方法技巧专题09,,直线与圆锥曲线,(解析版)

1、方法技巧专题09,直线与圆锥曲线,(解析版) 方法技巧专题 9 直线与圆锥曲线 解析版 一、 知识框架 二、直线与圆锥曲线的位置关系 1. 例题 【例 1】已知椭圆2 214 3x y+ = ，直线 l ： ( ) 1 x my m m r + - = Î ，直线 l 与椭圆的位置关系是（ ） a相离 b相交 c相切 d不确定 【解析】直线 l ： ( ) 1 x my m m r + - = Î 化为 ( ) 1 1 0 x m y - + - = ， 可得直线 l 恒过点 ( ) 1,1 ，由2 21 114 3+ < 可知该点在椭圆内部. 所以直线 l 与椭圆相

2、交， 直线与圆锥曲线的位置关系： 1.代数法：把圆锥曲线方程 c 与直线方程 l 联立，消去 y (也可以消去 x )，整理得到关于 x （或者 y ）的一元方程 02= + + c bx ax . （1）当 0 ¹ a 时：计算 ac b 42- = d . 若0，则 c 与 l 相交； 若0，则 c 与 l 相切； 若0，则 c 与 l 相离； （2）当 0 = a 且 0 ¹ b 时：即得到一个一次方程，则 c 与 l 相交，且只有一个交点。 若 c 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若 c 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平

3、行或重合 2.几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线的图像，利用图象和性质可判断 c 与 l 的位置关系 故选：b. 【例 2】已知点 , a b 为曲线1yx= 上两个不同的点， , a b 的横坐标1 2x x 、 是函数21( ) ln2f x ax ax x = - -的两个极值点，则直线 ab 与椭圆2214xy + = 的位置关系是（ ） a相离 b相切 c相交 d位置关系不确定 【解析】由21( ) ln2f x ax ax x = - - ，得21 1( )ax axf x ax ax x- -¢ = - - = ， 因为 , a b 的横坐标1 2x x 、

4、是函数21( ) ln2f x ax ax x = - - 的两个极值点， 所以1 2x x 、 是方程21 0 ax ax - - =的两根， 因此1 21 2110x xx xaa+ = ìïï= -íï¹ ïî，又点 , a b 为曲线1yx= 上两个不同的点， 所以1 21 2 1 21 11abx xk ax x x x-= = - =- 因此直线 ab 的方程为：111( ) y a x xx- = -， 即1 1 2 1 211( ) ( 1) y ax ax ax ax ax ax a x x ax

5、 a a xx= - + = - - = - + = - = -， 即直线 ab 恒过定点 (1,0) ，又点 (1,0) 显然在椭圆2214xy + = 内， 因此直线 ab 与椭圆2214xy + = 必相交. 故选：c. 【例 3】已知 是椭圆 的左右焦点，是直线 上一点，若的最小值是 ，则实数 _. 【解析】依题意椭圆 ，则 ， ，又因为， 是直线 上一点，1 2, f f2 2: 14 3x yc + = p: ( ) l y x m m r = + Î1 2pf pf +4m =2 2: 14 3x yc + = 2 4 a= 2 a = p: ( ) l y x m m

6、 r = + Î 若 的最小值是 ，则此直线与椭圆相切.由 消去 并化简得，判别式 ，解得 . 故答案为： . 【例 4】直线 3 y x = + 与曲线219 4x x y- = （ ） a没有交点 b只有一个交点 c有两个交点 d有三个交点 【解析】当 0 x £ 时，曲线为2 219 4y x+ = ，与直线方程联立得：213 24 0 x x + = 解得：10 x = ，22413x = - 此时直线与曲线有两个交点 当 0 x > 时，曲线为2 219 4y x- = ，与直线方程联立得：25 24 0 x x - = 解得：10 x = （舍），2245

7、x = 此时直线与曲线有一个交点 综上所述：直线与曲线有三个交点 故选： d 【例 5】已知直线 与双曲线 的右支相交于不同的两点，则 k 的取值范围是（ ） a b c d 【解析】双曲线渐近线为 ，直线 过定点 .画出双曲线的图像以及双曲线渐近线的图像如下图所示，由图可知，要使直线 与双曲线 的右支相交于不同的两点，则 ，结合选项可知只有 d 选项符合.由 消去 得 ，化简得，因为直线 与双曲线 的右支相交于不同的两点，所以，解得 . 故选：d. 1 2pf pf +42 214 3x yy x mì+ = ïíï= +îy2 27 8 4

8、 12 0 x mx m + + - = ( )248 7 0 m d = - =7 m = ±7 ±2 y kx = +2 24 x y - =( 1,1) -( 2 , 2 ) - (1, 2 ) ( 2 , 1) - -y x =± 2 y kx = + (0,2)2 y kx = +2 24 x y - = 1 k <-2 224y kxx y= + ìí- =îy( )222 4 x kx - + =( )2 21 4 8 0 k x kx - - - = 2 y kx = +2 24 x y - =( )2 216

9、32 1 01k kkì d =+ - >ïí< - ïî2 1 k - < < - 【例 6】已知双曲线 c ：( )2 22 21 0, 0x ya ba b- = > > 的左右焦点分别为1f ，2f ，过1f 的直线 l 与圆 2 2 2x y a + =相切于点 t ，且直线 l 与双曲线 c 的右支交于点 p ，若t f p f1 14 =，则双曲线 c 的离心率为_. 【解析】 如图，由题可知1 2of of c = = ， ot a = ，则1ft b = ， 又 t f p f1 14 =

10、，3 tp b =，14 fp b =， 又1 22 pf pf a - = ，24 2 pf b a = - 作2/ / f m ot ，可得22 f m a = ， tm b = ，则 2 pm b = 在2mpf d ，2 2 22 2pm mf pf + = ，即 ( )222 c b a = - ， 2b a c = + 又2 2 2c a b = +，化简可得2 23 2 5 0 c ac a - - =，同除以2a ，得23 2 5 0 e e - - = 解得53e = ，双曲线的离心率为53 【例 7】若直线 21 0 x cy - + =是抛物线2x y =的一条切线，则

11、c = _ 【解析】联立直线和抛物线得到22 1 0 x cyx y- + = ìí=î22 1 0 cx x Þ - - = 0 1 c Þd= Þ =- 故答案为： 1 - . 【例 8】已知抛物线 c 的方程为212x y = ，过点 (0, 1) a - 和点 ( 3) b t， 的直线与抛物线 c 没有公共点，则实数 t 的取值范围是（ ） a ( , 1)(1, ) -¥ - È +¥ b2 2( , ) ( , )2 2-¥ - È +¥ c ( , 2 2)

12、(2 2, ) -¥ - È +¥ d ( , 2) ( 2, ) -¥ - È +¥ 【解析】据已知可得直线 ab 的方程为41 y xt= - ， 联立直线与抛物线方程，得24112y xtx y= -=，消元整理，得242 1 0 x xt- + = ， 由于直线与抛物线无公共点，即方程242 1 0 x xt- + = 无解， 故有24( ) 8 0t- - < ，解得2 t >或2 t < -. 【例 9】过点 (0,2) p 且与抛物线22 ( 0) y px p = > 只有一个公共点的直线有（

13、） a1 条 b2 条 c3 条 d4 条 【解析】画出图像如下图所示，由图可知， 2, 0 y x = = 这两条直线与抛物线只有一个公共点，另外过 p点还可以作出一条与抛物线相切的直线 pa ，故符合题意的直线有 3 条，故选 c. 2. 巩固提升综合练习 【练习 1】已知曲线1 :2 c y x - = 与曲线2 22 :4 c x y l + = 怡好有两个不同的公共点，则实数 l 的取值范围是（ ） a ( ) , 1 0,1 -¥ - b ( 1, 1 - - c ) 1,1 - d ( ) 1,0 1, - +¥ 【解析】双曲线1c 的方程为2, 022, 0

14、y yx yy y- ³ ì= - = í - -<î， 所以，曲线1c 的图象与曲线2c 的图象必相交于点 ( ) 0, 2 ± ， 为了使曲线1c 与曲线2c 恰好有两个公共点， 将2 x y = -代入方程2 24 y x l + = ，整理可得 ( )21 4 4 4 0 y y l l l + - + - = . 当 1 l =- 时，2 y = 满足题意； 当 1 l ¹- 时，由于曲线1c 与曲线2c 恰好有两个公共点， ( )( )216 16 1 1 16 0 l l l d= - + - = > ，且

15、2 是方程 ( )21 4 4 4 0 y y l l l + - + - = 的根， 则( ) 4 101ll-<+，解得 1 1 l - < < . 所以，当 0 y 时， 1 1 l - £ < . 根据对称性可知，当 0 y < 时，可求得 1 1 l - £ < . 因此，实数 l 的取值范围是 ) 1,1 - . 故选：c. 【练习 2】对不同的实数值 m ,讨论直线 yx m = +与椭圆2214xy + = 的位置关系. 【解析】由2214y x mxy= + ìïí+ =ï

16、8;消去 y 得，2 25 8 4 4 0 x mx m + + - = ( ) ( )2 2 264 4 5 4 4 16 5 m m m d = - ´ ´ - = - 当 0 d > 时，25, 5 5 m m < - < < ，此时直线与椭圆相交； 当 0 d = 25, 5 m m = = ± ，此时直线与椭圆相切； 当 0 d < ，25, 5 5 m m m > > < - 或 此时直线与椭圆相离. 【练习 3】过点 ( ) 3,0 和双曲线 ( )2 21 0 x ay a - = > 仅有一交

17、点的直线有（ ） a1 条 b2 条 c4 条 d不确定 【解析】直线斜率不存在时,不满足条件； 直线斜率存在时,与渐近线平行的直线,满足题意 过点 ( ) 3,0 和双曲线 ( )2 21 0 x ay a - = > 仅有一交点的直线有 2 条 故选:b 【练习 4】已知双曲线( )2 22 21 0, 0x ya ba b- = > > 的右焦点为 f，过点 f 且倾斜角为 45的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） a (1, 2 b (1,2) c (1, 2) d ( 2, ) +¥ 【解析】双曲线2 22 21x ya

18、 b- = 的渐近线方程为by xa= ± ， 由题意可知，双曲线渐近线的倾斜角范围是 0,4p æ öç ÷è ø， 渐近线斜率 1 ( ) 0, kÎ ，而2 2b c aka a-= =， 由此得不等式2 221c aa-< ，即2 22 c a <， 故2222cea= < ，所以 1 2 e < < ， 故选：c 【练习 5】已知抛物线24 y x = ，直线 l 过定点(-1,0)，直线 l 与抛物线只有一个公共点时，直线 l 的斜率是_. 【解析】由题意可设直线方程为：y

19、k（x+1）， 联立方程可得，( )214y k xy xì = +í=î，整理可得 k 2 x 2 +（2k 2 4）x+k 2 0（*） 直线与抛物线只有一个公共点（*）只有一个根 k0 时，y0 符合题意 k0 时， （2k 2 4） 2 4k 4 0 整理，得 k 2 1， 解得 1 k = 或 k1 综上可得， 1 k = 或k1 或 k0 故答案为1 或 0 或 1 【练习 6】已知抛物线21 :2 c y px = 的焦点 f 与椭圆2 218 4x y+ = 的右焦点重合，抛物线1c 的准线与 x 轴的交点为 k ，过 k 作直线 l 与抛物线1c

20、 相切，切点为 a ，则afk 的面积为（ ） a32 b16 c8 d4 【解析】抛物线1c 的焦点为 ,02p æ öç ÷è ø,椭圆的焦点为 ( ) 2,0 ,所以 22p= ,即 4 p = , 所以抛物线方程为:28 y x = ,则 k 为 ( ) 2,0 - , 设直线 l 为 ( ) 2 y k x = + ,则联立( )228y k xy xì = +í=î,消去 y ,可得 ( )2 2 2 24 8 4 0 k x k x k + - + = , 因为直线 l 与抛物线1c 相切,

21、所以( )22 2 24 8 4 4 0 k k k d = - - × = ,则 1 k =± , 当 1 k = 时,直线 l 为 2 y x = + ,则点 a 为 ( ) 2,4 ,则1 14 4 82 2afk as af y = × = ´ ´ = , 由抛物线的对称性,当 1 k =- 时, 8afks = ,故选:c 三、直线与圆锥曲线中的弦长与面积问题 【一】弦长公式 1. 例题 【例 1 1】 】斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x24 y2 1 相交于 a，b 两点，则|ab|的最大值为( ) a2 b. 4 55 c. 4

22、 105 d. 8 105 【解析】选 c 设 a，b 两点的坐标分别为(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )，直线 l 的方程为 yxt， 由î ïíïì x 2 4y 2 4，yxt消去 y，得 5x 2 8tx4(t 2 1)0， 则 x 1 x 2 85 t，x 1 x 2 4(t 2 1)5. |ab| 1k 2 |x 1 x 2 | 1k 2 (x 1 x 2 ) 2 4x 1 x 2 2èæøö 85 t2 4 4(t2 1)5 4 25 5t 2 ， 当 t0 时，|ab| max

23、 4 105. 【例 2 2 】已知椭圆 m ： x2a2 y2b2 1( a b 0)的离心率为63，焦距为 2 2.斜率为 k 的直线 l 与椭圆 m 有两个不同的交点 a ， b . (1)求椭圆 m 的方程； (2)若 k 1，求| ab |的最大值 弦长公式： （1）题设：若斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线方程 c 有两个不同的交点 ） （ ）、 （2 2 1 1, , y x n y x m，则 或 ； （2）通径：过椭圆的一个焦点且与焦点所在轴垂直的弦，长度为： 2b2a； 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦，长度为： 2b2a； （3）题设：若斜率为 k 的直线 l 经过抛物

24、线 px y c 22± = ： 的焦点 f ，且与 c 交于两点） （ ）、 （2 2 1 1, , y x n y x m ，其中 q tan = k，则 q22 1sin2pp x x mn = + + = ； pp pnf mf2cos 11cos - 11 1 1=+ = +q q； （4）题设：若斜率为 k 的直线 l 经过抛物线 py x c 22± = ： 的焦点 f ，且与 c 交于两点） （ ）、 （2 2 1 1, , y x n y x m ，其中 q tan = k，则 qpq222 1cos2)2( sin2 p pp y y mn =+= +

25、+ = ； p nf mf2 1 1= + ； mn 2 21 2 1 2(1 )( ) 4 k x x x x + + - mn 21 2 1 221(1 )(y ) 4 y y yk+ + - 【解析】(1)由题意得îïíïì a 2 b 2 c 2 ，ca 63，2c2 2，解得 a 3，b1. 所以椭圆 m 的方程为 x23 y2 1. (2)设直线 l 的方程为 yxm，a(x 1 ，y 1 )，b(x 2 ，y 2 ) 由îïíïì yxm，x 23 y2 1，得 4x 2 6mx3

26、m 2 30， 所以 x 1 x 2 3m2，x 1 x 2 3m2 34. 所以|ab| (x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 2(x 2 x 1 ) 2 2(x 1 x 2 ) 2 4x 1 x 2 123m 22. 当 m0，即直线 l 过原点时，|ab|最大，最大值为 6. 【例 3 3 】椭圆 e：x 2a 2 y 2b 2 1(ab0)的左焦点为 f 1 ，右焦点为 f 2 ，离心率 e12 ，过 f 1 的直线交椭圆于 a，b 两点，且abf 2 的周长为 8. (1)求椭圆 e 的方程； (2)若直线 ab 的斜率为 3，求abf 2 的面积 【解析】(1)由题意

27、知，4a8，所以 a2， 又 e 12 ，所以ca 12 ，c1， 所以 b 2 2 2 13， 所以椭圆 e 的方程为 x24 y 23 1. (2)设直线 ab 的方程为 y 3(x1)， 由îïíïì y 3(x1)，x 24 y 23 1，得 5x 2 8x0， 解得 x 1 0，x 2 85 ， 所以 y 1 3，y 2 3 35. 所以 sabf 2 c|y 1 y 2 |1 ïïïï3 3 35 8 35. 【例 4 4】 】已知 是抛物线 的焦点，则过 作倾斜角为 的直线分别交抛物线于 （

28、 在 轴上方）两点，则 的值为( ) f24 y x = = f 60°, a bax| | |afbf a b c d 【解析】 ， . 【例 5 5 】设抛物线 c ： y2 4 x的焦点为 f ，过 f 且斜率为 k ( k 0)的直线 l 与 c 交于 a ， b 两点，| ab |8. (1)求 l 的方程； (2)求过点 a ， b 且与 c 的准线相切的圆的方程 【解析】(1)由题意得 f(1,0)，l 的方程为 yk(x1)(k0) 设 a(x 1 ，y 1 )，b(x 2 ，y 2 )， 由î ïíïì yk(x1)

29、，y 2 4x得 k 2 x 2 (2k 2 4)xk 2 0. 16k 2 160，故 x 1 x 2 2k2 4k 2. 所以|ab|af|bf|(x 1 1)(x 2 1) 4k2 4k 2. 由题设知 4k2 4k 28，解得 k1 或 k1(舍去) 因此 l 的方程为 yx1. (2)由(1)得 ab 的中点坐标为(3,2)， 所以 ab 的垂直平分线方程为 y2(x3)， 即 yx5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0 ，y 0 )， 则îïíïì y 0 x 0 5，(x 0 1) 2 (y0 x 0 1) 2216. 解得î

30、; ïíïì x 0 3，y 0 2或î ïíïì x 0 11，y 0 6. 因此所求圆的方程为(x3) 2 (y2) 2 16 或(x11) 2 (y6) 2 144. 【例6 6】 】已知抛物线y 2 16x的焦点为f，过f作一条直线交抛物线于a，b两点，若|af|6，则|bf|_. 【解析】不妨设 a(x 1 ，y 1 )，b(x 2 ，y 2 )(a 在 b 上方)，根据焦半径公式|af|x 1 p2 x 1 46，所以 x 1 2，y 1 4 2，所以直线 ab 的斜率为 k4 224 2 2

31、，所以直线方程为 y2 2(x4)，与抛物线方程联立得 x 2 10x160，即(x2)(x8)0，所以 x 2 8，故|bf|8412. 答案：12 3 2 3 4| |1 cos60paf = =- °| |1 cos60pbf = =+ °| | 1 0.53| | 1 0.5afbf+ += =- - 【例 7 7 】已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线24x- y 2 1 的右支交于 a，b 两点，若|ab|8，则直线 l 的方程为（ ） ayx21 + byx21 - cyx3 55- dyx3 55+ 【解析】设斜率为 1 的直线 l 的方程为 yx t =

32、+， 联立双曲线方程2214xy - = ，可得2 23 8 4 4 0 x tx t + + + = ， 设1( a x ，1 )y ，2( b x ，2 )y ，可得1 283tx x + = - ，21 24 43tx x+= ， 则2 2 221 2 1 264 16 16 4 3| | 1 1 ( ) 4 2 2 89 3 3t t tab x x x x+ -= + + - = - = = ， 解得21 t = ±，由于直线 l 与双曲线的右支交于两点，可得21 t = -， 则直线 l 的方程为 21 y x = - 故选： b 【例 8 8 】过双曲线2 219 4x

33、 y- = 的左焦点作弦 ab ，使 ab 4 = ，则这样的直线 ab 的条数为_. 【解析】2 213 c a b = + = 当直线 ab 不存在斜率时，直线方程为 13 x = - ，此时把 13 x = - 代入双曲线方程中可得：43y = ± ，此时4 4 8( ) 43 3 3ab = - - = < ，这样有两条直线过左焦点作弦 ab 只与双曲线左支相交，使 ab 4 = ； 直线 ab 与双曲线左右两支都相交时，弦 ab 的最小值为 2 6 a = ，所以过左焦点作弦 ab 与左右两支都相交，使 ab 4 = 的直线是不存在的. 故答案为：2 【例 9 9 】

34、已知双曲线2212yx - = （1）求直线1 y x = + 被双曲线截得的弦长； （2）过点 ( ) 1,1 p 能否作一条直线 l 与双曲线交于 , a b 两点,且点 p 是线段 ab 的中点？ 【解析】（1）设直线1 y x = + 与2212yx - = 的交点 ( ) ( )3 3 4 4, , , p x y q x y 联立方程组22121 y xyxì +- =ïíïî，化简得：22 3 0 x x - - =， 解得3 41, 3 x x = - = ，所以 ( ) ( ) 1,0 , 3,4 p q - ， 所以弦长(

35、) ( )2 21 3 0 4 4 2 pq = - - + - = （2）假设存在直线 l 与双曲线交于 , a b 两点,且点 p 是线段 ab 的中点. 设 ( )1 1, a x y , ( )2 2, b x y ,易知1 2x x ¹ ,由221122221212yxyxì- =ïïíï- =ïî 两式相减得 ()( )( )( )1 2 1 21 2 1 202y y y yx x x x+ -+ - - = , 又1 212x x += ,1 212y y += ，所以 ( ) ( )1 2 1 2

36、2 0 x x y y - - - = ,所以1 21 22aby ykx x-= =-, 故直线 l 的方程为 ( ) 1 2 1 y x - = - ,即 2 1 y x = - . 由222 112y xyx= - ìïí- =ïî,消去 y 得22 4 3 0 x x - = , 因为 16 24 8 0 d= - =- < ,方程无解, 故不存在一条直线 l 与双曲线交于 , a b 两点,且点 p 是线段 ab 的中点. 2. 巩固提升综合练习 【练习 1 1】 】已知椭圆 c 的两个焦点为 f 1 (1,0)，f 2 (1,

37、0)，且经过点 e èæøö3，32. (1)求椭圆 c 的方程； (2)过 f 1 的直线 l 与椭圆 c 交于 a，b 两点(点 a 位于 x 轴上方)，若af 1 2f1 b ，求直线 l 的斜率 k 的值 【解析】(1)设椭圆 c 的方程为 x2a 2 y 2b 2 1(ab0)， 由îïíïì 2a|ef 1 |ef 2 |4，a 2 b 2 c 2 ，c1，解得îïíïì a2，c1，b 3， 所以椭圆 c 的方程为 x24 y 23 1. (

38、2)由题意得直线 l 的方程为 yk(x1)(k0)， 联立îïíïì yk(x1)，x 24 y 23 1，整理得 èæøö3k 2 4 y2 6k y90， 则 144k 21440， 设 a(x 1 ，y 1 )，b(x 2 ，y 2 )， 则 y 1 y 2 6k34k 2 ，y 1 y 2 9k 234k 2 ， 又af 1 2f1 b ，所以 y1 2y 2 ， 所以 y 1 y 2 2(y 1 y 2 ) 2 ， 则 34k 2 8，解得 k52， 又 k0，所以 k52. 【练习 2 2

39、】已知椭圆 : e2 22 21x ya b+ = （ 0 a b > > ）的半焦距为 c ，原点 o 到经过两点 ( ) ,0 c ， ( ) 0,b 的直线的距离为12c （）求椭圆 e 的离心率； （）如图， ab 是圆 : m ( ) ( )2 2 52 12x y + + - = 的一条直径，若椭圆 e 经过 a ， b 两点，求椭圆 e 的方程 【答案】（）32；（）2 2112 3x y+ = 【解析】（）过点 ( ) ( ) ,0 , 0, c b 的直线方程为 0 bx cy bc + - = ， 则原点 o 到直线的距离2 2bc bcdab c= =+， 由

40、12d c = ，得2 22 2 a b a c = = -，解得离心率32cea= = . （）由（1）知，椭圆 e 的方程为2 2 24 4 x y b + = . 依题意，圆心 ( ) 2,1 m - 是线段 ab 的中点，且 10 ab = . 易知， ab 不与 x 轴垂直. 设其直线方程为 ( ) 2 1 y k x = + + ，代入（1）得 ( ) ( ) ( )22 2 21 4 8 2 1 4 2 1 4 0 k x k k x k b + + + + + - = . 设 ( ) ( )1 1 2 2, , , a x y b x y ，则( )1 228 2 11 4k

41、kx xk+ = -+，( )221 224 2 1 41 4k bx xk+ -= -+. 由1 24 x x + = - ，得( )28 2 1= 41 4k kk+- -+，解得12k = . 从而21 28 2 x x b = - . 于是( ) ( )2221 2 1 2 1 21 51 4 10 22 2ab x x x x x x bæ ö= + - = + - = -ç ÷è ø. 由 10 ab = ，得( )210 2 10 b - = ，解得23 b =. 故椭圆 e 的方程为2 2112 3x y+ = . 【

42、练习 3 3】 】已知抛物线 x y c 3 :2= 的焦点为 f ，斜率为 的直线 l 与 c 的交点为 b a, ，与 x 轴的交点为 p （1）若 4 = + bf af ，求 l 的方程； （2）若 ，求 ab 【答案】（1） ；（2） . 【解析】设直线 （1）由题设得 ，故 ，由题设可得 323 ap pb =3 72 8y x = -4 133( ) ( )1 1 2 23: , , , ,2l y x t a x y b x y = +3,04fæ öç ÷è ø1 23| | | |2af bf x x + = +

43、+1 252x x + = 由 ，可得 ，则 从而 ，得 所以 的方程为 （2）由 可得 由 ，可得 所以 从而 ，故 代入 的方程得 故 【练习 4 4 】如图，过抛物线22 ( 0) y px p = > 的焦点 f 的直线 l 交抛物线于点 , a b ，交其准线于点 c ，若4 bc bf = ，且 6 af = ，则 p 为（ ） a94 b92 c 9 d 18 【解析】设准线与 x 轴交于点 p ，作 bh 垂直于准线，垂足为 h . 2323y x ty xì= +ïíï=î2 29 12( 1) 4 0 x t x t

44、+ - + =1 212( 1)9tx x-+ = -12( 1) 59 2t - =78t = -l3 72 8y x = -3 ap pb =1 23 y y = -2323y x ty xì= +ïíï=î22 2 0 y y t - + =1 22 y y + =2 23 2 y y - + =2 11, 3 y y = - =c1 213,3x x = =4 13| |3ab = 由 4 bc bf = ，得：45bh bcpf cf= = ， 由抛物线定义可知： bf bh = ，设直线 l 的倾斜角为 q ， 由抛物线焦半径公式可

45、得：41 cos5pbf bfpf p pq += = =，解得：1cos4q = ， 461 31 cos 314 4p p paf pq = = = = =-，解得：92p = ， 本题正确选项为 b. 【练习 5 5 】已知复数 ( ) , z x yi x y r = + Î 满足： 5 5 2 z z a + - - = （ 0 2 2 5 a < < ），且 z 在复平面上的对应点 p 的轨迹 c 经过点 ( ) 4, 3 . （1）求 c 的轨迹； （2）若过点 ( ) 4,0 a ，倾斜角为4p的直线 l 交轨迹 c 于 m 、 n 两点，求 omn d

46、的面积 s . 【解析】（1）由于复数 ( ) , z x yi x y r = + Î 满足： 5 5 2 z z a + - - = （ 0 2 2 5 a < < ），所以 z 在复平面上的对应点 p 到 ( ) 5,0 - 、 ( ) 5,0 两点的距离之差为常数 2a ，且 0 2 2 5 a < < .所以 p 的轨迹是双曲线的右支.且 5 c = .设轨迹 c 的方程为( )2 22 21 25x yxa a- = ³-，将点 ( ) 4, 3 代入上式得2 216 315 a a- =-，解得24 a =或220 a =（舍去），所以

47、 c 的轨迹方程为( )221 24xy x - = ³ . （2）依题意，直线 l 的方程为4 y x = -，由22414y xxy= - ìïí- =ïî消去 y 得23 32 68 0 x x - + =. 设 ( ) ( )1 1 2 2, , , m x y n x y ，则1 2 1 232 68,3 3x x x x + = × = . 所以( )21 2 1 22 4 mn x x x x = × + -1024 68 4 208 4 262 29 3 9 3´= × - =

48、× = . o 到直线 l 的距离为42 22d = =. 所以1 1 4 26 8 132 22 2 3 3s mn d = × × = ´ ´ =. 【练习 6 6 】已知双曲线 c：2 22 21( 0, 0)x ya ba b- = > > 与双曲线2 2116 4x y- = 有相同的渐近线，且双曲线 c 过点 ( ) 4, 3 (1)若双曲线 c 的左、右焦点分别为1f ，2f ，双曲线 c 上有一点 p，使得1 260 fpf Ð = ° ，求1 2fpf 的面积； (2)过双曲线 c 的右焦点2f

49、 作直线 l 与双曲线右支交于 a，b 两点，若1f ab 的周长是403，求直线 l 的方程 【解析】(1) 设双曲线 c：2 216 4x yl - = ，点 ( )4, 3 代入得：14l = 双曲线 c：2214xy - = 在 pf 1 f 2 中，设1 2, pf m pf n = = ， 2 21 2420 1cos2 2m nm nfpfmnì - =ïí+ -Ð = =ïî ，由得： ( )22 20 m n mn mn - + - = ， 16 2 20 mn mn + - = ， 4 mn = ， 1 21sin

50、60 32pf fs mn = × = ； (2) 11 1 2 240+ 2 2 8 23f abc af bf ab af a bf a ab ab = + = + + + + = + = 83ab = ， 1当直线 ab 斜率不存在时， 1 ab = ，不符合题意（舍） 2当直线 ab 斜率存在时，设 ab： ( ) 5 y k x = - ， 联立：( )22514y k xxyì= -ïíï - =î ， ( )2 2 2 24 1 8 5 20 4 0 k x k x k - - + + = ( )22 221 22 24

51、 11 16 16 813 4 1 4 1kk kab k x xk k+ × += + - = = =- -， 解得： 1 k =± ，此时 >0 d ， 直线 l 方程： 5 y x = - 或 5 y x = - + . 【二】面积问题 1. 例题 【例 1】 】过抛物线24 y x = 的焦点 f 的直线交抛物线于 , a b 两点,点 o 是原点,若 3 af = ;则 aob d 的面积面积问题： 涉及面积的计算问题，常用到三角形面积公式、焦点三角形面积公式、点到直线的距离公式，或把待求面积分解成两个易于求和的三角形面积之和. (1)椭圆焦点三角形面积：

52、） 在椭圆上， （点2 1222tan1pf f p b spf fÐ = =dqq (2)双曲线焦点三角形面积：） 在双曲线上， （点2 1222tan1pf f pbspf fÐ = =dqq (3)抛物线： 题设：若斜率为 k 的直线 l 经过抛物线 px y c 22± = ： 的焦点 f ，且与 c 交于两点） （ ）、 （2 2 1 1, , y x n y x m ，其中 q tan = k，则： qqsin 2sin2 212pmnpsmon= · ´ ´ =d. 题设：若斜率为 k 的直线 l 经过抛物线 py x

53、c 22± = ： 的焦点 f ，且与 c 交于两点） （ ）、 （2 2 1 1, , y x n y x m ，其中 q tan = k，则： qpqpqcos 22sin 22sin2 212 2p pmnpsmon=+= + · ´ ´ =d） （） （. 为 （ ） a22 b2 c3 22 d 2 2 【解析】抛物线24 y x = 焦点为 ( ) 1,0 f ，准线方程为 1 x=- ， 由 3 af = 得1(2,2 2), ( , 2)2a b - 或1(2, 2 2), ( , 2)2a b - 所以12aob a bs of y y

54、d= ´ ´ -1 3 21 2 2 22 2= ´ ´ + = ，故答案为 c 【例 2】 】已知点 f 是抛物线 c ：24 y x = 的焦点，直线 l 与抛物线 c 相切于点 ( )( )0 0 0, 0 p x y y > ，连接 pf交抛物线于另一点 a ，过点 p 作 l 的垂线交抛物线 c 于另一点 b . （1）若01 y = ，求直线 l 的方程； （2）求三角形 pab 面积 s 的最小值 【解析】（1）由01 y = 得1,14p æöç ÷è ø, 设直线 l 的

55、方程为 ( )114t y x - = - , 由( )21144t y xy xì- = -ïíï=î得24 4 1 0 y ty t - + - = , 因为直线 l 与抛物线 c 相切,故 ( )216 4 4 1 0 t t d= - - = ,解得12t = . 故所求直线 l 的方程 ( )1 112 4y x - = - ,即122y x = + . （2）设切线 l 的方程为 ( )0 0t y y x x - = - ,211,4ya yæ öç ÷è ø,222,4

56、yb yæ öç ÷è ø, 又由 a , f , p 三点共线,故/ / fa fp ,2111,4yy faæ ö= -ç ÷è ø,2021,4yfp yæ ö= -ç ÷è ø, 化简可得,1 04 y y = - , 20 04 4, ay yæ ö-ç ÷è ø, 由( )0 024t y y x xy xì - = -í=&

57、#238;得20 04 4 4 0 y ty y x - + - = , 因为直线 l 与抛物线 c 相切,故02 4 y t = ,即02yt = , 故直线 pb 的方程为 ( )00 02yy y x x - = - - ,300 02 2 04yy x y y + - - = , 因此点 a 到直线 pb 的距离为 ( )3022021 20 0 042444 4 4yyyydy y y+ += =+ × +, 由300 022 2 044yy x y yy xì+ - - = ïíï=î得 ( )2 30 0 08 8 0

58、y y y y y + - + = ,0 208y yy+ = -,2 008y yy= - -, 故2 0 020 0 04 4 81 1 2 y y y by y yp = + × - = + × + , 所以( )2202120 00 041 1 4 81 22 24 4pabys d pb yy yy yd+= = ´ ´ + × +× + 32021 14yyæ ö +=ç ÷è ø 330 00 01 4 1 42 164 4y yy yæ ö

59、 æ ö= + ³ × =ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è ø等号成立当且仅当004yy=,即02 y = 时等号成立. 此时三角形 pab 面积 s 的最小值为 16. 例 【例 3 】已知点1f ，2f 是椭圆2 22 2: 1( 0)x yc a ba b+ = > > 的两个焦点， p 为椭圆 c 上一点，且 1 22fpfpÐ = 若1 2pff 的面积为 9，则 b= _ 【解析】1 22fpfpÐ = ,1 2p

60、ff d 的面积为 9， 设1| | pf m = ，2| | pf n = 则2 2 221924m n amnm n c+ = ìïï=íï+ = ïî可得：2 24 36 4 c a + = ， 即2 2 29 a c b - = = ，解得 3 b= 【例 4 】已知点 a(0，2)，椭圆 e：2 22 21x ya b+ = (ab0)的离心率为32，f 是椭圆 e 的右焦点，直线 af的斜率为2 33，o 为坐标原点. (1)求 e 的方程； (2)设过点 a 的动直线 l 与 e 相交于 p，q 两点.当 op

61、q 的面积最大时，求 l 的方程. 【解析】（1）设 ( ) ,0 f c ，因为直线 af 的斜率为2 33， ( ) 0, 2 a - 所以2 2 33 c= ， 3 c =. 又2 2 23,2cb a ca= = - 解得 2, 1 a b = = ，所以椭圆 e 的方程为2214xy + = . （2）解：设 ( ) ( )1 1 2 2, , , p x y q x y 由题意可设直线 l 的方程为： 2 y kx = - ， 联立221 42,xyy kx+ = -，消去 y 得 ( )2 21 4 16 12 0 k x kx + - + = ， 当 ( )216 4 3 0 k d = - > ，所以234k > ，即32k < - 或32k > 时 1 2 1 22 216 12,1 4 1 4kx x x xk k+ = =+ +. 所以( )221 2 1 21 4 pq k x x x x = + + -222 216 4811 4 1 4kkk kæ ö= + -ç ÷+ +è ø2 224 1 4 31 4k kk+ -=+ 点 o 到直线 l 的距离221dk=+所以221 4 4 32 1 4opqks d pqkd