2020-2021苏州市高三数学上期中模拟试题(含答案)

1、2020-2021苏州市高三数学上期中模拟试题（含答案）一、选择题1 .下列命题正确的是A.若 a > b,则 a2>b2B.若 a>b,则 ac >bcC.若 a>b,则 a3>b3D.若 a>b,则 【< 1a b22 .关于x的不等式x a 1 x a 0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（ ）A.3, 24,5 B.3, 24,5 C. 4,5D. (4,5)3 .已知等比数列an中，a3a114a7 ,数列bn是等差数列，且>a?,则b§bg()A. 2B. 4C. 16D. 81，.4 .已知帚函数y f(x)过

2、点(4,2),令anf (n 1) f (n) , n N ,记数列 一 的an前n项和为Sn ,则Sn 10时，n的值是（）D. 140A. 10B. 120C. 130x5 .设z x y,其中实数x、y满足x0A. 0B. -16 .当x1,2时，不等式x2 mx 2A.3,B.2V2,2y 0y 0 ,若z的最大值为6, z的最小值为 y kC. -2D. -30恒成立，则 m的取值范围是（）C,3,D.22,7.如图，有四座城市A、B、C、D ,其中B在A的正东方向，且与A 相距 120km ,D在A的北偏东30。方向，且与 a相距60km； C在B的北偏东30。方向，且与b相距 6

3、0d3km , 一架飞机从城市 D出发以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了 15min ,接到命令改变航向，飞向城市 B,此时飞机距离城市 B有（D. 6013km60 , a 473，A. 120kmB. 60/6kmC. 6075km8.在 ABC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, cb 4,则 B ()A. B 30 或 B150B.B 150C. B 30D.B 609.如果等差数列an 中，a3+a4+a5=i2,那么a1 + a2 + +a7 =A. 14B. 21C.2810.已知锐角三角形的边长分别为1, 3a ,则a的取值范围是D. 35)A.8,10B.2

4、: 2, .10C.2、,2,10D.10,811.已知an是等比数列,a22 , a5a1a2a2a3anan 1()A.16 1B.16 1 2 nC.3212.已知4a23, b233,c1253,则A.B.C.b c a、填空题D.13.设不等式组2x y 0对称,xy 32y 31对于任意的D. 3214n30,0,表示的平面区域为2与1关于直线C 1,D 2,则CD的最小值为14.某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K棵树种植在点处,其中Xi1y1K 2时,xkxk 1ykykT 2.6T 0.2按此方案第15.设 x心的最小值为116.某公司租赁甲、乙两种

5、设备生产 类产品10件,乙种设备每天能生产 费为200元，设备乙每天的租赁费为140件，所需租赁费最少为17.设an是等差数列，且a12yT a表示非负实数a的整数部分，例如2016棵树种植点的坐标应为A,B两类产品，甲种设备每天能生产 A类产品5件和BA类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁300元,现该公司至少要生产 A类产品50件,B类产品元.a2a5 36,则an的通项公式为18.已知实数X, y满足2x3x0,0,则0,22x y的取值范围是12 cosC13(1)求索道AB的长;19 .在中，若！;E4siiRsinC = 7813,则C =.2x y 020 .已知实数

6、x, y满足约束条件 y x ，若z 2x y的最小值为3,则实数 y x bb 三、解答题21 .已知等差数列 an的前n项和为Sn,各项为正的等比数列bn的前n项和为Tn,a11, b 1, a2 b2 2.(1)若a3 b35,求bn的通项公式；若丁321,求S322 .如图，游客从某旅游景区的景点 A处下上至C处有两种路径.一种是从 A沿直线步行 到C,另一种是先从 A沿索道乘缆车到 B,然后从B沿直线步行到 C .现有甲、乙两位游 客从A处下山，甲沿 AC匀速步行，速度为 50m/min .在甲出发2min后，乙从A乘缆 车到B ,在B处停留1min后，再从B匀速步行到C ,假设缆车

7、匀速直线运动的速度为130m/min ,山路AC长为1260 m ,经测量cos A(2)问：乙出发多少 min后，乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过 3min ,乙步行的速度应控制在什么范围 内？23 .设数列的前H项和为R2Sn = 3an-l.(1)求数列£。口的通项公式；(2)设5求数列的前熊项和7v斯24.已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且41 , an JS? JSn二(n N* ,且 n 2)(1)求数列 an的通项公式；111,13(2)证明：当 n 2 时，L a1 2a2 3a3 nan 225-在 AABC 中，

8、角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,且sin2A sin2C sin2B sinAsinC .fi求B的大小；(2)设 BAC的平分线 AD交BC于D, AD 2 J3, BD 1,求sin BAC的值.26.已知函数 f x -一2xa,x 1,.x ''1.(1)当a 3时，求函数f x的最小值；(2)若对任意x 1, f x0恒成立，试求实数 a的取值范围.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1. C解析：C【解析】对于A ,若a 1 , b 1 ,则A不成立；对于B ,若c = 0 ,则B不成立；对于 C ,若 a b ,则a3 b3,则C正确；对

9、于D , a 2 , b 1,则D不成立.故选C2. A解析：A【解析】【分析】不等式等价转化为(x 1)(x a) 0,当a 1时，得1 x a,当a 1时，得a x 1,由此根据解集中恰有 3个整数解，能求出a的取值范围。【详解】2关于x的不等式x a 1 x a 0,不等式可变形为(x 1)(x a) 0,当a 1时，得1 x a,此时解集中的整数为 2, 3, 4,则4 a 5;当a 1时，得a x 1,此时解集中的整数为-2, -1,0,则3 a 2故a的取值范围是3, 24,5 ,选：Ao【点睛】本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所

10、以要对a和1的大小进行分类讨论。其次在观察a的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B选项。3. D解析：D【解析】【分析】利用等比数列性质求出 37,然后利用等差数列的性质求解即可. 【详解】等比数列an中, a3a11= 4a7,可得 a72=4a7,解得 a7 = 4,且 b7=a7,b7= 4,数列bn是等差数列，则 b5+b9=2b7=8.故选D.【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力.4. B解析：B【解析】【分析】根据募函数所过点求得募函数解析式，由此求得an的表达式，利用裂项求和法求得Sn的表达式，解方程Sn 10求得n的值.

11、【详解】设备函数为f x x ,将4,2代入得42,1 ,所以f xJX.所以2ann-1 Jn,所以工 'n 1 7,故anSnTn1VnVnVn1LV214n_11,由SnVn11 10 解得n 120,故选 B.【点睛】本小题主要考查募函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.5. D解析：D【解析】作出不等式对应的平面区域，由 z=x+y,得 y=-x+z,平移直线y=-x+z ,由图象可知当直线 y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大为6.即x+y=6.经过点B时，直线y=-x+z的截距最小，此时 z最小.x y 6由) 得 A(3

12、,3),x y 0;直线y=k过A ,k=3.y k 3由 c z解得 B(-6,3).x 2y 0此时z的最小值为z=-6+3=-3 ,本题选择D选项.点睛：求二元一次函数 z= ax+by（ab W0的最值，将函数 z= ax+by转化为直线的斜截式：y b x z ,通过求直线的截距"z的最值间接求出z的最值.最优解在顶点或边界取 a bb得.6. D解析：D【解析】2由x 1,2时，x2 mx 2 0恒成立得m x 对任息x 1,2恒成立，即 x22m x - ,Q当x 拒时， x -取得最大值 2J2, m2J2 , m的取x maxx值范围是 2诋 ，故选D.【易错点晴】

13、本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正 是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定 和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否 在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.7. D解析：D【解析】【分析】先判断三角形DAB为直角三角形，求出BD ,然后推出 CBD为直角，可得CD，进一步可得 cos BDF ,最后在三角形EDB中用余弦定理可得 BF .【详解】取AB的中点E ,连DE ,设飞机飞行了 15分钟到达F

14、点，连BF，如图所示：则BF即为所求.因为E为AB的中点，且AB 120km，所以AE 60km,又 DAE 60o,AD 60km,所以三角形DAE为等边三角形，所以DE 60km, ADE 60o,在等腰三角形EDB中，DEB 120°，所以 EDB EBD 30°, 所以 ADB 90°,由勾股定理得 BD2 AB2 AD2 1202 60210800 ,所以 BD 60.3km, 因为 CBE 90° 30° 120°, EBD 30°，所以 CBD 90°, 所以 CDBD2 BC210800 602 1

15、3 240 km,BD 60.33所以 c°s BDC,CD 24041 因为 DF 360 90 km,4所以在三角形BDF中，BF2 BD2 DF2 2 BDgDF c°s BDF （60、.3）2 902 2 60 . 3 90 10800, 所以 BF 60、3 km.故一架飞机从城市 D出发以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了 15min ,接到命令改 变航向，飞向城市 B,此时飞机距离城市 B有60J3km.故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形，属于中档题.8. C解析：C【解析】【分析】将已知代人正弦定理可得sin B1一,根据a b,由

16、三角形中大边对大角可得:2B 60 ,即可求得B 30 . 【详解】解：Q A 60 , a 4技 b 4由正弦定理得：sin Bbsin A 4 sin 601a 4、,32Q a bB 60B 30故选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力9. C解析：C【解析】试题分析：等差数列an中,a3a4a5123a4 12 a4 4,则aa?La77 ai a77 2a4考点：等差数列的前2n项和7a4 2810. B解析：B【解析】【分析】根据大边对大角定理知边长为 1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a

17、的取值范围.【详解】3或a所对的角为最大角，只需这两个a2 12 3212 32 a2'由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为 角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到 由于a 0,解得2J2 a J10,故选C.本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形,般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下:cosA 0.A为锐角 cosA 0； A为直角 cosA 0； A为钝角11. D解析：D【解析】【分析】1 1先求出an (-)n 3,再求出anan 1 ()2n 5 ,即得解.2 2【详解】a53 11由题

18、得一q , q .a282n 21 . n 21 . n 3所以 an a2q2 (-)(-),221 n 3 1 n 21、2n 5所以 %an 1 (-)(-)(-).2 22anan 11所以 一，所以数列anan 1是一个等比数列.an ©41 n81（T）n 32所以 aa2 a2a3anan 1=- 1 4 .1 134故选：D【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12. A解析：A【解析】【分析】【详解】42222因为a 23=43 b 33 c 53，且募函数y x3在（0，）上单调递增，所以b<a<

19、c.故选A.点睛：本题主要考查募函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间,0 , 0,1 , 1,）;二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助 于中间变量比较大小.二、填空题13.【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC勾成其中作出直线显然点A到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区解析：455【解析】作出不等式组所表示的可行域i ,如图阴影部分，由三角形 ABC构成，其中A(1, 1),B(

20、3,0), C(1,2),作出直线2x y 0 ,显然点A到直线2x y 0的距离最近,由其几何意义知，区域1, 2内的点最短距离为点 A到直线2x y 0的距离的2倍，由点到直线的距离公式有:2 1 V5d -f=,所以区域 .22 1251内的点与区域2内的点之间的最近距离为点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题.巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.14 .【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由 题意知故可得解得当时；当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为：【点睛】 本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题解析：40

21、31,404根据题意，结合累加法，求得 Xk与yk,再代值计算即可【详解】由题意知X11 , y11x2x1 1 5T5T10y2y T T 二55X3X25TX4X35T25T1T2T1，y3y2555532325T，y4y3TT5555XkXk 15T5Tykyk故可得X1X2XkX1X2Xk 1k 5T5Ty1y2yky1y2 lyk 1? T解得Xkk 5T2016 时,X20162016403 4031；yk,当 k 2016时，y20161 403 404.故第2016棵树种植点的坐标应为 4031,404 .故答案为：4031,404 .【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及累加法

22、求通项公式，属中档题 15 .【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不 等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在解析：2.3 1【解析】【分析】利用换元法，令【详解】可令t0,可得1 1.当且仅当t243 1，故答案为:2.3X 1将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16 . 2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产大乙种设备需要生产 天该公司所

23、需租赁费为元则甲乙两种设备生产 AB两类产品的情况为下表所示：产 品设备A类产品（件）（ 550 联产品（件）（ 140 解析：2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产Jt天，乙种设备需要生产 F天,该公司所需租赁费为e元，则 z 200x 300y ,甲、乙两种设备生产 A,B两类产品的情况为下表所示：产品 设备A类产品（件）（50B类产品（件）（140租赁费（元）甲设备510200乙设备620300_一一6一5x 6y 50x y 10则满足的关系为10x20 y140即:5一，xx 2y 14x0, y0_x 0,y0作出不等式表示的平面区域X当z 200x 300 y对应的直

24、线过两直线 x6y 1052y 14的交点（4,5）时，目标函数z 200x 300y取得最低为2300元.17 .【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列 通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运 算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公 解析：an 6n 3【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列an的公差为d ,Qa1 3, 3 d 3 4d 36, d 6, an 3 6（n 1） 6n 3.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一

25、是利用基本量，将多元问题简 化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等 差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题 既快捷又方便的工具，应有意识地去应用 .18 .【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到 直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因 此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行4解析：-,135【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域,【详解】由图可知原点到直线2x y 2 0距离的平方为x2 y2的最小值，为I2 , 一 .， 一

26、一 y2的最大值为13,因到直线x 2 y 4=0与3x y 3=0的交点（2,3）距离的平方为 X.22 4此x y的取值范围为913.【考点】线性规划【名师点睛】 线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平 方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围19 . 2冗3【解析】:由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=7:8:13.a： b: c=7: 8: 13令 a=7kb=8kc=13k (k>0)利用余弓J定理有 cosC=a2+

27、b2-c22ab=49k2+64r t 2 71解析：【解析】 由正弦定理可得 »n4:sinJV:sinC = 7:8:13 , a: b: c = 731 13|,b = 8fc, c= 13k 心 口)，利用余弦定理有a2 b2- c2 49A2 + 64d - 169d 1故答cosC =-,180 C= 120 ,2ab112fc22案为120<20 .【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图 象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主 二，一 9解析：

28、94【解析】【分析】画出可行域，由图象可知，z的最小值在直线y 2x与直线y x b的交点A x0, y0V。2Xo 3处取得，由 y0 2x0,解方程即可得结果.VoX0 b【详解】由已知作可行域如图所示，z 2x y 化为 y 2x z, 平移直线y 2x z由图象可知，z的最小值在直线y 2x与直线y x b的交点Ax0,y0处取得,yo2xo 33 39由 yo 2xo,斛仔 x0 , yo , b ,4 24Vo % b9故答案为9. 4【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中档题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意

29、是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题n 121. （i）bn 2 ,（2）S36【解析】【分析】（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于d与q的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可；（2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果.【详解】设an的公差为d, bn的公比为q,由 a2 b2 2.得 d+q=3,由 a3 b3 5 得 2d+q2=6,解得 d=1

30、,q=2.n 1所以bn的通项公式为bn 2 ; 由 bi 1,丁3 21 得 q2+q-20=0,解得 q=-5 (舍去)或 q=4,当 q=4 时，d=-1,则 S3=-6。【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式与求和公式，等比 数列的通项公式与求和公式，正确理解与运用公式是解题的关键，注意对所求的结果进行 正确的取舍.22. (1) AB=1040m(2) 35 (3)371250 43625 、一(单位：m/min)14(1)在ABC中，因为cos A 1213cosC35'所以sin A sin C 13从而sin B sin(AC)sin(

31、A5 3 12 4 63C) sin AcosC sin C cos A 一一13 5 13 5 65由正弦定理ABsin CACsin BAB,得ACsin B1260sinC 63651040(2)假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为 d ,离 A 处 130t m ,所以由余弦定理得此时,甲行走了(100 50t)m ,乙距d2(100 50t)2 (130t)2 2 130t (100 50t)12132200(37t270t 50),由于10400 t ，即 0 t 8, 130故当t 竺min37时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理BCsin AAC sin B '

32、;AC/日BC信 sin Bsin A乙从B出发时,甲已走了12605"6T 136550 (2 81) 550 (m),还需走710m才能到达C .设乙步行的速度为 vm/ min ,由题意得 3500 7101250503 ,解得4362514，所以为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过3min ,乙步行的速度应控制在1250 6254314(单位：m/ min )范围内.考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用【方法点睛】 本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中

33、的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.9 6n + 923. (1) * 二野;(2) 二；+ 4X3"【解析】 试题分析：为)的前n项和(1)由题意结合通项公式与前n项和的关系可得% = 3tl i；(2)结合(1)中求得的通项公式和所给数列通项公式的特点错位相减可得数列9 6n + 9一 1 4X3".试题解析：(I )由 2S=3an12Si 1 = 3an 1 1 -得 2an=3an3an-1, .兰=3, (n > 2)又当n=1时，2s1=3a1一 1,即a1=1,(符合题意)an是首项为1,公比为3的等比数列，an=3n 1 (11)由