锐角的三角比知识讲解

1、锐角的三角比知识讲解TTA standardization office TTA 5AB- TTAK 08八 TTA锐角 的三知识讲解【学习目标】1 .结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2 ?会推算30。 、 45。 、 60。 角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3 .理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念聊csaoA =za的令B边斜A=边c镀0孵=收邰1曲Zb斜边的比叫做bA的余弦，记涯（佝sinAA,也叫做/B的邻ZA的对边二a斜边记作tanA,ZA的 邻边如图所示，在RtAABC中，ZC =

2、 90°. ZA所对的边BC记为d叫做ZA的对边，/B所 对的边AC记为b,叫做乙B的对 边，直角C所对的边AB记为c,叫做斜要点诠释:(1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三 角形边与角的关系，是两条线段的比值？角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化 时， 比值也随之变化？(2) sinA, cosA, tanA, cotA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 sin ? , cos ?tanA不能理解成sin与乙A, cos与八A, tan与/A, cot与乙A的乘 积？书写时习惯上省 略乙A的角的记号“V ,但对三个大写字母表示成的角(如

3、乙AEF),其正切应写成“km 乙AEF ,不能写成“tanAEF'另外，(血”、(C0翔、(tan £尸、(cot/V2常写成sin2 s cos2八4 s tan2 cot? A -(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在？(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在 0。< ZA < 90 ° 间变化时，OcsinHvI, 0 < cos 八4 < 1, tanA > 0 cot A >0.要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30。、45。、60。角的各三角函数值，归纳如下:锐

4、角优cot a30°45°1160°要点诠释:(1)通过该表可以方便地知道30。、45。、60。角的各三角函数值，它的另一个 应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值， 就可以求出这个锐角的度数.例如：若sin&=一.则锐角0 = 4宁-2皿。的sin 30 °值依而x sin次为cos30八(2)仔细研究表中数倍的规律会发现：cos60的值的顺序正好相反，tan.30 ° tan.45 x °tan.60的值依次增大，其变化规律可以总结为：正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)磅弦、余切值随锐角度数的增大(或

5、减小)而减小(或增大) 要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在 RtAABC中，ZC=90 .互余关系：sin/4= cos(90 -zS4)= cos5, cosA= siii(90 =sin5 ;tanA=cot(90 - Z- A尸cotB , tanB=cot(90 - Z B尸cotA.(2)平方关系：sin2 J+cos2A=l ；£ Cf/J/tan A4 = /tan B ；/Ll_c(3)倒数关系：伽小伽(9疔乙4) = 1或(4)商的关系：tanA =八八川匕=一 cos Asin A要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推与得出，常应用在三

6、角函数的计算中计算时巧用这些关系式可使运算简便【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略WF 1 ?如图所示，在 RtAABC中，/C二90o , AB二13, BC二5,求乙A,/B的正弦、余弦、正切、余切值？【答案与解析】在 RtAABC 中，乙 0 90 ：?AB=13, BC 二 5.AC = yjAB 2-BC2 =V132 -52 =12BC sin A =ABAC1312AC cos A =ABBC12135sin B = AB 13*cosB = AB 13*BC tan A =ACAC tan B =12*12BC 5 *AC cot A =BC BC12cot B = A

7、C 12【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值 举一反三:【变式】在RtAABC中，AC = 90 °f若沪3, b=4,贝Ijc二3【答案】c= 5 , sinA= jsinA=,cosA=cosB =sinB=443COSA= i' SinB=5' 8八迂类型二、特殊角的三角函数值的计算(I)sin300-2co> 2 .求下列各式的值：(3) (l-A/3) o-ll-sin3O l+f-tan30 ° ?_J1 30°【答案与解析】原式=f-2x + l=g ;(2)原1XM-3L式=+2 =(3)原

8、式【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值,殊角的三角函数值.再进行化简.举一反三：先代入特【变式】 在RtAABC 中，nC = 90 ,若乙A二45。，贝IJnB?cosB =sinA=cosA类型三、锐角三角函数之间的关系2cos八-屈二cosB=T已知tat?比-2 tan V = 0求锐角【答案与解析】(1)求锐角& ;先将已知方程变形后再求解C&S (X 2丁 2 cos 工-书二? ?锐角* 二 30先将已知方程因式分解变形? ? tar2 or- 2tanor + l= 0, 2(tara-1) = O5:.tar Of -1 = 0,即

9、 tana = 1.?锐角4二45【总结升华】要求等式中的锐角只需求得这个角的三角函数值，运用换元的方法，把角的三角函数看作未知数，解方程求得它的解（值），然后再求这个锐角.类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4 ?如图所示，AB是00的直径，且 AB=10, CD是00的弦，AD与BC相交 于点P,若弦CD = 6,试求cosZAPC的值.【答案与解析】连结AC,AB是00的直径,? ?乙 ACP 二 90。，又？ ？ ZB 二 ZD, ZPAB 二乙 PCD,APCD3PAB,PC CDPA ABPCcos AAPC =又丁 CD = 6, AB 二 10,? ? RtAPACL升华】直角

10、三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接 求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值?锐角 的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结 AC,由AB是00的直径得乙PCAPCDAAPAACB 二 90。PACD10,可考虑利用cosZAPC = , PC、PA 均为未知，而已知 CD = 6, AB 5 ?通过学习三角函数，我彳I知道在直角三角形巴一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与相的大小之间可以相互转化？类似的？可以在等腰 三角形 中建立边角之间的联系？我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫神顶角的正对(sad)?如图1，在Z

11、XABC中，AB = AC,顶角A的正对记作sadAf这时sadA =八= J二.容易知道一个角的大小勺这个角的正对值也是相互唯一确定ad腰的?根据上述角的正对定义，解下列问题：(1) sad60°= .(2)对于0 < A < 180 , ZA的正对值sadA的取值范围是 . 3(3)如图1已知sinA= t其中为锐角，试求sadA的值.【答案与解析】(1)1 ;(2) 0 < sadA < 2 ;如图2所示，延长AC到D,使AD二AB,连接BD .?. AD = AB = 5a,由 sin A =二得 BC 二 3at AB 5AC = yj(5a)2 (3?)2 = 4a ,? ? CD = 5a-4a = a, BD =+(3 )； = VTOt/1中设想AB二AC的长固定，并固