浙教版新八年级三角形中几种模型

1、精心整理、手拉手模型:1 手的判别：判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。2 手拉手的定义两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。(左手拉左手，右手拉右手)3 手拉手基本结论1厶 ABCAABC(SAS)2/BAB=ZBOB3A0 平分/ BOC二、例题例 1、在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形 ABDPABCE连接AE 与CD 证明:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)变式练习 1、如果两个等边三角形(1)(2)(3)(4)ABDn BCE 连接 AE 与 CD，证明:ABEADBCAE=DCAE 与 DC 的夹角为 60。AE 与 DC 的交

2、点设为 H,BH 平分/ AHC变式练习 2:如果两个等边三角形ABDffiABCE(1)(2)(3)(4)ABEADBCAE=DCAE 与 DC 的夹角为 60。AE 与 DC 的交点设为 H,BH 平分/ AHC变式训练 3 :两个等腰三角形/ABD2CBE=a 连接 AE 与 CD.问(ABEADBC 是否成立？(2) AE 是否与 CD 相等？(3) AE 与 CD 之间的夹角为多少度？(4) HB 是否平分/ AHC例 2:如图，两个正方形 ABC 併口 DEFG于 H问：(1)(2)(3)(4) ADGACDE 是 否成立？ AG 是否与 CE 相等？AG 与 CE 之间的夹角为多

3、少度？HD 是否平分/ AHE例 3:如图两个等腰直角三角形 ADC 与 EDG 交于 H.DC连接 AE 与 CD， 证明:BHECADABD 与 BCE 其中EH连接 AG 与 CE,二者相交ABCCGFADEAB=BD,CB=EB,连接 AG,CE 二者相ABEADBCAE=DCAE 与 DC 的夹角为 60。AGBADFBEGBACFBBH 平分/ AHC GF /AC精心整理精心整理问(ADQACDE 是否成立？(2) AG 是否与 CE 相等？(3) AG 与 CE 之间的夹角为多少度?(4) HD 是否平分/ AHE二、半角模型-:且J-1800.1、 条件： 22、 思路：截长

4、补短2旋转 例 1、在正方形 ABCD 中，若 M N 分别在边 BC CD 上移动，且满足 MN=B+DN求证：./ MAN=52C舌MN=2AB3.AM AN 分别平分/ BMN 和/ DNM.例 2 拓展：在正方形 ABC 冲，已知/ MAN=5若 M N 分别在边 CB DC 的延长线上移动，1试探究线段 MN BM DN 之间的数量关系.2.求证：AB=AH.例 3.在四边形 ABCD 中,ZB+ZD=180=，AB=AD 若 E、F 分别在边 BC CD 上，且满足 EF=BE+DF.1NEAF =NBAD.求证：2练习巩固 1： (1)如图 1,在正方形 ABCD 中, E、F

5、分别是 BC CD 上的点，且ZEAM45，试判 断 BE DF与 EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；(2)如图 2,若把(1)问中的条件变为“在四边形 ABCD 中, AB= ADZB+ZD= 180 ，E、F 分别 是边 BC CD 上的点，且ZEAF=1ZBAD，则(1)问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证2明，若不成立，请说明理由；(3) 在(2)问中，若将AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点分别 E F 运动到 BC CD 延长线上时， 如图 3 所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明. 练习巩固 2:已知：正方形 ABCD

6、 中，.MAN = 45，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB DC(或它们的延长线)于点 M N.(1) 如图 1,当.MAN 绕点A旋转到 BM 二 DN 时，有 BM DN 二 MN .当.MAN 绕点A旋转到BM - DN 时，如图 2,请问图 1 中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请 说明理由；(2) 当.MAN 绕点A旋转到如图 3 的位置时，线段 BM , DN 和 MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明.精心整理练习巩固 3 :在等边ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M ,N , D为ABC外一点，且.MDN =60，BDC =120，

7、BD =CD，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，BN，MN之间的数量关系及.AMN的周长Q与等边:ABC的周长L的关系.(1)_ 如图，当点M , N在边AB，AC上,且DM =DN时，BM , NC，MN之间的数量关系式 _ ；此时Q=L -(2) 如图，当点M ,N在边AB ,AC上，且DM -DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你 的猜想并加以证明；(3)_ 如图，当点M ,N分别在边AB,CA的延长线上时，若AN=x，则 Q=_ (用x ,L表示) 练习巩固 4:如图，已知在正方形 ABCD 中, MAb=45，连接 BD 与 AM AN 分别交于 E、F 两

8、点。求证：(1) MN=MB+DN(2) 点 A 到 MN 的距离等于正万形的边长；(3)CM的周长等于正方形 ABCDi长的 2 倍;(4)SABCD二2AB.SCMNMN(5) 若.MAB=20。，求 AMN(6) 若 MAB=加：0 V：V 45，求AMN(7)EF= EB2DF；(8)AENf AFM!等腰三角形；(9) 迂=1。QAMN2三、三垂直模型(一线三等角)(K 型)1、常见的一线三垂直的模型。例 1:如图，正方形 ABCD 中, E、F 分别为 BC CD 上的点，且 AE!BF，垂足为点 G.求证：AE=BF变式训练：等腰 Rt ABC 中, AC=ABZBAG90，点

9、D 是 AC 的中点，AF 丄 BD 于点 E，交 BC 于点 F，连接 DF,求证：Z仁Z2。例 2：.如图，点 P 是正方形 ABCDiAB 上一点(不与点 A. B 重合)，连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺 时针方向旋转 90得到线段 PE, ?PE 交边 BC 于点 F.连接 BE DF。求证：ZADPZEPB求ZCBE 的度数；例 3：等腰直角 ABC 其中 AB=ACZBAC=90，过 B C 作经过 A 点直线 L 的垂线，垂足分别为M N.(1) 你能找到一对三角形的全等吗？并说明.精心整理(2)BM CN MN 之间有何关系？若将直线 I 旋转到如图 2 的位置，其他

10、条件不变，那么上题的结 论是否依旧成立？精心整理VBC四、角平分线模型1、边垂直如图，P 是/ MON 勺平分线上一点，过点 P 作PA OM 于点 A，PB 丄 ON 于点B。 结论：PB=PA例 1: (1)如图，在 ABC 中，/C=90, AD 平分/ CAB BC=6 BD=4 那么点 D 到直线 AB 的距离是；(2)如图，/仁/ 2, 求证：AP 平分/ BAC+Z3=Z4B2、翻折全等(对称)AC图2P例 2:如图，ABC 的外角/ ACM 平分线 CP 与内角/ ABC 的平分线 BP 交于点P,若/ BPC=40，贝 U/ CAP=例 3:.女口图，在四边形 ABCD 中，

11、BCAB AD=DC BD 平分/ ABC求证：/ BAD/ BCD=180。如图，P 是/MON 勺平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON上截取 OB=OA 连接 PB结论： OPBAOPA例 1：(1)如图所示，在 ABC 中,人。是厶 ABC 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点, 试比较 PB+P(与AB+AC 勺大小，并说明理由；(2)如图所示，人。是厶 ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB 与 AC-AB 的大小，并说明理由。例 2：.已知，在 ABC 中,/ A=2/ B, CD 是/ ACB 的平分线，AC=16 AD=8求线段

12、 BC 的长。例 3：如图所示，在厶 ABC 中, / A=100, / A=40, BD 是/ ABC 的平分线，延长 BD 至 E, DE=AD 求证：BC=AB+GE例 4:已知，在 ABC 中, AB=AC/ A=108 , BD 平分/ ABC求证：BC=AB+CD3、角平分线+垂线一等腰(三线合一)如图， P 是/ MO 勺平分线上一点， APIOP 于 P 点， 延长 AP 于点Bo结论： AOB是等腰三角形。例 1:如图，已知等腰直角三角形 ABC 中,/ A=90, AB=AC BD 平分/ ABCCEL BD 垂足为 E。求证：BD=2CE例 2:如图，在 ABC 中, B

13、E 是角平分线，ADLBE,垂足为 D。求证：/ 2=/ 1+/ CO例 3: (1)如图，BD CE 分别是 ABC 的外角平分，过点 A 作 ADLBD AE! CE垂足分别为 D E,连接 DE求证：(1)AB+AC+BC=MN精心整理V精心整理（2）如图，BD CE 分别是 ABC 的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？成立请说明 理由，若不成立，那 MNfAABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。（3）如图，BD 是 ABC 的内角平分，。丘是厶 ABC 的外角平分，其它条件不变。 MNAABC三边 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明4、角平分线+平行线一等腰（底角相等）如图，P 是/ MO 的平分线