新人教版课时作业第二章2.3第2课时一元二次不等式在实际问题中的应用

1、第2课时 一元二次不等式在实际问题中的应用1 .经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.了解一元二次不等式的现实意义2能够构建一元二次函数模型，解决实际问题.知识点用一元二次不等式解决实际问题的步骤1 .理解题意，搞清量与量之间的关系；2 .建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.3 .解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解.预习小测自我检验1.不等式>>0的解集为.1 -X答案 3 iWxvl)fa+i)d)wo,解析原不等式5口一 1W0,*. 1 Wxv 1.2.不等式的解集为.答案小21或八<01Y 1解析一1,，一>0, 人人x(

2、x1)20, .xWO,或 x<0.3 .若产品的总成本y(万元)与产量M台)之间的函数关系式是.V=3 000+20.l0.1x2(0<x<240), 若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 台.答案150解析 y25% =-0. lx25x+3 000W0,即 F+50x30 00020,解得a-150或a< 一200（舍去）.4 .某商品在最近30天内的价格v与时间/（单位：天）的函数关系是yi=r+10（0uW30, f£N）： 销售量”与时间/的函数关系是”=-f+35（OvW3O, f£N）,使这

3、种商品日销售金额不小于 500元的t的范围是.答案W10W忘 15, f£N解析 日销售金额=。+10）（，+35）, 依题意有（7+10）（一35）2500,解得解集为UI10W/W15, f£N.一、分式不等式的解法 例1解下列不等式:2x5 2T55解 (1)" .1 J <0<=>(2x5 )(x4-4)<0<=>4<v< 人 I *1J工原不等式的解集%U 4<r<| ,».丹-IWO, 2x32x3一工 + 4 . r/ 4、 ，吃一丁0,即一TO.2.V33X2此不等式等价于（X4

4、）（x|）20且X一|工0,解得x<|或x，4,，原不等式的解集为1x卜，或在4反思感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母即可. 跟踪训练1解下列不等式： 貂沁*L解(1)原不等式可化为，gl)(3x+l)20, .3x4-10.，原不等式的解集为3 XV：或X2；,x+3>0,方法一原不等式可化为2 - 3或1x+3<0,2x<t+3,x>39x<3,解得1或 1lx<-2x>-r/. 3<a<5, ，原不等式的解集为“ -3<x<-1 »方法二原

5、不等式可化为C二M+”>o, 人 I J化简得即2x4-1工+ 3<0,/.(2x+ l)(x+3)<0> 解得一3<x<一 ，原不等式的解集为F -3<x<-1 二、一元二次不等式的实际应用例2某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为 10个百分点)，计划可收购"万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税 率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式：要使此项税收在税率调行后，不少于原计划税收的83.2%,试确定X的取值范

6、同解(1)降低税率后的税率为(10X)%,农产品的收购量为”(l+2r%)万担，收购总金额为200( 1 + 2x%)万元.依题意得 y=200d( 1 + 2v%)( 10-x)% =/( 100+2x)( 10-x)(0<v< 10).J J（2）原计划税收为200axi0%=20“（万元）.依题意得赤'（100+功（10 X）220。X 8 3.2%, J yJ化简得炉+40I_84<0,解得一42WxW2.又因为OoylO,所以0<xW2.即x的取值范围为.IO<x<2.反思感悟解不等式应用题的步骤跟踪训练2北京、张家口 2022年冬奥会申办

7、委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为 了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25 元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于 原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全 面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入（炉一600）万元作为技改费用， 投入50万元作为固定宣传费用，投入1万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销 售量”至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入

8、之和？此 时该商品每件定价多少元？解（1）设每件定价为/元，依题意得（8匚FxO.2>25X8,整理得 r2-65/+l 000W0,解得 25WW40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.1Y依题意得当X>25时，不等式心225><8 + 50+木2600）+7有解，等价于当心>25时，会+!有解.由于詈+彩2d当且仅当弋，即x=30时等号成立，所以02102故当该商品改革后的销售量“至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收 入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.不等式恒成立问题典例(1)若对/工£1<

9、;不等式1+,九>4*+?-4恒成立，求实数，的取值范用: 若F>4x+l4在R上恒成立，求m的取值范围.解(1)原不等式可化为9+(加一4)x+4>0,： J = (? -4)24(4 m)=m24m<0,:m的取值范围为川0v/<4).(2)原不等式可化为a2-4a+4=(x-2)2>w恒成立，m<09/. m的取值范围为，疝<0.素养提升一元二次不等式恒成立的情况：k>0,ax2+bx+c>0(a W0)恒成立今 JU<0.a<0,4/+6+。W0(工0)恒成立r- 11 .不等式一行>0的解集为() 人 JA

10、. aI1<a<2B. HrWl 或工22C. "llWx<2D. xlr>2 或 xWl答案Df(x-l)(x-2)0, 解析由题意可知，不等式等价于 一口一20,/.x>2 或 xWL故选 D.32 .不等式工>1的解集是() 9TW I *A. xLv< 1 或一1<aW2B.C. 由W2D. 3- 1<aW2答案D33解析L ,干12.3x 1, x+1>0,即不忘0,等价于a2)(x+l)<0或x2=0, V I 1故一loWZ3 .某商场若将进货单价为g元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采

11、用提高售价来增加利润.已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件.那么要保证每 天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为(A. 12 元B. 16 元C.12元到16元之间D.10元到14元之间答案C解析 设售价定为每件X元，利润为y,则 y=(X-8) 100 10(x-10),依题意有(x8)100 10。- 10)>320,即 f28x+192<0,解得 12<a<16, 所以每件售价应定为12元到16元之间.4 .若实数“，满足a+<0,则不等式户<0的解集为.b-x答案.">a 或 x<b 解析原不等式等价于(x+a

12、)(b x)<0<=>(xb)(x+。)>0.又 a+<0,所以 b<a.所以原不等式的解集为xb>a或x<b.5 .某地每年销售木材约20万nf,每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按 销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少抵万而，为了既减少了木材消耗又 保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是.答案rl3W，W5解析 设按销售收入的联征收木材税时，税金收入为y万元，则 y=2 400(20-7)X =60(8/-).令y2900,即 60(8/一产)>900,解得 3WfW5.课堂小结1 .知识清单：(

13、1)简单的分式不等式的解法（2）利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：选取合适的字母表示题目中的未知数；由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；求解所列出的不等式（组）：结合题目的实际意义确定答案.2 .方法归纳：转化、恒等变形.3 .常见误区：利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义.3 r- 11.不等式L"，1的解集是（） 4 人3-4.¥ A C/ 3-4X 3-4 W 2 3-4 X B D答案B3 r- 1 1解析不等式"汩，移项得"一上。,3A-4即-0,可化为JX2l.v-2<0l-2>0,33解得则原不

14、等式的解集为xp故选B.2.与不等式同解的不等式是（）A. 。一3)(2一x)20B. 0VL2W12-xch°D. (x-3)(2一力>0答案B 解析解不等式二20,得2<xW3,A.不等式。一3）（2幻20的解是2m工W3,故不正确.B.不等式0<x-2Wl的解是2<xW3,故正确.C.不等式的解是2Wxv3,故不正确. 人 JD.不等式。一3）（2一幻>0的解是2<x<3,故不正确.故选B.3 .若关于x的不等式心一>0的解集为“心>1,则关于x的不等式竺邛>0的解集为（） 人 4A. 小>1 或x< -2

15、B. xll<v<2C. xIa>2 或x<1D. xl1<<2答案c解析 x=l 为 or6=0 的根，：.ab=o.即 a=b,丁 axb>0 的解集为xlx> 1）,/. 4>0,cix+b 4（x+ 1）故=-">0'等价为 a+r）a2）>o./.v>2 或 x< 1.4 .已知不等式一好+以>“?一3a在R上有解，则实数”的取值范围为（）A. al1W“W4B. a l<t/<4C. 4l“24 或 aW -1D. “I-4WW1答案A解析 由题意知，原不等式可化为一（

16、x2）2+4，“23”在R上有解，“23aW4,即34）3+1）0,，一lW“W4,故选 A.5 .某文具店购进一批新型台灯，若按每盏分灯15元的价格销售，每天能卖出30盏：若售价 每提高1元，日销售量将减少2部，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不 含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（）A. aI10x<16B. 312«18C. xI15<a<20D. 310Wxv20答案c解析 设这批台灯的销售单价为X元，则3015 ）x2 卜>400,即一30x+200<0, A 10<v<20,

17、又；015, ，15<20.故选 C.6 .若不等式”+外+。0的解集为31。<2,则不等式的解集为.答案.山0）解析 由题意知，一1,2为ax2+Zu，+c=0的两根,c=2ci且 “<0,/.不等式丁“+'+obx可化为"一2a>一“X, XX即1一2vx, gp=<0A<0.7 .现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4% 的食盐水为x克，则人的取值范围是 答案 3100<xv400解析<6%,s %. 4%+ 200-7%5%<a-4-200 解得x的取值范围是Ail00&

18、lt;v<400.8 .某种汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）s m 和汽车车速4 km/h有如下关系：§=专（+忐R在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离 不小于40 m,那么这辆汽车刹车前的车速不低于 knVh.答案80解析根据题意，得七、+占2401 o1 oU移项整理，得炉+10x7 20020.显然>0,1+10”-7 200=0有两个实数根，即川=80,M=-90,然后，根据二次函数丫=小+10*7 200的图象（图略），得不等式的解集为xlxW90或G80.在这个实际问凝中，x>0,所以这辆汽车刹车前的车速不低于

19、80 km/h.9.解关于x的不等式号>。依R）.解原不等式可化为三<0, V I 1即。+1）。一）<0,当a=-时，xG0；当 a>- 时，当 a< 1 时，- 1）.综上，“=1时，不等式的解集为。, a> 1时，不等式的解集为xla< 1时，不等式的解集为.rk/<A<- 1.10 .某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为 10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入 成本增加的比例为则出厂价相应地提高比例为O.75x,同时预计年销售量增加的比 例为

20、0.6x,已知年利润=(出厂价一投入成本)义年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式：(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例X应在什么范围内？解(1)由题意得y=12(l +0.75x)-10(1 +x) X 10 000X(1 +0.6x)(0<v<l),整理得 y=-6 000炉+2 000x4-20 000(0<v<1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，X10 000>0t-6 000a2+2 000a>0,即0<v<l,解得0<v<1,所以投入成本增加的比例x应

21、在的范围内.11 .不等式二.->()的解集为()A. a1y> 1 且 xH2C. xl-l<r<2B. xlv>-lD. xlx<- 1 或x>2答案A(x2)G+1)(x+1>0,解析原不等式可化为一>。=一9且后2.故选A.12.若">0, b>0,则不等式一Zx；的解集为()A.ix x<( b a Jn i118.1. v<v<7Ia b J1 p 1 1C. .¥ A<-rD/ x - 7<v<OfiJcO<v<- r b a J答案Af1>

22、-解析原不等式可化为 匕。可得.x<5 或 x>0.x<0 或故不等式的解集为，X 或13.<2的解集为(A. 3岸一2C. 0答案A解析Vx2+x+1>0恒成立,B. RD. xk<2 或x>2，原不等式今一女一2<2/+2工+20/+4>00(+2户>0, .,“一2,，不等式的解集为“卜芳-2.14.在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车,但还是相碰了,事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又 知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速x km/h之间分别有如下关系：5中=0.晨+0.01炉， S乙=0,05元+0.005小.这次事故的主要责任方为.答案乙车解析 由题意列出不等式S甲=0,5+0.01/>12, 5 =0.05a+0.005x2>10.分别求解，得X ®<40 或 x »30.x ? <50 或 x >40.由于 a>0,从而得 x 单>30 km/h, x 乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任