电磁场理论复习考试题

1、第12章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律1.设：直角坐标系中，标量场 u xy yz zx的梯度为A，贝y m (1, 1, 1)处A=2ex2ey2eza 02. 已知矢量场 A 2(y z) 务 4 xy 2 e?z xz，则在 M( 1,1, 1 )处 A _ 。3.亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场(场量为A),则必须同时给定该场矢量的旋度 A 及散度 A4. 写出线性和各项同性介质中场量 D、D E, B H , J E程)：5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为E、B、H、J所满足的方程(结构方sJdS6.设理想导体的表面 A的电场强度为E、磁场强度为 B，则(a) E

2、、B皆与A垂直。(b) E与A垂直，B与A平行。(c) E与A平行，B与A垂直。(d) E、B皆与A平行。答案：B7.两种不同的理想介质的交界面上,(A)E1E2 , H1H2(B)E1nE2n,HmH2n(C)E1tE2t ,H1tH2t(D)E1tE2t ,HmH2n答案：C8.设自由真空区域电场强度E eyE0sin(3t BZ(V/m)，其中 Eq、3、B为常数。则空间位移电流密度 Jd (A/m2)为:(a) eyE°cos( wt 卩(c) ey w 0 E0 cos( wt B)9. 已知无限大空间的相对介电常数为r0、d为常数。则x d处电荷体密度(b) y wE0

3、cos( wt B Z(d) e BEcos(wt B) 答案：Cx4，电场强度 E eX ocos (V/m) 2d为：其中(a)(b)(c)(d)答案：d10. 已知半径为Ro球面内外为真空，电场强度分布为R。3 (? 2 cos r? sin )e sin )(rRo)(rRo)求(1)常数B; (2)球面上的面电荷密度；(3)球面内外的体电荷密度。Sol. (1)球面上由边界条件E2t得：si n2 sin B2R；RoRo(2)由边界条件D1nD2ns得：so( E1nE2n)o (E1rE2r)6 ocosRo(3)由D得:E1(r2Er)1(E sin )o(rRo)oo 2 r

4、o .rr si no(rRo)即空间电荷只分布在球面上。11. 已知半径为Ro、磁导率为的球体，其内外磁场强度分布为2(? cos? sin )(rRo)HAc3(©2cosr? sin )(rRo)且球外为真空。求(1)常数A ; (2)球面上的面电流密度Js大小Sol.球面上(r=Ro) : Hr为法向分量；H为法向分量(1)球面上由边界条件BinB2n得：Hir0 H 2r-Ro0(2)球面上由边界条件Hit H 2t J s得Js (Hi H2 )|r Ro(2)sino第3章 静电场及其边值问题的解法1.静电场中电位与电场强度E的关系为分别为©和）的分界面上，电

5、位满足的边界条件为;在两种不同的电介质（介电常数22n 。2.设无限大真空区域自由电荷体密度为P,则静电场:3.电位和电场强度E满足的泊松方程分别为4.介电常数为的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为Wm 1 E22 5.对于两种不同电介质的分界面，电场强度的 切向 分量及电位移的 法向 分量总是连续的。6.如图，E1、E2分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度,30°,60°,I 巳E2 |.37.理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度s与电位沿其法向的方向导数的n关系为8.如图，两块位于x = 0和x = d处无限大导体平板的电位分别为0、Uo,其内部充满

6、体密度ex d ）的电荷（设内部介电常数为）。（1）利用直接积分法计算 0<x <d区域的电位 及电场强度E ; （2） x = 0处导体平板的表面 电荷密度。Sol.为一维边值问题：（x）O"X边界条件:(1)直接积分得:9.Sol.10.Sol.d2 dx2(X0(x) (e0E(x)(2)由-n0)x20x(1 e0(Xd)e?xd-dxs得：sd)d) U。g(ex00U0r如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽,)xx)U。dx1 d2d°E(x)1(1 d)内填空气。已知侧壁和底面的电位为零，而顶盖的电位为 Vo。写出导体槽内电位所满足的微分方程及其边

7、界条件，并利用直角坐标系分离变量法求出该导体槽内的电位分布。(略)见教材第82页例3.6.1如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为 电荷q0。利用镜像法求z轴上z > a各点的电位分布。d处有一个点空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于:无限大接地导体平面 +接地导体球边界条件:平面平面球面 0引入镜像电荷：zd, qq。引入镜像电荷:2a孑q12a|z |z轴上z > a各点的电位：使球面ZiZ2a2a7, q2q0|z d |qiq2q。4 01|z d|z 乙2a32 ,24z d a11.已知接地导体球半径为 Ro ,在x轴上关于原点（球心）

8、对称放置等量异号电荷 +q、-q ,位置如图所示。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2 ）球外空间电位;上x>2Ro各点的电场强度。Sol. （1）引入两个镜像电荷:qiq2(2)(x,y,z)Ro Ro，音22R0 2x2Ro2RoRo2q2R2qR(略),(x Ro/2)2 y2 z2 (x2&厂yLz2R .(x 2Ro)2 y2 z2，R1R2 用Ro/2)2y2z2，R（3） x轴上x>2Ro各点的电场强度:exq(x 2 Ro)2(xq/2Ro /2)2q/2(x Ro/2)2q(x 2Ro)212.如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其

9、平分线上放置一点电荷q,求（1）各镜像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。Sol. ( 1) q1qo，(a, 0, 0)q2qo， (0, a, 0)q3qo，(a, 0, 0)（2）（x、1 qoq1q2q3,y,z)40R0R1R2R3（略）其中:y八qo 几P o,a,oRox2(ya)22 zR1(xa)22y2 zR2x2(ya)22 zR3.(xa)22y2 z(o, a,o)第4章 恒定电场与恒定磁场1. 线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于_0，净余电荷只能分布在该导电媒质的表面上。2. 线性和各项同性的均匀导电媒质中，J0； D0。3. 在电导率不同的导

10、电媒质分界面上，电场强度E和电流密度J的边界条件E1tE2tJ1nJ2n为：、。2 Pc E4. 在电导率为的导电媒质中，功率损耗密度pc与电场强度大小 E的关系为 。5. 恒定磁场的矢量磁位A与磁感应强度B的关系为B A ； A所满足的泊松方程2AJ为6.对线性和各项同性磁介质(磁导率设为2 H度Wm,V空间磁能),恒定磁场(磁场(务度大小为h)的磁能密 v2Wm =2 27.已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：A eXx y eyy x 铉Cxyz,c为常数，且A满足库仑规范。求(1)常数C ; (2 )电流密度J ; (3)磁感应强度 B。(直角坐标系中：acazx(a yaxy)和-az

11、)cayez( -axx)yzzxxySol. (1)库仑规范：A0AxAyAz2xy2xyCxy 0C4xy z由2a心,Aexx2yeyy2x ez4xyz得:2a12a 2A2 A1 -?y2xJ22?2x2y(3) B A g4xz ?y4yz eZ(y2 x2)8.(P.136.习题4.2)在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质(1, 1和2, 2),其厚度分别为 a和d2。若在两极板上加上恒定的电压U。试求板间的电位、电场强度E、电流密度J以及各分界面上的自由电荷密度。Ei diE2d2 UEi02U 0(0xdi)2diid 2Di D2i Ei2 E2iU02 i )U

12、 0E2ex(dix d2)2diid2电位移：Di D 2iEiex2U 02U 02d iid22U 0Eix-x(0xdi)2d ii d2(x)EidiE2(x di)出(2i)diU0(dix d2)2d iid2静电比拟：EE，JD, b£,2U0ix(0 xdi)2diid 2iX(2i)di 2-u。(di x d2)2d iid22U 0，则导电媒质中的恒定电场:E(x)x2diid 2(0di)2diiUoid 2(did2)2d iid 22U 02diid 22 iU 0did2(x)2d iid2di2n x dix di2 diid2可知：非理想电容器两极

13、上的电荷密度为非等量巳目异号s x di d2只有理想电容器才有电容定义。a、2a ,电导率为9. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、外半径分别为图建立圆柱坐标，若电位| _ U0 （常量）及 0 0。求（i）导电媒质上电位分布及恒定电场的电场强度 E ；（2）该情况下导电媒质的直流电阻 R。Sol.由边界条件可知，导电媒质上电位仅与坐标有关，即（1） 21 d2万尹00 0 得:2Uo已1 s.懑,0 a 2a4 X2Uo 1（第 9题图）(2)JJ dS2aJ (a da2a匕丄（ad )2 aU0 ln 2直流电阻：R牛2 aln210. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内

14、、外半径分别为a、2a，电导率为 。如图建立圆柱坐标，若电位a U0 （常量）及 2a 0。求（1）导电媒质上电位分布以及导电媒质上恒定电场的电场强度 E ；（ 2）该情况下导电媒质的直流电阻 R。Sol.由边界条件可知，导电媒质上电位仅与坐标有关，即（）l71uInAl及oua得oa2In02u n1ou(2) J（第 10题图）-dsTJS直流电阻:Uo2ln 2第5章电磁波的辐射1. 复数形式的麦克斯韦方程中两个旋度方程为 2.坡印亭矢量S的瞬时表示式是，平均值是3.自由空间中时变电磁场的电场满足的波动方程为22e4.5.6.电磁场的情况下变为在无损耗的均匀媒质2h(A)(C)k2尊0,

15、这个方程在正弦t正弦电磁场的磁场满足的亥姆霍兹方程为k2H 0，其中 _A k222k2在时变电磁场中，磁感应强度电场强度与位的关系为(B)(D)k2k2B与位的关系为E ，-A已知某一理想介质4 o,5流复矢量为Jd 2j0cosj z0,0 中)时谐电磁场的角频率为,a、J0皆为常数。则电场强度复矢量,位移电1 为ia(A):e J0xn j zcos ejia(C)；寸J°“Xnj zsin eja(B)ex J0n j zcos ej410a(D)ex J0nj zsin e答案：Bj40a的关系为a(b) sin(d) cost时刻发生变化，此变化将在b时刻影响到r处的位7

16、.电偶极子天线的功率分布与(a) sin2(c) cos2函数和A。(a) t -;c丄r(b) t；c(c) t ;(d)任意9.在球坐标系中，电偶极子的辐射场(远区场)的空间分布与坐标的关系:2z 、sinsinsin2 sin(a)(b)2(c)(d)2rrrr8.自由空间的原点处的场源在10. 一均匀平面波垂直入射至导电媒质中并在其中传播，则11.下列电场强度所对应的电磁波为线极化方式的是(A)E &10 e j zy10j e j z(b)(C)E eXlO e j z ey10 e j z(D)e.10 e jeXl0 eey10j e j z ey10 e j z答案：C

17、12、已知真空中某时谐电场瞬时值为E(x, z,t) ys in (10x)cos( t kzz)。试求电场和磁场复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。解：所给瞬时值表示式写成下列形式E(x,z,t) ReySin(10 x)e jkzzej f因此电场强度的复矢量表示为E(x,z)eysin(10 x)ej由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为H (x, z)J 0ezez1zEzg-sin(10 x)曳一cos(10 x) e jkzz0 J 0功率流密度矢量的平均值Sav等于复坡印廷矢量的实部，即IV1Re(2Re?yezezEyH：)2Re(EyHz|Re &

18、lt;?x5-kik 2?卜sin2(10 x)2 0sin(20 x)0k 2 ezsin2(10 x)013、已知真空中时变场的矢量磁位为A(z, t)求：(1)电场强度E和磁场强度H ; (2)exA cos( t kz)坡印廷矢量及其平均值。解：(1)把矢量磁位的瞬时值表示为A(z, t)Ree>xA)e jkzej t则矢量磁位的复数形式为根据磁场强度复数形式与矢量磁位复数形式之间关系可以求出ex eyez(z)丄(0Z|eyxey( jkA0)ejkzzkz磁场强度的瞬时值为H(z,t)y(kAo)cos( tkz 2)根据麦克斯韦方程组的第一个方程间关系为，此时J 0 ,电

19、场强度与磁场强度之E(z)x y zHxHy Hzyk A0jkzex ej电场强度的瞬时值为E(z,t) Ret kz )2(2)坡印廷矢量为 3 a 2k A°2ex gy- cos ( t kz ) e3 a 2k A°2-cos ( t kz )坡印廷矢量的平均值为Sav3八2)ez严第6章、均匀平面波的传播1. 两个同频率、同方向传播，极化方向相互垂直的线极化波的合成波为圆极化波，则它们的振幅 相同 ，相位相差/2。2. 均匀平面波垂直入射到理想导体表面上，反射波电场与入射波电场的振幅相等 :相位相差。3. 均匀平面波从空气垂直入射到无损耗媒质r 2.25, r

20、1,0表面上，则电场反射系数为1/ 5。,4. 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度为E ex100cos t 20 zV/m，则波的av亭矢量Sav为传播方向为 +z ，频率为3为09 HzHx方向的线极化波| ,对应的磁场为 _50002377 W/m，波长为 0.1m，波的极化方式为_沿100eycos t 20 z A/my377，平均坡印5.均匀平面波电场方向的单位矢量eE、磁场方向的单位矢量e以及传播方向的单位矢量e三者满足的关系是6.损耗媒质的本征阻抗为 ，表明损耗媒质中电场与磁场在空间同一位置存在着 相位差，损耗媒质中不同频率的波其相速度不同，因此损耗媒质又称为 色散 媒质。7

21、.设海水的衰减常数为，则电磁波在海水中的穿透深度为,在此深度上电场的振幅将变为进入海水前的8.在良导体中，均匀平面波的穿透深度为(a)2(b)(c)(d)J9.在无源的真空中，已知均匀平面波的E E0e j z和 HH°ej z，其中的E。和H。为常矢量，则必有 ezEo 0；(b) ezHo 0；0;(d) EoHo10.以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是 b(a) 不再是平面波(b) 电场和磁场不同相(c) 振幅不变(d) 以TE波的形式传播11、已知空气中存在电磁波的电场强度为EeyE°cos(6108t 2 z) V/m试问：此波是否为均匀平面波？传播

22、方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应的磁场强度H。解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。电场强度瞬时式可以写成复矢量$ = 3*该式的电场幅度为 E0，相位和方向均不变，且Z，此波为均匀平面波。传播方向为沿着z方向。由时间相位 t 6波的频率108t61083 108 Hz波数波长相速Vp由于是均匀平面波,22_T空-3 dt k因此磁场为10 m/s且 ejkz12、在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为!xE°sin(2810 t 2 z)，已知介质的r 1，求r，并写出H的表达式。解：根据电场的瞬时表达式可以得到2

23、 108，k，而电场强度的瞬时式可以写成复矢量为j2 z右exE°e波阻抗为Zw40，则磁场强度复矢量为因此磁场为Jcy 40sin(2108t 2z)13、铜的电导率 5.8 107 S/m， r波长、透入深度及其波阻抗。r 1。求下列各频率电磁波在铜内传播的相速、(1)解：已知f 1MHz ； (2) f 100 MHz十 10 9 F/m 和 0 4 f 10 GHz10 7 H/m，那么1.044 1018(1)当1 MHz 时,1.044 10121，则铜看作良导体,衰减常数和相位常数别为15.132., f 15.132103相速：v p 4.1522波长：4.152透入

24、深度：-6.6波阻抗：zw打2 (，100 MHz 时，-110 fj) 2.61当.044 101010 4 m10 5 m0.4152 m/s10 7(1 j) .、f 2.61 10 4(1 j)1，则铜仍可以看作为良导体，衰减常数(3)当 f 10 GHz 时,相位常数分别为相速：v p 4.152 10 4Jf 4.152 m/s2波长：4.152 10 5 m1透入深度：一6.6 10 6 m波阻抗：Zw 打(1 j) 2.61 10 7(1j)/f 2.61 10 3(1 j)1.044 1081，则铜看作良导体，衰减常数 和相位常数15.132、f 15.132 1042别为1

25、5.132jf 15.132 105相速：v p4.15241.52 m/s波长:4.15210 6 m透入深度:10 7 m波阻抗:Zw(1j) 2.6110 7(12.61 10 2(1 j)14、海水的电导率 电磁波的波长、10364S/m，衰减常数和波阻抗。r 81，r 1，求频率为 10 kHz、10 MHz 和 10 GHz 时解：已知10 9 F/m 和10 7H/m，那么109。(1)当 f10 kHz 时,109 I1051，则海水可看作良导体， 衰减常数 和相位常数分别为3.9710 f 0.397相速：v p1.582 10 f1.582105波长:15.83 m透入深度:12.52 m波阻抗:ZW(2)当 f 10 MHz时,2 (1_ 89j)102和相位常数分别为相速：v