的余切，记作cot,即cot-；yy说明：a的始边与x轴的非负半轴重合，a的终边没有表明a一定是正角或负角，以及a的大小，只表明与a的终边相同的角所在的位置；根据相似三角形的知识，对于确定的角a ,四个比值不以点P(x, y)在a的终边上的位置的改变而改变大小；当 一k (k Z)时，a的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标

6、x都等2于0,所以tan'无意义；同理当 k (k Z)时，cot 冬无意义；xy除以上两种情况外，对于确定的值a,比值 )、x、)、二分别是一个确定的实r r x y数，正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。(1)商数关系：tansincon(2)平方关系：sin2cos211.3 诱导公式诱导公式(一)sin(360k )sincos(360 k )costan(360 k )tan诱导公式(二)sin(180)sincos(180)costan(180)tan诱导公式(三)sin()sincos( ) costan() tansin

7、(180)sincos(180)costan(180这四个可以总结为：函数名/、变，符号看象限诱导公式（五）sin( 一 ) coscos()sin22诱导公式（六）sin( 一 ) coscos() sin诱导公式（四）) tan22这两个总结为：函数正变余，符号看象限1.4 三角函数的图像与性质（1）函数y=sinx的图象第一步：在直角坐标系的 x轴上任取一点Oi ,以O1为圆心作单位圆，从这个圆与 x轴的交点A起把圆分成n（这里n=12）等份.把x轴上从。到2兀这一段分成n（这里n=12）等份.（预备：取自变量 x值一弧度制下角与实数的对应）第二步：在单位圆中画出对应于角 0, ,，2兀

8、的正弦线正弦线（等价于“列632表”）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与 x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx , xx轴向右和向左连续地平行移C 0 , 2兀的图象.根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着动，每次移动的距离为2兀，就得到y=sinx , xCR的图象.把角x（x R）的正弦线平行移动， 使得正弦线的起点与 x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.（2）余弦函数y=cosx的图象探究1:你能根据诱导公式

9、，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函 数的图象？根据诱导公式cosx sin(x,)，可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移万单位即得 余弦函数y=cosx的图象.(课件第三页“平移曲线” )和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法)正弦函数y=sinx ,xC 0,2兀的图象中，五个关键点是：(0,0) ( ,1) ( ,0) ( ,-1) 22(2 ,0)余弦函数y=cosx x 0,2 的五个点关键是哪几个？(0,1) ( ,0)(,-1)( ,0)22(2 ,1

10、)周期函数定义：对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当x取定义域内的每一个 值时，者B有：f (x+T)=f (x) 那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的 周期。说明：1周期函数x定义域M则必有x+T M,且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无 下界；2 “每一个值”只要有一个反例，则 f (x)就不为周期函数(如 f (x 0+t) f (x 0)3 T往往是多值的(如 y=sinx 2,4，,-2 ,-4 ，都是周期)周期 T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)y=sinx, y=cosx的最小正周期为

11、2(一般称为周期)(1) 一般结论：函数y Asin( x )及函数y Acos( x ) , x R (其中A, 为，一 一 一一，一， 2常数，且A 0,0)的周期T ；1右 0,如： y 3cos( x); y sin( 2x); y 2sin( - x ) , x R.26则这三个函数的周期又是什么？2一般结论：函数 y Asin( x )及函数y Acos( x ) , x R的周期T | |奇偶性：函数 y=sinx是奇函数，函数 y=cosx是偶函数。单调性：2.单调性3A y = sinx , xC , 一 的图象上可看出：2 2当xC , _时，曲线逐渐上升，sinx的值由一

12、1增大到1.当xC , 3时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到一1.22结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间+2kTt, + 2kTt (kCZ)上都是增函数，其值从一1增大到1;在每一个闭区间 + 2kTt, +2kTt (kCZ)上都是减函数，22其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k 1)兀，2kTt (k CZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个1区间2k兀，(2k+ 1) tt (kCZ)上都是减函数，其值从 1减小到一1 .对称轴：1.5函数y=Asin( wx+小)的图象二、函数y Asin( x ), x 0,)(其中A 0,0)的物理意义：函数表示一个

13、振动量时：A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”2T: T 二往复振动一次所需的时 间，称为“周期”.1f : f - 单位时间内往返振动的 次数，称为 频率 . T 2x :称为“相位”.:x=0时的相位，称为“初相”.1.6三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小;2.向量的表布方法:用有向线段表示；用字母a、b （黑体，印刷用）等表示;向量有方向，大小，双重性，不能比较大小用有

14、向线段的起点与终点字母：AB ;向量AB的大小一长度称为向量的模，记作 |AB|.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不 同的有向线段.4、零向量、单位向量概念:注意0与0的含义与书写区0与任一向量平行长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的 别.长度为1个单位长度的向量，叫单位向量 .说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：方向相同或相

15、反的非零向量叫平行向量；我们规定说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a/b / c .1、相等向量定义：长度相等且方向相同白向量叫相等向量.说明：（1）向量a与b相等，记作a = b ;（2）零向量与零向量相等;（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起 点无关. 2、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量， 因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段 的起点 无关）. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系共线向量一定在同

16、一直线上吗？(不一定)2.2 平面向量的线性运算向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 三角形法则(“首尾相接，首尾连”)平行四边形法则当向量a与b不共线时，|a + b|<|a|+|b |；什么时候|a + b |=|a |+|b |,什么时候|a+b|=|a|当向量a与b不共线时，a + b的方向不同向，且|a + b |<|a |+|b |；当a与b同向时，则a + b、a、b同向，且| a +b |=|a |+|b |,当a与b反向时，若|a |>|b |,则a + b的方向与a相同，且|a +b |=|a|-|b |； 若|a |<|b |,则a +

17、b的方向与b相同，且|a+b|=|b |-|a |.“向量平移”(自由向量)：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到 n 个向量连加向量的减法1 .用“相反向量”定义向量的减法(1)“相反向量”的定义：与 a长度相同、方向相反的向量.记作 a(2)规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0如果a、b互为相反向量，贝U a = b,b = a, a + b = 0(3)向量减法的定义：向量 a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2 .用加法的逆运算定义向量

18、的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a,则x叫做a与b的差，记作a b3 .求作差向量：已知向量 a、b,求作向量a b(a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b 则 BA = a b即a b可以表示为从向量 b的终点指向向量 a的终点的向量.注意：1 AB表示a b. 强调：差向量“箭头”指向被减数2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + ( b)实数与向量的积：实数入与向量 a的积是一个向量，记作：入 a I 入 a|二| 入 |a|；(2)入>0时入a与a方向相同；

19、入<0时入a与a方向相反；入=0时入a=0殴A.川为实数.那么(I > AC7叩 > =-(A/rf t£ 2 ) < A I /，)" 一 Ao 十i3 J AC u 4- ft! ) ita nHAA,M 印lift .代(A j<r -= (Am)1 - A < ) A < ，- f> > 一 A jfji A f»综上,莪们狎如下定理.向量"口工但与A共线*当且仅当官唯一一个实数九 使ba.向小的加.激、数乘运算统称为向量的线性运算.对丁 任意向量明儿以及任意实数，出.人.恒有151n

20、77;随 b)0一1n ± Mtb. 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示平面向基本定理如果 . 了是同平面内的两个不共线向.那么对于这一平面内的任意向明有且只有一对实数九、人.使我们把不共线的向量明、.叫做表示这平面内所Ti向航的 TfiUMU base).向量的夹角：已知两个非零向量 a、b ,作OA a , OB b ,则/ AOB =,叫向量a、 b的夹角，当 =0 °, a、b同向，当 =180 °, a、b反向，当 =90 °, a与b垂直，记 作 a，b 。平面向量的坐标表不(1)正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。(2)思考：在平面

21、直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一 个向量，如何表示呢？如图，在直角坐标系内，我们分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、 y ,使得a xi yj0我们把(x, y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a (x, y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与a相等的向量的坐标也为(x, y).特别地，i (1,0), j (0,1), 0 (0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点 O为起点作OA a,则点A的位置由a唯一确定.设OA xi yj ,则向量OA的坐标（x, y）就是点A的坐标；反过来，点 A的坐标（x,y）也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内， 每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表本.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标如果用坐标表示.可写为/ F* - Ji tUh >即朋A又第消去后得r（ Vr -'