2018版高考数学大一轮复习第十三章推理与证明、算法、复数13.5复数试题理北师大版

1、第十三章 推理与证明、算法、复数 13.5 复数试题 理 北师大版基础知识自主学习EI知识梳理-i .复数的有关概念(1)定义：形如a+bi(a,b R)的数叫作复数，其中a叫作复数z的实部，b叫作复数z的 虚部.(i为虚数单位)分类：满足条件(a,b为实数)复数的分类a+bi 为实数？b= 0a+bi 为虚数？b0a+bi 为纯虚数？a= 0 且 bK复数相等：a+bi =c+di ?a=c且b=d(a,b,c,d R).共轭复数：a+bi 与c+di 共轭?a=c,b=d(a,b,c,d R).模：向量 6Z勺模叫作复数z=a+bi 的模，记作|a+bi|或 LzL，即|z| = |a+b

2、i| = _ a2+b2(a,b R).2 复数的几何意义 复数z=a+bi 与复平面内的点Z(a,b)及平面向量0Z=(a,b)(a,b R)是一一对应关系.3 复数的运算(1) 运算法则：设 乙=a+bi ,Z2=c+di ,a,b, c,d R彳昱 比人W+M)土( (r+曲扫也土 土旳L_二2 茲R、他+圧)(心+衍)=(口7占办H址+皿烦 .2几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZZ乙可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即0Z= Oz+Oz,Z1Z2=OZOZ.2【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“X”）（1）方程X2

3、+x+1 = 0 没有解.（X）复数z=a+bi（a,b R）中，虚部为bi.（X）（3）复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.（X）（4）原点是实轴与虚轴的交点.（V）（5）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.（V）考点自测1.（2016 全国乙卷）设（1 + 2i）（a+ i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A. 3 B . - 2 C . 2 D . 3答案A解析/ (1 + 2i)(a+ i) =a 2 + (2a+ 1)i， a 2= 2a+ 1,解得 a= 3,故选 A.2.(2015 课标全国I)已知复数z满足(z 1

4、)i = 1 + i，则z等于()A. 2 i B . 2+ i C . 2 i D . 2+ i答案C解析由（z 1）i = 1 + i，两边冋乘以一 i，则有z 1 = 1 i，所以z= 2 i.3 . （2016 黄山一模）设 i 是虚数单位，若z= cos0+ isin0，且其对应的点位于复平面 内的第二象限，贝 U0位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析/z= cos0+ isin0对应的点的坐标为(cos0， sin0)，且点(cos0， sin0)cos00，0为第二象限角，故选B.4 .（教材改编）在复平面内，向量AB寸应的复数是 2+ i，向量6B

5、寸应的复数是一 1 3i，则向量CA寸应的复数是（）3B. 1 + 2iC. 3+ 4iD. 3 4i答案 D解析CA=CBBA= 1 3i + ( 2 i) = 3 4i.2 0112 0122 0132 0142 0152 0162 0175. i + i + i + i + i + i + i = _答案 1解析 原式=i3+ i4+ i1+ i2+ i3+ i4+ i = 1.题型分类深度剖析题型一复数的概念例 1(1)(2015 福建)若(1 + i) + (2 3i) =a+bi(a,b R i 是虚数单位)，贝 Ua,b的值分别等于()A. 3, 2B. 3,2C. 3, 3D.

6、 1,4若乙=(m2+n+ 1) +(m+m-4)i(R),Z2= 3 2i，则m= 1” 是Z1=Z2” 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2016 天津)i 是虚数单位，复数z满足(1 + i)z= 2，则z的实部为 _ .答案(1)A(2)A(3)1解析(1) (1 + i) + (2 3i) = 3 2i =a+bi , a= 3, b= 2,故选 A. 2m+m+1 = 3,由2解得 m= 2 或 m= 1,m+ m- 4 = 2,所以m= 1”是乙=乙2”的充分不必要条件.2(3)T(1 + i)z= 2 ,z=市=1 i，其实部为1.

7、引申探究1.将本例(1)中方程左边改为(1 + i)(2 3i)，求a,b的值.解 (1 + i)(2 3i) = 2 + 3 i = 5 i =a+bi ,所以a= 5,b= 1.A. 1 2i42 .将本例(3)中的条件“ (1 + i)z= 2”改为“ (1 + i)3z= 2”，求z的实部.z=+3= 2+ 2i11一一 i51 z 的实部为一2思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1) 复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2) 解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,bR)的形

8、式，以确定实部和虚部.rZlZlHl 黒 (1)已知a R 复数zi= 2 +ai ,Z2= 1 2i，若一为纯虚数，则复数 一的虚部为Z2Z2( )2A. 1 B . i C. - D . 05已知复数z满足z2= 4，若z的虚部大于 0，则z=_ .答案(1)A(2)2iz12 +ai +a+2 2a4+aZ1解析 (1)由一=+ i 是纯虚数，得a= 1，此时一=Z21 2i555乙i，其虚部为 1.设z=a+bi(a,bR, b0),则z2=a2b2+ 2abi = 4,因此a= 0,b2= 4,b=2,又b0,.b= 2,.z= 2i.题型二复数的运算命题点 1 复数的乘法运算例 2

9、(1)(2016 四川)设 i 为虚数单位，则复数(1 + i)2等于()A. 0 B . 2 C . 2i D . 2+ 2i(2)(2016 全国乙卷)设(1 + i)x= 1 +yi，其中x,y是实数，则|x+yi|等于()A. 1 B. 2 C. .3 D . 2(2015 课标全国 n )若a为实数，且(2 +ai)(a 2i) = 4i，贝 Ua等于()A. 1 B . 0 C . 1 D . 2答案(1)C(2)B(3)B解析 (1)(1 + i)2= 12+ i2+ 2i = 1 1+ 2i = 2i.(2)由(1 + i)x= 1 +yi，得x+xi = 1 +yi622因为

10、a为实数，且(2 +ai)(a 2i) = 4a+ (a 4)i = 4i，得 4a= 0 且a 4 = 4，解得a= 0,故选 B.所以 |x+yi| = ,x2+y2=f 2,故选 B.7A.1 + 2iB. 1 2iC. 1+ 2iD. 1 2iz（2016 全国丙卷）若 z = 4+ 3i，则可等于（）A. 1B. 143C.5+5i4 35i(3)若复数z满足(3 4i)z=|4 + 3i|，则z的虚部为（）A. 4 B . 5 C . 4 D.4答案 (1)B(2)D(3)D解析 (1)设z=a+bi(a,b R)，贝 Uz=abi，二 2(a+bi) + (abi) = 3 2i

11、，整理得 3a+bi = 3 2i，3a= 3,b= 2,命题点 2 复数的除法运算例 3 （1）（2016 全国丙卷）若z= 1 + 2i，则 等于（）z z 1A. 1 B 1 C . i D i1+ 2i（2016 北京）复数等于（2 iA. i B . 1 + i C . i D . 1 i(3)(h+沁答案(1)C(2)A(3) 1 + i解析(1)z= 1+ 2i ,z z= 5,原式=+6+-2+、3+ 2丄=i6+6+2i+3i少=1+i.命题点 3 复数的综合运算4 （1）（2016 山东）若复数z满足 2z+z= 3 2i，其中 i 为虚数单位，则z等于（）4i=-=i.z

12、 z 11+2i1 +?丄2+i二+T5i丁 = L.32+,228解得a=1， z = 1 - 2i，故选 B.b=- 2, (2)z= 4 + 3i , |z| = 5,pZ-= 5-|i.设z=a+bi ,故(3 4i)(a+bi) = 3a+ 3bi 4ai + 4b= |4 + 3i| ,思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1) 复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可.(2) 复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幕写成最简形式(3) 复数的运

13、算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a+bi( a,bR)的形式，再结合相关定义解答.(4) 复数的运算与复数几何意义的综合题先利用复数的运算法则化简，一般化为a+bi(a,b R)的形式，再结合复数的几何意义解答.所以*3b 4a= 0,3a+ 4b= 5,4 解得b= |.9(5) 复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘 除，后算加减，有括号要先算括号里面的.z跟踪训练 2(1)(2015 山东)若复数z满足 一=i，其中 i 为虚数单位，则z等于()1 i解析 (1)z= i(1 i) = 1 + i，z= 1 i，故选 A.(

14、2)(1 + i )2 0171 i)1+11丄1+1-2 017. 2 017.=i = i.1 + i答案(1)A(2)i(3)-2+ (- + 1)i10_1 +2?iI(吃)(.2)21 0081 + 2?i +(1 - i)(口 门=i +r008+ i) =#+(孑 + i)i.题型三复数的几何意义例 5 (1) ABC的三个顶点对应的复数分别为zi,Z2,zs,若复数z满足|z-zi| =|zz?| =|z-Zs|，贝Uz对应的点为ABC的()A.内心B.垂心C.重心D.外心答案 D解析 由几何意义知，复数z对应的点到ABCE个顶点距离都相等，z对应的点是ABC的外心. 如图所示

15、，平行四边形OABC顶点Q代C分别表示 0, 3+ 2i , - 2+ 4i，试求：AO BC所表示的复数;2对角线CA所表示的复数；3B点对应的复数.解 AO=-OA二AO所表示的复数为一 3-2i./E3C= AO BC所表示的复数为一 3 - 2i.2CA=OA-C-CA所表示的复数为(3 + 2i) - ( - 2+ 4i) = 5- 2i.3OB=OA+ XB=OA+ OC 6B 所表示的复数为(3 + 2i) + ( - 2 + 4i) = 1+ 6i ,即B点对应的复数为 1 + 6i.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是- 对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出

16、所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.瞧LWI濟心 已知z是复数，z+ 2i ,J 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平2 i面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.11解设z=x+yi(x,y R),z+ 2i =x+ (y+ 2)i，由题意得y= 2.z x 2i 1-右=TT =5(x2i)(2+D=1(2x+ 2) + 4)i , 由题意得x= 4.二z= 4 2i.2 2(z+ai) = (12 + 4aa) + 8(a 2)i ,f212+ 4aa0,根据条件，可知； 门.门8 a)0,解得 2ax=1i,y= 1 + i或F=1+i,y= 1

17、 i或ix=1i,y= 1 + i.12 分厂24a= 4,=6,12课时作业1.(2016 佛山二检)已知a0,b0,且(1 +ai)(b+ i) = 5i(i 是虚数单位)，则a+b等于()A. 2 B . 2 2 C . 2 D . 4答案 D解析由题意得(1 +ai)(b+ i) = (b-a) + (1 +ab)i = 5i ,ba= 0,则*又a0,b0,所以a=b= 2，则a+b=4.1 +ab= 5,2 .(2017 天津质检)已知 i 为虚数单位，a R,如果复数 2i 是实数，则a的值为()1 iA. 4 B . 2 C . 2 D . 4答案 D解析/2i = 2i a十

18、1 i1-11 + 1a aa a=2i 扌=(2 2)i 2,a R,a 2 2= 0,二a= 4.rFi-rZ1-Tiii-1-1-1X_ JGHA .EB .FC .GD .H答案 D解析由题图知复数z= 3 + i ,z= 3+ i =3 + i 1 - i = 4 2i =1+7=i+T = +T=F=2i.表示复数壬的点为H1 + i4 . (2017 南昌质检)z是z的共轭复数，若z+z= 2, (zz)i = 2(i 为虚数单位)，则z等于()3.若 i 为虚数单位，图中复平面内点zZ表示复数乙则表示复数审的点是（13A . 1 + iB. 1 iC. 1 + iD. 1 i1

19、4答案 D解析 方法一 设z=a+bi ,a,b为实数，贝 Uz=abi./z+z= 2a= 2,.a= 1.2又(zz)i = 2bi = 2b=2,.b= 1.故z= 1 i.2(z- z)i=2z- z=厂2i.又z+z= 2,.(zz) + (z+z) = 2i + 2, 2z = 2i + 2,. z = 1 i.5. (2016 新乡、许昌、平顶山调研)复数Z1,Z2满足Z1=m+ (4 ni)i ,Z2= 2cos0+ (入+2 = 2+2i,方法3sin0)i(m入，0 R)，并且Z1=Z2，贝U入的取值范围是（A. 1,1I? 9B.厉,1D.16,7答案解析由复数相等的充要

20、条件可得m=2cos0 ,- 24 m=入 + 3sin化简得44cos20 =入+3sin20，由此可得入=4cos023sin0 +4= 4(1sin0)3sin2+4=4si n0 3sin0 =4 sin0 82箱，因为 sin0 1,1，所以 4sin20 3sin166 .已知 0a2,复数z的实部为a,虚部为 1，则|z|的取值范围是（A. (1,5)B. (1,3)C. (1 ,5)D. (1 ,3)答案 C解析由于复数z的实部为a,虚部为 1,且 0a2,15所以由 |z| =1 +a2，得 1|z|5.2 + i227.若 i 为虚数单位，已知a+bi =（a,b R），则

21、点（a,b）与圆x+y= 2 的位置关系为1 iA.在圆外D. 不能确定答案 A解析 /a+bi =严+13.B.在圆上C.在圆内16点(a,b)在圆x+y= 2 夕卜.8.复数(3 + i)mn(2 + i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是 _.2 答案(g,3)解析z= (3 m-2) + ( m- 1)i ,其对应点(3 m- 2, m-1)在第三象限内，故 3m- 20 且 m- 1/2i是关于x的实系数方程x2+bx+c= 0 的一个复数根，则b=_答案 23解析实系数一元二次方程x2+bx+c= 0 的一个虚根为 1+ _ 2i，其共轭复数 1 . 2i也是方程的根.由根与系数的关系知,225则a+b= 22,2 217 +护i+ -护j=_b,L. l+V21护i=C,b= 2,c= 3.12.给出下列命题：1若zC,贝U z20;2若a, b R,且ab，则a+ ib+ i ；3若a R,则(a+ 1)i 是纯虚数；4若z= i，则z3+ 1 在复平面内对应的点位于第一象限.其中正确的命题是 _.(填上所有正确命题的序号)答案 解析 由复数的概念及性质知，错误；错误；若31 = (