用数学归纳法证明不等式(共5页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上人教版选修45不等式选讲课题：用数学归纳法证明不等式教学目标：1、牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。重点、 难点：1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。教学过程： 一、复习导入：1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？（1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有

2、关的命题的一种方法。（2）步骤：1）归纳奠基;2）归纳递推。2、作业讲评：（出示小黑板）习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+2n=n(n+1)如采用下面的证法，对吗？证明：当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。假设n=k时，（kN，k1）等式成立，即2+4+6+8+2k=k(k+1)当n=k+1时，2+4+6+8+2k+2(k+1) n=k+1时，等式成立。由可知，对于任意自然数n，原等式都成立。（1）学生思考讨论。（2）师生总结： 1）不正确2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，违背了数学归纳法本质：递推性。二、新知探究明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如

3、何用数学归纳法证明不等式。(出示小黑板)例1 观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。an=n2:1,4,9,16,25,36,49,64,81, bn=2n:2,4,8,16,32,64,128,256,512, （1）学生观察思考（2）师生分析（3）解：从第5项起，an bn ，即 n2n,nN+（n5）?你能说出证明中每一步的理由吗？证明：（1）当n=5时，有5225，命题成立。（2）假设当n=k（k5）时命题成立即k22k当n=k+1时，因为（k+1）2=k2+2k+1k2+2k+k=k2+3kk2+k2=2k222k=2k+1所以，（k+1）22k+1即n=k+1

4、时，命题成立。由（1）（2）可知n2n（nN+，n5）学生思考、小组讨论：放缩技巧：k2+2k+1k2+2k+k；k2+3kk2+k2归纳假设：2k222k例2 证明不等式Sin nnSin(nN+)分析：这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。证明：（1）当n=1时，上式左边=Sin=右边，不等式成立。（2）假设当n=k（k1）时命题成立，即有Sin kkSin当n=k+1时，?你能说出证明中每一步的理由吗？Sin （k+1）=Sin kCos+Cos kSin Sin kCos+Cos kSin =Sin kCos+Co

5、s kSin Sin k+Sin kSin+Sin =（k+1）Sin所以当n=k+1时，不等式也成立。由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。学生思考、小组讨论：绝对值不等式: a+b a+b三角函数的有界性：Sin1,Cos1三角函数的两角和公式。（板书）例3 证明贝努力（Bernoulli）不等式:如果x是实数且x-1，x0,n为大于1的自然数，那么有（1+x）n1+nx分析：贝努力不等式中涉几个字母？（两个：x,n）哪个字母与自然数有关？ (n是大于1的自然是数)（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x20，则原不等式成立（在这里，

6、一定要强调之所以左边右边，关键在于x20是由已知条件x0获得，为下面证明做铺垫）（2）假设n=k时（k2），不等式成立，即（1+x）k1+kx师：现在要证的目标是（1+x）k+11+（k+1）x，请同学考虑生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当n=k+1时应构造出归纳假设适应的条件所以有：（1+x）k+1=（1+x）k（1+x），因为x-1（已知），所以1+x0于是（1+x）k（1+x）（1+kx）（1+x）师：现将命题转化成如何证明不等式（1+kx）（1+x）1+（k+1）x显然，上式中“=”不成立故只需证：（1+kx）（1+x）1+（k+1）x提问：

7、证明不等式的基本方法有哪些？生：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用）生：证明不等式（1+kx）（1+x）1+（k+1）x，可采用作差比较法（1+kx）（1+x）-1+（k+1）x=1+x+kx+kx2-1-kx-x=kx20（因x0，则x20）所以，（1+kx）（1+x）1+（k+1）x生：也可采用综合法的放缩技巧（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx2=1+（k+1）x+kx2因为kx20，所以1+（k+1）x+kx21+（k+1）x，即（1+kx）（1+

8、x）1+（1+k）x成立生：（学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结）师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生用放缩技巧证明显然更简便，利于书写（板书）将例3的格式完整规范证明：（1）当n=2时，由x0得 （1+x）2=1+2x+x21+2x,不等式成立。（2）假设n=k（k2）时，不等式成立，即有（1+x）k1+kx当n=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k（1+x）（1+kx）=1+x+kx+ kx21+x+kx=1+（k+1）x所以当n=k+1时，不等式成立由可知，贝努力不等式成立。（通过例题的讲解，在第二步证明过程中，通常要进行合理放缩，以达到转化目的）三、课堂小结1用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好