.武汉市中考数学压轴题评析

1、武汉市中考数学压轴题评析1试题如图1,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点，与y轴交于 点D，与x轴交于另一点B.(1)求此抛物线的解析式；(2)若直线y=kx-1(k工0)将四边形ABCD面积二等分，求k的值；(3)如图2,过点E(1,-1)作EF丄x轴于点卩。将厶AEF绕平面内某点旋转180后得MNQ(点M , N , Q分别与点A,E,F对应)，使点M , N在 抛物线上，求M,N的坐标.2试题解析(1)如图1,0 a 3a b,2 9a 9a b.抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点.解得ab2,2.12y=- x2抛物线的解析式

2、(2)方法1:如图1,由y=CD/AB133x21S梯形 ABCD=2(5+3)X2=82得B(4,0)、D(0,2).设直线y=kx-1分别交AB、CD于点H、T,则H(丄，0)、T( - ,2).kk1直线y=kx-1平分四边形ABCD面积，S梯形AHTD=尹梯形ABCD=4.113444 ( 1+)x2=4- k= ,k=时，直线y=x-1将四边形ABCD面积2k k333二等分.方法2:过点C作CG丄AB与点G.13由y=-x2x 2得B(4,0)、D(0,2).CD/AB22由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形，SAODSBCG3设矩形ODCH的对称中心为R,则R( - ,1)

3、.由矩形的中心对称性知：过R点2任一直线将它的面积平分，过R点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD面积平分.2.2当直线y=kx-1经过点R时，得 仁-k-1二k=-,23(3)方法1:如图2,由题意知，四边形AEMN是平行四边形， 二AN/EM且AN=EM.- E(1,-1)、A(-1,0)设M(m,n),贝U N(m-2,n+1) M、N在抛物线上,123nmm 222n 1g(m 2)23-(m 2)222解得m 3, n1.M(3,2),N(1,3).方法2:如图2,由题意知厶AEFMNQ .设M ( m,12 m3m2),N (n.12n3n2222m n2,123(1232) 1;

4、nn 2mm2222解得m3,M(3,2),N(1,3).n 1.MQ=AF=2,NQ=EF=1，/MQN=/AFE=90注：以上的解答是试题命题组给出的参考答案，以下的解法是笔者在试卷抽 样中对学生的解法提炼出来的.这里没有考虑新旧教材的区别，仅供同行研究方法3:如图2,设旋转中心P(m,n),TA(-1,0)E(1,-1),根据中点坐标公式得M2nTM、N在抛物线上，二2nM(3,2),N(1,3).方法4:如图2,由题意知，四边形AEMN是平行四边形，二NM/AE且MN=AE=5,111T直线AE的解析式为y= -x丄，可设MN的解析式为y=丄x+b,2 221消去y,整理得x2-4x-

5、4+2b=0(2m+1,2n)N(2m-1,2n+1)12 (2m1)2212-(2m1)22-(2m1)23(2m21)解得m 1,n 1.y联立方程组-_ x212x2b,2.2设M（xi，yj、N（X2,y2）,由根与系数关系得x1x24,x1x2=2b-4(XiX2)2=(XIx2)2-4x1x2=32-8b而MN2=&1X2)2+(yiy2)2=(xi2112X2)+(wX1+b)-(-2X2+b)=5(XiX2)245(x1x2)2=532-8b=44解得b=72将吒代入方程组解得X13,屮1.X2y21,3.M（3,2）,N（1,3）.3.试题评价从试题的编拟来看，试题简

6、洁, 选拔功能。整道试题阅读量较小，文字表达简练，不像有的压轴题表述冗长，在 阅读理理解题意上增加试题的难度。试题的第（1）问比较常规，学生比较容易上手，增加了学生解决综合题和战胜困难的信心；第（2）问出现的等腰梯形学生应 该是比较熟悉的，这样可以让学生能够心平气和的思考问题，但在思维的层次上 作了一个适当的提升，对中等偏下的学生设置了障碍，第（3）问是为一些优秀学生提供了充分展示自己智力的平台，让这些学生能够脱颖而出。这样，逐步增加 试题思维的难度，达到通过压轴题增加试卷区分度的目的。并且，在问题的设置 中，第（2）、（3）问是两个并列式的问题，这里也体现了试题编拟中人性化的艺 术，学生如何

7、第（2）问不会做，不影响他们解决第（3）问，真正作到人尽其才, 试卷抽样发现就有一部分学生做出了第（3）问，而第（2）问没有做出来。从所考查的知识点和数学思想方法上看， 考点全面，涉及到初中数学中核心内 容。本题以抛物线为载体，综合了函数、方程、点的坐标、直线方程、平行四边 形、等腰梯形、图形面积，图形的对称、平移与旋转，还有三角形全等和勾股定 理等初中数学的主要知识点。在数学思想方法方面，渗透了数形结合和转化等数 学思想，在第（2）问中，通过图形的分割将等腰梯形转化为一个矩形和两个全等 的三角形，在第（3）问中将直线与抛物线的交点问题转化为方程组的问题；考查 了待定系数法，第（1）是求二次函

8、数的解析式，第（2）是求一次函数的解析式。 考查了学生的思维能力、运算能力和创新意识，是一道具有一定思维深度的试题。从能力要求上看，对学生的解题能力提出了较高的要求。 首先，要求考生对图 形的性质能够灵活运用。在第（2）问中，结合点的坐标，推出四边形ABCD是等 腰梯形。在此基础上方法1:求出直线y=kx-1与梯形上下底的交点坐标；方法2： 充分运用等腰梯形的对称性进行图形的分割。在第（3）问中灵活运用平行四边形 对边或对角线的性质。其次，要求考生对问题的条件进行适当的转化，能够将一 个陌生的问题转化为自己熟悉的问题。在试卷抽样过程中，发现大量学生在解决 第（3）问时，对问题中条件“将AEF绕

9、平面内某点旋转180后得MNQ，使 点M,N在抛物线上”有点不知所云，从而导致不能继续思考。其实，从解答中设计的三个问题有层次性，体现了压轴题的发现，这一条件就是等价于“在抛物线上分别找两点M、N，使AEMN为平行四边形”正是因为改变了问题的呈现方式，从而增加了试题的难度。对学生来说， 下一个障碍就是如何将几何问题转化为代数问题了。可以说：数学解题过程就是 一个不停地转化过程。从抽样结果看，本题满分为12分，学生实际均分为2.9分, 难度系数仅有0.25,可见此题对学生的能力要求是比较高的。从试题的解答来看，体现了关注差异、以人为本的新理念。学生个体差异表现 在认知方式与思维策略的不同，以及认

10、知水平和学习能力的差异。从试题的解析 中，我们可以看到在试题的编拟和设计中注重解决问题策略的多样性，每一问学 生解题的入口宽，尊重了学生在解决问题过程中所表现出来的不同水平，给不同 的学生创造成功的机会。有利于增强学生进一步学习数学的兴趣和信心，体现了 人文关怀，凸现了以人为本的新理念。在第（2）问学生可以从代数和图形特征两 个角度进行思考；在第（3）问可以从平移、三角形全等、中点坐标、一元二次方 程根与系数的关系等角度进行解决。比较几种解法，方法的技术含量越高，显得 解决过程（往往表现为计算过程或推理过程）越简捷，例如第（3）问的方法1, 这里体现了新教材中新增内容一一图形变换的考查，这种方

11、法的运用也给学生的 创新意识提出了更高的要求。并且该问还考虑到不同学生的能力水平的差异，设 计了辅助厶AEF，达到让部分学生能够“跳起来就可以摘到桃子”的目的。从初中、高中教学的衔接上看，本题有很好的发展性和导向性。 从初中数学的 视角来看，如上所述，本题考查了初中阶段所学的诸如函数、方程、变换、面积 等重要知识点。同时又要求学生有扎实的数学功底、较强的分析问题和解决问题 的能力，特别是问题的转化和联想能力。从高中数学的视角来看，本题为高中阶 段进一步学习直线的斜率、向量的平移、直线与曲线的交点坐标的求法等知识埋 下了“伏笔”。从追求完美来看，本题有一点小小的遗憾。从解答中，我们发现在（3）问中所求N点坐标为（1,3），而E点坐标是（1,-1），所以EN/y轴，从而发现条 件E点坐标有点特殊（因为导致结果有点特殊）。于是在试卷抽样中发现了如下的 “投机取巧”的方法。如图3,延长EF交抛物线于N,再过D作DM丄NE,垂足为点Q,DQ交抛 物线于点M。再连MN、AN、EM、AM，并且AM与EN交于点P。很易求得N（1,3）、Q（1,2）、M（3,2）由坐标知厶AEFMNQ AE=MQ/MNQ=/AEF AE/MQ四边形AEMN是平行四边形将厶AEF绕平行四边形AEMN的中心P旋转180后得到的厶MNQ，顶点M , N在抛物线上。 M（3,2）,N（1