(华杯)16届初一总决赛试题答案讲解版课件

1、第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛初一组一试试题解答一、填空题（共3题，每题10分）-64 - 594,31-.47 842.正方形 ABCD 的面积等于 625 平方厘米.如图，DE 与 CF 相交于 G.已知S.ADE二S.CDG=125 平方厘米. BFG 的面积是_ 平方厘米.答： BFG 的面积是 50 平方厘米.解：由于正方形 ABCD 的面积等于 625 平方厘米.所以，边长AB=25厘米.由于SADE=125 平方厘米，所以 AE=10 厘米.11连接 CE 则sCDE二625 = 312（平方厘米）22而已知SCDG=125 （平方厘米），贝卩匹二SCDG竺DES吐DE3

2、12.522由SADGSADE125 = 50(平方厘米)551 1但SADGS.CBG二 625，而S.BFGS.CBG二625，比较可得SBFG=SADG二50（平方厘米）计算解:(-2)3(_1)4_|1_23|-(-|)3212一 22( ) 1 一 32(-5)-8 1-22-1 46827一 8-59447A_八FBAE2二,连接AG(-2)3(-1)42122(一 4)1一33.用长度分别为1,2,，50的木条去摆三角形，每个三角形的三条边的长度 分别为a,b,c,a：b . c，问(a,b,c)最多有多少种不同的取法？答案：9500.解：利用三条边可以构成三角形的条件：任意的两

3、个边的和大于第三边.边长为 1 的木条不能与其它长度的木条构成三角形.三角形的最小边长为 2 时，边长为 2 的木条只能与差值为 1 的两个木条构成 三角形，故有 47 对.三角形的最小边长为 3 时，边长为 3 的木条只能与差值为 1，2 的两个木条 构成三角形，故有 46+45 对.三角形的最小边长为 4 时，边长为 3 的木条只能与差值为 1，2, 3 的两个木 条构成三角形，故有 45+44+43 对.三角形的最小边长为k(k乞25)时，边长k为的木条只能与差值为 1, 2, 3，.，k -1的两个木条构成三角形，故有(49 -k) (49 -k -1) |l (49 - 2k - 2

4、)对.三角形的最小边长为k(k 25)时，边长k为的木条只能与差值为 1，2, 3，.，k -1的两个木条构成三角形，故有(49-k) (49-k-1) T 对.故总数为(474611 )(45H441 )(1“34|2|kT) k-(2l|1121(321)1-47 24 4523 HI (2k-1) k川53 3 21=2 242232丨1| 1 -(24 231) =9500.二、解答题(共3题，每题10分，写出解答过程)4.用S(n)表示自然数 n 的数字和，如S(1) =1,S(123) =6,S(1234) =10等等，求自然数 n,使得n S(n) =2011.答:1991.解

5、1：n +S(n) =2 0 1,1二1900 c n：2011则可设n =190010 x y或n =200010 x y，其中0乞x9,0空y乞9，且x, y为整数.若n =190010 x y，则190010 x y 19 x y = 2011，即11x 2y =101x =9二丿n =19 9 1若n =2000 10 x y，则200010 x y 2 x y = 2011，即11x 2y = 9没有符合条件的整数解.因此，n =1991.解 2：因为n三S(n)(mod9),要使n S(n)二2011，只须n S(n)三2011(mod9),即2n =2011 =4(mod9) =

6、 n = 2(mod9).已知在n 2011时S(n)最大为 38,所 以1983乞n乞2011,其中被 9 除余 2 的有 1991，2000，2009.其中只有 1991 满足1991+20=2011，所以n =1991.5.两个 21 位自然数 m 和 n,每个都由三个 1、三个 2、三个 3、三个 4、三 个 5、三个 6 和三个 7 组成，使得k =m是自然数，问 k 能取哪几个自然数？说n明你的理由.答：1.777666555444333222111,解：显然k1.777666555444333222111假设存在这样的 m 和 n，使得数m是一个大于 1 的自然数，则可设m= k

7、，nn故m =kn.两边分别除以 9,用数被 9 除的性质知 m 和 n 被 9 除的余数均等于3(1 2 3 4 5 6 7)被 9 除的余数，即 84 被 9 除的余数，为 3.因此 3 与3k模 9 同余.由, m . 777666555444333222111k7，n 111222333444555666777及 m 和 n 不同(即k =1)推得k =4，即m=4 n.考虑数 n 最低位的数字 7，当把n 乘以 4 时，这个数字 7 的下一位（如果有）最多为 6,因此乘以 4 最多进两位， 这说明 m 中对应位的数字为 8 （下面不进位,7X4=28 或 9 （下面进一位）或 0 （

8、下 面进两位），这与 m 由三个 1、三个 2、三个 3、三个 4、三个 5、三个 6 和三个 7 组成相矛盾！即不存在满足条件的 m 和 n.使得数m是一个大于 1 的自然数n所以，只有k =1.6.使得关于未知数 x 的方程-x二k无解的自然数 k 由小到大排成一9L3J行，其前 2011 个 k 的值之和等于多少？解.k0123x1234213J0123设k =5m r, r = 0,1,2,3;令x = 6m p, p待定.从上表可知，P- =r,r =0,1,2,3,是有解的.因此，k =5m r, r= 0,123,（1）都有解.下面考虑k=5m-1.显然，罟書海而对于0 : q：

9、1,上式对于任意0 : q a,根据a1 b题意即，贝U a b=，整理成正整数方程为 10n（b-a2）=ab.10 a从方程中可知a _ a2：b.因为 a 与 b 互质，所以 b- a2与 ab 也互质.因为若 b-a2与 ab 有公因子 p,那么 p 能整除 a（或能整除 b）,也能整除 b-a2, 从而 p 也能整除 b（或也能整除 a）,这样，与题意最简分数（分子与分母互质的分 数）矛盾.因此，互质的 a 与 b 的积只能是10n与 1 的乘积或5n与2n的乘积两种可能.若b =10n, a =1，这时b _a2=1；若 ab=10n=5 2n， b=5n,a = 2n,这时 b-

10、a=1 得 5n-（2n）2= 1 ,即n5n- 2 i -1.因此，n 只能是 1 时才成立，即 a=2，b=5.最简分数为5.2二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4.将正整数 1, 2, 3, -，8 分别放置于正方体的 8 个顶点，每个顶点与相 邻 3个顶点上的数之和称为该顶点的 众数”对每一种填法，都可以得到最大 众 数”的与最小 众数”的差，那么这个差至少等于多少.答：2解：首先考虑这样的 8 个众数能否全相等，如果能，因为它们的和等于 144, 即（1 +2 + 3+_8）汉4 = 36汇4 =144，所以每个都等于 18，那么最大与最小的众数之差就是 0.如果不能全相

11、等，为了求得最小可能值，如果有一个是19,那么相应地得有一个是 17,（总和须等于 144）所以这个最小的可能值就不能小于19一17 =2这样我们只要先证明 8 个众数不能全相等，然后找出一种布法，其最大与最 小众数之差等于 2,就可以断定所求的这个最小值是 2.设顶点的编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,如图，记在顶点 i 的数为 x，14 8,.这样，顶点 1 的众数为 x2x3X4;顶点 5 的众数为 XiX5X6X8.若此二顶点的众数相等，贝 U等于 14.问这样的三角形共有多少个？（三条边长分别对应相等的三角形只算 1个）答：12 个.解：设三角形三条边长分别为a,

12、b,c，由已知等式可得：2 2 2 a -b亠b -c亠a -c14.令a -b =m,b -c = n，贝a -c =m n，其中m,n均为自然数.于是，等式变为m2 n2 mn = 7.由于m,n均为自然数，判断易知，（m-n）2mn = 7= 3mn 乞 7.f m二2 f m二1因此，使得等式成立的 m , n 只有两组：和 f .ln=1In =2（1）当 m= 2, n= 1 时，b=c+1,a=c+3 又 a, b, c 为三角形的三边长，所以b c a，即c 1 c . c 3，解得c . 2.又因为三角形的周长不超过 28,即捲X2X4X5=捲X5X6X8=X2X4同样地，顶

13、点 2 的众数为 X1X2X3X6，顶点 4 的众数为 X1X3X4Xs,若此二顶点的众数相等，则X1x2x3x6二捲x3x4x8X2由上面得到的二式相加得2X2X8,即 x2=沧,这是不可能的.这就证明了 8 个众数不能全相等 构造一个摆放方式的图例（见右图）， 最大数和最小数的差等于 2,故最小差值等于 2.5.已知三角形边长都是整数，周长不超过28，三个边长两两之差的平方和x6= x4X8a亠b亠c =3c亠4込28,解得c込8.因此 2：c 込8,所以 C 可以取值 3, 4, 5, 6,7, 8, 对应可得到 6 个符合条件的三角形.(2)当m =1,n =2时，b二c 2,a二c

14、3.a,b,c又为三角形的三边长，所以b c a,即c 2 c . c 3.解得c 1.又因为三角形的周长不超过 28 ,即23a b c 3 c 2 c 28,解得c冬一,因此1：c乞7,所以 c 可以取值 2, 3,34, 5, 6, 7,对应可得到 6 个符合条件的三角形，且和(1)中得到的三角形不 同.综合可知：符合条件且周长不超过28 的三角形的个数为6 6 =12个.6.求最小自然数k,使得对于任意正整数n, k个奇数2n+1,2n+3,n+2k-1 中至少有一个数，不能被 3, 5, 7, 11 中的任何一个整除.解试验可知，我们有 6 个奇数:115,117,119,121,1

15、23,125 它们中每一个都可 以被 3,5,7,11 中的一个或几个数整除.所以,k6.对于任意的正整数 n,当 k6 时，取前 7 个数：2n+1,2n+3,.2n+13(1)由于 2个能被 3整除的奇数之差，不小于 6; 2个能被 5整除的奇数之差，不小于 10;2 个能被 7 整除的奇数之差，不小于 14; 2 个能被 11 整除的奇数之差，不小于 22. 因此，(1)中能被 3 整除的数最多有 3 个，且只能是 2n+1, 2n+7, 2n +13.(1)中能被 5 整除的数最多有 2 个，且只能是 2n+1,2n+11 或者 2n+3, 2n +13;(1)中能被 7 整除的数最多有 1 个；(1)中能被 11 整除的数最多有 1 个.下面证明(1)中能被 3 或 5 整除的数的个数不超过 4